1.2、隐函数的求导公式ppt课件

1、第十二章一、隐函数的存在性与可微性一、隐函数的存在性与可微性二、二元函数的极值二、二元函数的极值多元函数微分法的应用 本章讨论本章讨论:三、二元函数的条件极值及拉格朗日乘数法三、二元函数的条件极值及拉格朗日乘数法 大家回忆一下，一元函数微分都有哪些应用，这些应用哪些可以推广到多元函数微分学上来呢？前面已经讲了求切平面！我们知道利用一元函数微分学可以求一元函数的极值和最值，同理利用多元函数微分学可以求多元函数的极值和最值！ 思考为什么在多元函数微分学应用中没有讨论多元函数的单调性和凹凸性！第一节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、

2、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的存在性及可微性 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程02CyxC 0 时, 不能确定隐函数2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论本节讨论:一、一个方程情形一、一个方程情形n一般情形下，一般情形下， 元方程元方程0),(121yxxxFn确定一个确定一个n-1元函数。元函数。定理定理1. 1. 设函数设函数00(,)P xy),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求

3、导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数0),( yxF1、二元方程、二元方程,一个自变量的情形一个自变量的情形0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内那么若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还可求隐函数的 例例1.

4、验证方程验证方程01esinyxyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令令, 1esin),(yxyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx连续 ;由 定理1 可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 导的隐函数 那么xyFy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求,eyFxxxyFy cos0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0, 0yx0dd22xxy)cose(ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy )(eyx) 1sin(yy1, 0, 0yyx01sin),(yxeyyxFx2

5、)cos( xy 0 xy30dd22xxy)(, 01esinxyyyxyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0e yxyyxxey0 yx)0 , 0(cosexyyx导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导例例 2 2 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy. 解：解：,arctanln),(22xyyxyxF 令令那那么么,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 方法一：公式法方法一：公式法方法二：方法二：那那么么.xyyxy )(arctan

6、)(ln22 xyyx 2222)(12221xyxyxyyxyyx yyxyyx 在方程两端同时关于自变量求导：在方程两端同时关于自变量求导：方法三：利用微分形式不变性，在方程两端同时微分：2 2、三元方程、三元方程, ,两个自变量的情形两个自变量的情形0),( zyxF若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数 ;则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足,0),(000zyxFz满足:在点某一邻域内可唯一确定

7、理定理2 .;0),(000zyxF0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz那么zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在例例 3 3. . 设设,zz x y由方程由方程x zxyze确定，求确定，求.,yzxz 例例 4 4 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy . 解解 ),(zyxF令令zxyzzyxf ),(yzffFx 21xzffFy 21121 xyffFzzxFFxz ,12121xyffyzff xyFFyx ,2121yzffxzff 方法一：方法一：当然还有别

8、的两种方法，这里不再叙述了当然还有别的两种方法，这里不再叙述了,自己做！自己做！例例 5 5 设设04222 zzyx，求求22xz . 解解令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 例例 6 6 设函数设函数( , , )uf x y z有连续偏导数，有函数有连续偏导数，有函数( ),( )yy x zz x分别由方程分别由方程2xyexy和和0sinx zxtedtt所确定，求所确定，求dudx。 （()1sin()xxyzyexzfffxxz）

9、 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.11121111000(,)(,)(,)nmnmmnmF xxyyF xxyyFxxyy，11 2(,)(, ,)iinyy xxim确定m个n隐函数：一般情形下，m个方程n+m个变量组成的方程组以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比 行列式.即定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vu

10、yxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；, ),(000yxuu ),(000yxvv vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理证明略.仅推导偏导数公式如下：),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuv

11、uGFGGFF1(P85)xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组那么两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFFxuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv设设0 yvxu，1

12、xvyu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv . 解解1直接代入公式；直接代入公式；解解2运用公式推导的方法，运用公式推导的方法，将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x,00 vxvxxuyxvyuxuxxyyxxvyuxu ,22yxyvxu 例例7也有三种方法：也有三种方法：例例7. 设设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设

13、故有在在0 J的的条条件件下下，xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv sin8,.cosuuxeuvuvxxyeuv 例已知求 xvvuxuvxuexvvuxuvxueuusincos0cossin1解：解：xuxuevvvu )cos(sinsin. 0)cos(sin1.)cos(sin1sin vvevvevxuuu例例9 9解解., 0, 0,. 0),(, 0),(),()(dxduzhygzxhzyxgyxfuxu试试求求且且所所确确定定由由方方程程组组设

14、设函函数数 的函数的函数都看成是都看成是以及以及将方程组的变元将方程组的变元xzyu,得得求导求导方程组各方程两边对方程组各方程两边对,x )3(. 0)2(, 0)1(,dxdzhhdxdzgdxdyggdxdyffdxduzxzyxyx,)3(zxhhdxdz 得得由由,)2(yxzyxzgghghgdxdy 得得代代入入.)1(zyxzyyxyxhghgfggffdxdu 得得代代入入练习练习1. 求由方程求由方程2222 zyxxyz所确定的函数所确定的函数z=z(x，y) 在点在点1，0， 1处的全微分。处的全微分。解：解： 由方程得由方程得, 0)(1222 zdzydyxdxzy

15、xxydzxzdyyzdx因而，在点因而，在点（1，0， 1处处dydxdz2 2 2、设设,32)32sin(2zyxzyx 证明：证明：. 1 yzxz ,32)32sin(2),(zyxzyxzyxF 证证：1)32cos(2),( zyxzyxFx22)32cos(2),( zyxzyxFy33)32cos(2),( ）（zyxzyxFz3)32cos(6)32cos(21 zyxzyxxz3)32cos(6)32cos(42 zyxzyxyz，. 1 yzxz记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFx

16、zzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx .3、已知已知)(zyzx ，其中，其中 为可微函数，为可微函数， 求求? yzyxzx .,0),(),(tFyFtfxFtftFxfdxdyFfyxtyxFttxfy 证证明明。都都具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数的的函函数数，其其中中确确定定的的所所是是由由方方程程，而而例例：设设),(),(txfyyxG 解：解：xttfxfyxGx ),(yttfyxGy 1),(tytxFFytFFxt ,又又txxFFtfxfyxG ),(tyyFFtfyxG 1),(yxGGdxdy .tFyFtfxFtftFxf .,0),(),(tFyFtfxFtftFxfdxdyFfyxtyxFttxfy 。证证明明都都具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数的的函函数数，其其中中确确定定的的所所是是由由方方程程，而而例例：设设dxdy)1(