1.2._换元积分法ppt课件

1、熟记基本积分公式熟记基本积分公式 Cxdxx2115 Cx1dxx1142 (1)Ckxkdx(2)Cxdxx111(3)Cxdxx|ln1(4)Cedxexx(5)Caadxaxxln(6)Cxxdxsincos(7)Cxxdxcossin(8)Cxxdxtansec2(9)Cxxdxcotcsc2(10)Cxdxxarctan112(11)Cxdxxarcsin112(12)Cxxdxxsectansec(13)CxdxxcsccotcscCkxkdx(k 是常数) Cxdxx111 Cxdxx|ln1 Cedxexx Caadxaxxln Cxxdxsincos Cxxdxcossin

2、Cxxdxtansec2 Cxxdxcotcsc2 Cxdxxarctan112Cxdxxarcsin112 Cxxdxxsectansec Cxdxxcsccotcsc P 1 0 1P 1 0 14. 2 换元积分法换元积分法一、第一类换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法二、第二类换元积分法P103教学目标教学目标: :熟练掌握不定积分的的换元积分法熟练掌握不定积分的的换元积分法教学重点：教学重点：第一类换元积分法第一类换元积分法(凑微分法）凑微分法）教学难点：教学难点：第二类换元法第二类换元法适当凑微分适当凑微分问题问题 xdx2cos,Cx2sin 解决方法解决方法利用复

3、合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程 令令x2t ,dt21dxdx2dt xdx2cosdttcos21 Ctsin21 .Cx2sin21 一、第一类换元法一、第一类换元法在一般情况下：在一般情况下：dx)x()x( f)x(dF xuduufdx)x()x( f CuF 由此可得换元法定理由此可得换元法定理P103定理定理4.3 CxF CuFduuf,ufuF 则则设设 可可微微如如果果)x(u dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式凑微分法）第一类换元公式凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()

4、( dxxxf)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式P103P103定理定理4.34.3例例 求求.xdx2sin x2t 令令,dt21dxdx2dt Ctcos21tdtsin21 原原式式;Cx2cos21 :().解解 用用第第一一换换元元法法 凑凑微微分分法法 dxx2dtx2ddt xdx2sin dxx2x2sin21 tdtsin21x2dx2sin21 （直接凑微分）（直接凑微分）:().解解 用用第第一一换换元元法法 凑凑微微分分法法 dudx1x2du1x2d ,u1x2 令令du21dx,dudx2 则则 C1x2814 duu213 Cu1312113 Cu81

5、4 dx1x23 dx1x2：3 求求例例 dx1x23 dx1x21x2213 1x2d1x2213 duu213 （直接凑微分）（直接凑微分）P104例例1 dx1x31求求 du31dx1x3ddu, 1x3u： 则则令令解解duu131dx1x31 Culn31 C1x3ln31 dx1x31x3131dx1x31 1x3d1x3131 duu131 （直接凑微分）（直接凑微分） .dxex31求求 ,dux31du，x31: 则则令令解解,du31dx du31edxeux31 due31u Ce31u Ce31x31 dudx3dudxx31 dxx31e31dxex31x31 d

6、ue31u x31de31x31 （直接凑微分）（直接凑微分）课堂练习：课堂练习：dxxcose：xsin 求求例例xdxcosxsinddu, xsinu： 设设解解duedxxcoseuxsin Ceu Cexsin dxxsinedxxcosexsinxsin xsindexsindueu （直接凑微分）（直接凑微分）例例 求求解解.xdxcosxsin2 xdxcosxsin2 dtt2当被积函数是三角函数相乘时，设偶次当被积函数是三角函数相乘时，设偶次项的三角函数为新变量项的三角函数为新变量.Ct313 Cxsin313 dtxdxcos,dtxsind, txsin 即即则则设设

7、xdxcosxsin2 dxxsinxsin2 xsinxdsin2 dtt2（直接凑微分）（直接凑微分）dxxxln: 例例dudxx1,duxlnd,uxln： 令令解解dxx1xlndxxxln duu Cu212 Cxln212 dxx1xlndxxxln dxxlnxln xlndxln duu （直接凑微分）（直接凑微分）熟悉常用的凑微分等式熟悉常用的凑微分等式 xarcsinddxx116xsindxdxcos5xcosdxdxsin4xlnddxx13dedxe2baxda1dx12xx 2222x1ddxx1x10 x1ddxx19xd2dxx18xarctanddxx117

8、 课堂练习课堂练习: dxx2cos21 dxx3112 dxe3x dxx2x2cos x2dx2cos duucos Cusin Cx2sin dxx31x31131 x31dx31131duu131 Culn31 Cx31ln31 dxxex xdex dueu Ceu Cex P104例例2dx3xx2 求求dux21dx,xdx2du, 3xu：2 则则令令解解dx3xx2 dux21ux duu21 Cu C3x2 dx3x3x121dx3xx222 3xd3x12122 duu121 duu21 （直接凑微分）（直接凑微分）P104例例3.dxxe2x 求求dux21dxdxdu

9、,xu：22 则则令令解解dux21exdxxeux2 due21u Ce21u Ce212x dxxe21dxxe2xx22 2xdxe212 due21u （直接凑微分）（直接凑微分） 堂上练习 P108-习题习题4.2-4、5、6、 dxx1x11dxx1x2、4222 22x1dx11 Cx1ln2 dx5x5x21dx5xx、5222 5xd5x2122duu21 C5x31232 Cu3123 dxx1edxxe、6x12x1 x1dex1Cex1 dueu Ceu P104例例4解：直接凑微分解：直接凑微分.dxxtan 求求dxxcosxsindxxtan xcosdxcos1

10、Cxcosln Culn duu1P104例例6Caxarctana1 .dxxa122 求求dx)ax1(a1dxxa122222 axdax11a12二、二、 第二类换元积分法第二类换元积分法(根式代换）根式代换）dx3xx 求求 tdt2dx,0t3tx,3xt：2 令令解解 tdt2t3tdx3xx2 dt3t22 Ct6t323 代回整理得代回整理得再将再将3xt C3x63x32dx3xx3 P107例例12补充例：补充例：dxex 11求求tex 1:令令解解)1ln(2tx 则则于是于是,122dtttdx dttttdxex212111 dtt 2112Ct arctan2C

11、ex 1arctan22:1,1,2;xtxtdxtdt 解解 令令则则于于是是有有22.21tdxdtt x x- -1 1x x22(1)121tdtt 212 (1)1dtt Ctarctant2 C1xarctan1x2 .dxx1x 求求课堂练习：课堂练习：P102 P102 习题习题4.14.11.(1)(3)1.(1)(3)（5 5）（）（7 7）P108 习题习题4.21.(2) (8)（12）（）（18）tdtatdtatadxxatax22sin22coscoscos 令例4.3.12 例 19 求dxxa22(a0) CxaxaxaCtta222221arcsin2)2s

12、in4121( 解 提示：axt arcsin, axaaxttt222cossin22sin设 xa sin t 2 2 t CxaxaxaCtta222221arcsin2)2sin4121( axt arcsin, axaaxttt222cossin22sinaxaaxttt222cossin22sin tataaxacossin22222tataaxacossin22222tataaxacossin22222 tataaxacossin22222 tdtadxcos tdtadxcos tdtatdtatadxxatax22sin22coscoscos 令tdtatdtatadxxat

13、ax22sin22coscoscos 令tdtatdtatadxxatax22sin22coscoscos 令2.三角代换三角代换提示：CxFCtFdtttfdxxftx)()()()( )(1)(堂上练习： 例 20 求22axdx(a0) 解 方法一 12222)ln()ln(CaxxCaaxax12222)ln()ln(CaxxCaaxax (C1Clna) 设taxtan 2 2 t tdtadx2sectdtadx2sec Ctttdtdttataaxdxtax|tansec|lnsecsecsec 2tan22令Ctttdtdttataaxdxtax|tansec|lnsecsec

14、sec 2tan22令Ctttdtdttataaxdxtax|tansec|lnsecsecsec 2tan22令Ctttdtdttataaxdxtax|tansec|lnsecsecsec 2tan22令Ctttdtdttataaxdxtax|tansec|lnsecsecsec 2tan22令tataaaxsectan22222那么tataaaxsectan22222tataaaxsectan22222 提示：12222|ln|lnCaxxCaaxax补充例： 例 23 求22axdx(a0) 解 当xa 时 Ctttdtdttattaaxdxtax|tansec|lnsectantans

15、ec sec22令(C1Clna) 12222|ln|lnCaxxCaaxaxtataataaxtan1secsec 222222tataataaxtan1secsec 222222tataataaxtan1secsec 222222那么tdttadxtansec Ctttdtdttattaaxdxtax|tansec|lnsectantansec sec22令Ctttdtdttattaaxdxtax|tansec|lnsectantansec sec22令Ctttdtdttattaaxdxtax|tansec|lnsectantansec sec22令Ctttdtdttattaaxdxtax

16、|tansec|lnsectantansec sec22令设taxsec(2 0t) 则 tataataaxtan1secsec 222222 当x0) 解 当xa 时 Ctttdtdttattaaxdxtax|tansec|lnsectantansec sec22令(C1Clna) 12222|ln|lnCaxxCaaxaxCtttdtdttattaaxdxtax|tansec|lnsectantansec sec22令Ctttdtdttattaaxdxtax|tansec|lnsectantansec sec22令Ctttdtdttattaaxdxtax|tansec|lnsectantansec sec22令Ctttdtdttattaaxdxtax|tansec|lnsectantansec sec22令Cauuauduaxdxux|ln 222222令Cauuauduaxdxux|ln 222222令Cauuauduaxdxux|ln 222222令12222|ln|lnCaxxCaxx说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为三角代换以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是