1.2.一阶线性微分方程(1)ppt课件

1、四川大学数学学院 邓瑾2022-1-13四川大学数学学院 邓瑾一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式:d( )( )dyP x yQ xx假设假设 Q(x) 0, d( )0dyP x yx假设假设 Q(x) 0, 称为非齐次方程称为非齐次方程 .1. 解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量d( )dyP xxy 两边积分得两边积分得ln( )dlnyP xxC 故通解为故通解为( )dP xxyC e 称为齐次方程称为齐次方程 ;2四川大学数学学院 邓瑾( )d( )P xxP x ue 对应齐次方程通解对应齐次方程通解( )dP xxyC e

2、 齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解( )dP xxCe 2. 解非齐次方程解非齐次方程d( )( )dyP x yQ xx用常数变易法用常数变易法:( )d( )( ),P xxy xu x e 那那么么( )dP xxu e ( )P x ()dP xxue ( )Q x 故原方程的通解故原方程的通解( )d( )d( )dP xxP xxeQ x ex ( )d( )d( )dP xxP xxyeQ x exC y 即即即即作变换作变换( )dd( )dP xxuQ x ex ( )d( )dP xxuQ x exC 两端积分得两端积分得3四川大学数学学院 邓瑾例例1.

3、 1. 解方程解方程52d2(1).d1yyxxx 解解: : 先解先解d20 ,d1yyxx 即即d2d1yxyx 积分得积分得ln2ln1ln,yxC 即即2(1)yC x用常数变易法求特解用常数变易法求特解. 令令2( ) (1) ,yu xx 那么那么2(1)2(1)yuxux代入非齐次方程得代入非齐次方程得12(1)ux 解得解得322(1)3uxC 故原方程通解为故原方程通解为3222(1)(1)3yxxC 4四川大学数学学院 邓瑾例例2. 2. 求方程求方程的通解的通解 .解解: : 注意注意 x, y x, y 同同号号, ,d0,2d,xxxx 当当时时d22dxxyyy 1

4、( )2P yy 1( )Q yy 由一阶线性方程通解公式由一阶线性方程通解公式 , 得得xe d2yy 1ey d2yy dlnyC 故方程可故方程可变形为变形为3d2d0 xxyyyx yy 1y 1y dln yC 所求通解为所求通解为 (0)xyyeC ClnCyy 这是以这是以x为因变量为因变量, y为为 自变量的一阶线性方程自变量的一阶线性方程5四川大学数学学院 邓瑾在闭合回路中在闭合回路中, 所有支路上的电压降为所有支路上的电压降为 0例例3. 3. 有一电路如图所示有一电路如图所示, , sin,mEEt 电电动动势势为为电阻电阻 R 和电和电( ) .i t LERK解解:

5、列方程列方程 .已知经过电阻已知经过电阻 R 的电压降为的电压降为R i 经过经过 L的电压降为的电压降为ddiLt因此有因此有d0 ,diELRit即即sinddmEtiRitLL 初始条件初始条件: 00ti 由回路电压定律由回路电压定律:其中电源其中电源求电流求电流感感 L 都是常量都是常量,6四川大学数学学院 邓瑾 LERK解方程解方程:sinddmEtiRitLL 00ti ()d()d( )dP xxP xxyeQ x exC 由初始条件由初始条件: 00ti 得得222mLECRL ( )i t d RtLe sinmEtL 222(sincos)RtmLERtLtC eRL d

6、dRtLet C 利用一阶线性方程解的公式可得利用一阶线性方程解的公式可得7四川大学数学学院 邓瑾222( )RtmLLEi teRL 222(sincos)mERtLtRL 222( )RtmLLEi teRL 222sin()mEtRL 暂态电流暂态电流稳态电流稳态电流arctan,LR 令令则则 LERK因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义解的意义: 8四川大学数学学院 邓瑾二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli ) ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形式伯努利方程的标准形式:d( )( )(0,1)dnyP x yQ x ynxny以以1d( )( )d

7、nnyyP x yQ xx 令令1,nzy dd(1)ddnzyn yxx 则则d(1)( )(1)( )dzn P x zn Q xx 求出此方程通解后求出此方程通解后,除方程两边除方程两边 , 得得换回原变量即得伯努利方程的通解换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程线性方程)9四川大学数学学院 邓瑾例例4. 4. 求方求方程程2d(ln )dyyax yxx 的通解的通解.解解: 令令1,zy 则方程变形为则方程变形为dlndzzaxxx 其通解为其通解为ze 将将1zy 2(ln )12ay x Cx 1dxx (ln )ax e 1dxx dxC 2(ln )2ax Cx

8、 代入代入, 得原方程通解得原方程通解: 10四川大学数学学院 邓瑾内容小结内容小结1. 一阶线性方程一阶线性方程d( )( )dyP x yQ xx方法方法1 先解齐次方程先解齐次方程 , 再用常数变易法再用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式 ()d()d( )dP xxP xxyeQ x exC 1,nuy 令令化为线性方程求解化为线性方程求解.2. 伯努利方程伯努利方程d( )( )dnyP x yQ x yx (0,1)n 11四川大学数学学院 邓瑾思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:dd(1)ddyyxyxyxxd(2)(lnln )dyxyyxx 3(3

9、) ()d2 d0yxxx y3(4) 2 d()d0y xyxy(5) ( ln2) ddyxy xx y 提示提示:1ddyxyyx 可分离可分离 变量方程变量方程dlndyyyxxx 齐次方程齐次方程2d1d22yxyxx 线性方程线性方程2d1d22xyxyy 线性方程线性方程2d2sindyxyyxxx 伯努利伯努利方程方程12四川大学数学学院 邓瑾备用题备用题1. 求一连续可导函数求一连续可导函数( )f x使其满足下列方程使其满足下列方程:0( )sin()dxf xxf xtt 提示提示:令令uxt0( )sin( )dxf xxf uu 则有则有( )( )cosfxf xx (0)0f 利用公式可求出利用公式可求出1( )(cossin)2xf xxxe 13四川大学数学学院 邓瑾2. 设有微分方程设有微分方程( ),yyf x 其中其中( )f x 2 ,01x0 ,1x 试求此方程满足初始条件试求此方程满足初始条件00 xy 的连续解的连续解.解解: 1) 先解定解问题先解定解问题2,01yyx 00 xy 利用通解公式利用通解公式, 得得dxye d12dxexC 1(2)xxeeC 12xC e 利用利用00 xy 得得12C 故有故有22(01)xyex 14四川大学数