1.2极限与连续整章ppt课件

1、第一章 极限与连续第一节 数列的极限第二节 函数的极限第三节 极限运算法则、两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性第六节 闭区间上连续函数的性质1.2.1 数列的极限一、数列极限的概念一、数列极限的概念二、数列极限的几何意义数列极限的性质二、数列极限的几何意义数列极限的性质三、小结三、小结R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS一、数列极限的概念定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx 称为无穷数列称为无穷数列,简称数列简称数列,

2、 记为记为nx.其中的每其中的每个数称为数列的项个数称为数列的项,nx称为通项称为通项(一般项一般项). 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,)21( ,81,41,21n 2n)21(n ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.1x2x3x4xnx2.数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数n的函数的函数 Nnnfxn),(;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,222,22,2 .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn问题问题:当当 无限增大时无限增大时, 是

3、否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划“无限接近无限接近” ？ 1nxnnn11)1(1 ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,100011 nx有有, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx定定义义 设设 nx 为为一一数数列列，

4、如如果果存存在在常常数数a，对对于于任任 意意给给 定定的的 正正数数 ( (不不 论论它它 多多么么小小 ) ), ,总总存存 在在正正数数N, ,使使得得当当Nn 时时, ,不不等等式式 axn都都成成立立, ,那那么么 就就 称称 常常 数数 a是是 数数 列列 nx 的的 极极 限限 , ,或或 者者 称称 数数 列列 nx 收收敛敛于于 a, ,记记为为 ,limaxnn 或或).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn .2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数

5、数 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1n即所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1n

6、nn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 证证明明为为常常数数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任任给给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结: 用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有. 0li

7、m nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 1、唯一性、唯一性定理定理1 1 如果数列收敛，则数列的极限只有一个如果数列收敛，则数列的极限只有一个. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得正正整整数数., 021NN;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba ,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.二、数列极限的性质二、数列极限的性质2、有界性、有界性定理定理2

8、 2 如果数列收敛，则数列一定有界如果数列收敛，则数列一定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .注意：有界数列也可能发散注意：有界数列也可能发散.)1(1是是有有界界数数列列，且且发发散散例例如如数数列列 nnx3.收敛数列的保号性那那么么）（或或且且如如果果定定理理,00,lima

9、aaxnx30, 0nxNnN时时，都都有有当当存存在在正正整整数数).0nx（或或0222, 0,20 aaaxaaxNnNaann从从而而时时，有有当当正正整整数数知知对对的的定定义义，为为例例证证明明。由由数数列列极极限限以以证证).0(0,lim),0(0aaaxxxxnnnnn或或那那么么且且或或从从某某项项起起有有如如果果数数列列推推论论. 003, 0,max. 0, 0, 0lim. 0212211axxNnNNNxNnNaxxNnNxnnnnnnn，引引起起矛矛盾盾。所所以以必必有有，有有而而由由定定理理时时，由由假假定定有有当当取取时时，有有当当正正整整数数知知，则则由由定

10、定理理现现用用反反证证法法证证明明。若若时时有有项项起起，即即从从第第设设数数列列证证34、子数列的收敛性、子数列的收敛性 的的子子数数列列（或或子子列列）的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并定定义义：在在数数列列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx . knnxxkxxkknnnnkkk项项，显显然然，中中却却是是第第在在原原数数列列而而项项，是是第第中中，一一般般项项在在子子数数列列注意：注意：例如，例如，定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收

11、敛数列的任一子数列也收敛且极限相同相同证证 的的任任一一子子数数列列是是数数列列设设数数列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有时时使使,NK 取取,时时则当则当Kk .NnnnNKk. axkn.limaxknk 证证毕毕三、小结三、小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律; ;数列极限数列极限: :极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义; ;收敛数列的性质收敛数列的性质: :唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性. .表表示示的的）的的过过程程是是用用时时，当当NnnaxNnNaxnnn(, 0, 0

12、lim)(nfxxnnanfNnNanfaxnnn)(, 0, 0)(lim,lim时时，当当即即第二节 函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、极限存在准则.1)(时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxxf一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小表示AxfAxf.的的过过程程表表示示 xXx. 01)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxfx 问

13、题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当Axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3、几何解释、几何解释: X X.2,)(,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线图图形形完完全全落落在在

14、以以函函数数时时或或当当 AyxfyXxXxA例例1. 01lim xx证证明明证证xx101 x1, 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,01 x. 01lim xx故故.)(,)(lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 例 函数 ,由观察可知，当 趋 近于1记为 1时，函数 的值无限趋近 4， 我们称4为 1时， 的极限。记为4)1(2lim)(lim11xxfxx) 1( 2)( xxfxx)(xf)(xfx二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx

15、 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .0)()(0000表示的过程，可用而满足上式即可对应的的只要求充分接近的过程中实现的，是在无限接近于xxxxxfxxxxAxfx0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 定定义义 2 2 如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ( (不不论论它它多多 么么小小) ), ,总总存存在在正正数数 , ,使使得得对对于于适适合合不不等等式式 00 xx的的一一切切 x, ,对对应应的的函函数数值值)(xf都都 满满足

16、足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常数数 A就就叫叫函函数数)(xf当当0 xx 时时的的极极限限, ,记记作作 )()()(lim00 xxAxfAxfxx 当当或或 定定义义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给

17、定定的的正正数数 例例2).( ,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证证明明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf, 0 对对于于, 只只要要取取,00时时当当 xx函数在点函数在点x= -1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx例如

18、例如,0, 10,1)(2xxxxxf设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx 当 从0的左侧趋向于0时，有1)1(lim0 xx当 从0的右侧趋向于0时，有1)1(lim20 xxyox11-xx2+1xx3.单侧极限单侧极限:,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近;00 xx记记作作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近;00 xx记记作作左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作

19、.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或记记作作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 0000limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例5证证1)1(lim0 xxxxxxx0000limlim 11lim00 x三、函数极限的性质三、函数极限的性质定定 理理 2 2 （ 函函 数数 极极 限限 的的 局局 部部 有有 界界 性性 ） 若若.| )(|0, 00)(lim00MxfxxMAxfxx 时时，有有使使得得当当和和，那那么么存存在在常常

20、数数 定定理理 1（函函数数极极限限的的唯唯一一性性） 若若)(lim0 xfxx存存在在,则则极极限限唯唯一一. 即可证得。即可证得。，证明思路：取证明思路：取, 1|1 AM).0)(0)(,|0, 0),0(0,)(lim00 xfxfxxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理3 (3 (函数极限的保号性函数极限的保号性) ).0(0,)(lim),0)(0)(00 AAAxfxfxfxxx或或则则且且或或的的某某一一去去心心邻邻域域内内若若在在推论推论)(lim)(lim)(),(,)()(lim0000 xfxfxfNnxxxxfxxfxxnnnnnxx 必必收收敛敛，且

21、且么么相相应应的的函函数数值值数数列列那那且且满满足足：的的数数列列一一收收敛敛于于的的定定义义域域内内任任为为函函数数存存在在，如如果果定理定理4(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)证证.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当则则Axfxx )(lim0设设.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又四、极限存在准则四、极限存在准则准则准则 如果数列如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件满足下列条件: : ,lim,lim)2()3 , 2 ,

22、 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那么么数列数列 nx 的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. . 证证,azaynn使使得得, 0, 0, 021 NN,1 ayNnn有有时时当当时时，则则当当取取NnNNN ,max21有有时时当当,Nn , ayan,2 azNnn有有时时当当, azan上面两个不等式同时成立上面两个不等式同时成立,即即, azxyannn, axn即即.limaxnn 上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限。上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限。准则准则 如果如果 ,)(lim,)(lim)2(),()()()|)(,()1()(0)(0

23、0AxhAxgxhxfxgMxrxUxxxxxxxo 时，时，或或当当 那么那么)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意: :.)()(),()(的极限容易求出与或与并且与或与键是构造出利用夹逼准则求极限关xhxgzyxhxgzynnnn原则原则 I和准则和准则 I称为夹逼准则称为夹逼准则.例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则得由夹逼准则得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 n

24、xnx2.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM例例2 2.)(333的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列nxn 证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得

25、(舍去舍去).2131lim nnx例如例如, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.一、无穷小一、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为无穷小量极限为零的变量称为无穷小量.无穷小与无穷大无穷小与无穷大2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质: 定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无有限

26、个无穷小的代数和仍是无穷小穷小.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.定理定理4: 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.11lim1 xx例例特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变

27、量但是无界变量未必是无穷大未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx.)()(lim)(lim000的的一一条条铅铅直直渐渐近近线线就就是是那那么么或或如如果果xfyxxxfxfxxxx 三、无穷小与无穷大的关系0）1(xlim而1x1lim例1x1x 定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大. . 2x2xxlim,0 x1lim而而四、小结1、主要内容、主要内容:2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程

28、而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大是变量大是变量,不能与很小大的数混不能与很小大的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大. 极限运算法则、两个重要极限极限运算法则、两个重要极限一、极限运算法则一、极限运算法则二、例题二、例题三、两个重要极限三、两个重要极限定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设证证.)(li

29、m,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得1 极限的四则运算极限的四则运算)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00时时当当 xx,2B BBBB21 B21 推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnn

30、xfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立.)(lim)(lim,)(),(, 0)(lim)(lim)()()()(40000000000AufxgfuxgxUxAufuxgxxgfxguufyxgfyuuxxuuxx 则则时，有时，有当当且存在且存在，去心邻域内有定义，若去心邻域内有定义，若的某个的某个在在复合而成，复合而成，与与是由是由法则）设函数法则）设函数（复合函数的极限运算（复合函数的极限运算定理定理)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu)(xgu 令令)(lim00 xgux

31、x 意义：意义：2 2 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则二、例题二、例题例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: :则则有有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则则有有且且设设, 0)(,)()()(. 20

32、 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf .,0)(0则则商商的的法法则则不不能能应应用用若若 xQ解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的极极限限都都是是零零分分子子时时x.1后后再再求求极极限限因因子子先先约约去去不不为为零

33、零的的无无穷穷小小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小分出法无穷小分出法)小结小结: :为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbx

34、baxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是是有有界界函函数数而而x. 0sinlim xxxxxysin

35、 例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故三、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求

36、极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.思考题思考题 在某个过程中，假设在某个过程中，假设 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误AC两个重要极限两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO圆圆心心角角（如

37、如右右图图）作作单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例1 1.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例 xxxtanlim0例

38、例 求求)0(k1 sinlim0 一一般般地地xkxxsinlim0(2)exxx )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n12132112111 nn, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)718

39、28. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(limtttttttt)1(lim)1(lim e 10)1(lim例例4 4.

40、)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 1.2.6 无穷小的比较无穷小的比较 例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 由上面结果可看出，同是无穷小由上面结果可看出，同是无穷小, 但是趋但是趋向于零的向于零的“快慢程度却有不同快慢程度却有不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比., 0 , 1

41、xx1sinlim0 .不不存存在在；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;, 0lim)3(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 C低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比，就就说说如如果果 lim)(., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比时时，当当xxx ).0()3(2 xxox即即是是等等价价无无穷穷小小与与时时，当当xxxs

42、in0).0(sinxxx即即例如，例如，;, 1lim)5( 记记作作是是等等价价的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果例例1 1解解.tan4 ,0:43为为同同阶阶无无穷穷小小与与时时当当证证明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,043为为同同阶阶无无穷穷小小与与时时故故当当xxxx 例例2 2.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2000cos1lims

43、inlimcos1limxxxxxxxx ).(1 o为为必必要要条条件件是是等等价价无无穷穷小小的的的的充充分分与与定定理理证证必要性必要性，设设 1limlim ，0 ，即即因因此此)()( oo充分性充分性设设)( o )(limlimo）（ )(limo，1 因此因此 例例3 因为因为),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0时时当当 x常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax,tan,sinxxxx时时有有当当0.21cos1,arcsin2

44、xxxxx),(tanxoxx ),(arcsinxoxx 例例4 4解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则则当当uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx时时，即即，当当定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 例例5 5.2cos13sinlim20 xxx 求求解解.)2(212cos1 ,33sin,02xx

45、xxx 时时当当29)2(21)3(lim220 xxx原式原式例例6 6.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意例例7 7.2cos2sin1cossin1lim0 xxxxx 求求解解21010121sincos2sin22coslim

46、21)sin(cos)2sin22(cos2lim)sin(cossin2)2sin22(cos2sin2limsin2cossin22sin22cos2sin2lim000220 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原式式注意：只有极限式中的乘积因子才可在求极限时注意：只有极限式中的乘积因子才可在求极限时作等价无穷小代换作等价无穷小代换小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢, 但但并不是所有的无穷小都可进行比较并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换: 求极限的又一种

47、方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时 x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.1.3 函数的连续性一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点及类型二、函数的间断点及类型三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性一、函数的连续性一

48、、函数的连续性:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒恒有有时时使使当当连续。在点那么就称函数有定义，如果的某一邻域内在点设函数定义000)()()(lim)(10 xxfyxfxfxxfyxx.),(,),()(00000 xxxxxUxxUxxfy 的的增增量量，记记作作为为自自变变量量在在点点称称定定义义内内有有的的某某一一邻邻域域在在假假设设函函数数).()(000 xfxxfyyyxxx ，则则对对应应的的增增量量记记为为时时，有有增增量量在在当当自自变变量量xx 00 xxy0)(xfy x y ,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx等价于).()

49、(00 xfxfy等价于连续。在点那么就称函数如果的某一邻域内有定义，在设函数定义000000)(0)()(limlim)(2xxfyxfxxfyxxfyxx例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx .)(),()(lim000处处左左连连续续在在点点则则称称如如果果xxfxfxfxx 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)()

50、,()(lim000处右连续处右连续在点在点则称则称如果如果xxfxfxfxx 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的连续函数的连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例例2 2.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),( x任任取

51、取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对对任任意意的的 sin有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy例例3 3.0, 0, 2, 0, 2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf二、函数的间断点及类型二、函数的间断点及类型

52、:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点就就称称函函数数一一个个不不满满足足上上述述三三个个条条件件中中只只要要有有xfxxxf.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 可

53、去间断点可去间断点例例4 4.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)1(lim)(lim, 22lim)(lim1111 xxfxxfxxxx2)(lim1 xfx),1(f .0为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, , 则可使其变为连续点则可使其变为连续点. .在此例中在此例中, 2)1( f令令 , 1,1, 10,2)(xxxxxf则则.1处的连续处的连续在在 x.)(),()(

54、,)(0000跳跳跃跃间间断断点点的的为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf 跳跃间断点跳跃间断点例例5 5.0,0,10,210,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxf解解, 0)0( f, 1)0( f),0()0( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. .)(,)(00的的第第二二类类间间断断点点为为函函数数则则称称点点在在右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存处处的的左左、在在点点如如果果xfxxxf第二

55、类间断点第二类间断点例例6 6.0, 0, 0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第二类间断点为函数的第二类间断点 x例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断断点点这这种种情情况况称称为为的的振振荡荡间间1.3.2 连续函数的性质连续函数的性质定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续

56、在在点点设设函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内内连连续续在在 xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx1、四则运算的连续性、四则运算的连续性例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy.1 , 1arcsin上上也也是是单单调调增增加加且且连连续续在在故故 xy;1 , 1arccos上上单单调调减减少少且且连连续续在在同同理理 xy.,cot,arctan上上单单调调且且连连续续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.减减少少）且且连连续续。上上单

57、单调调增增加加（或或单单调调应应区区间间也也在在对对它它的的反反函函数数调调减减少少）且且连连续续，那那么么上上单单调调增增加加（或或单单在在区区间间如如果果函函数数定定理理),(|)()(21xyxIxxfyyIyfxIxfy 2、反函数与复合函数的连续性、反函数与复合函数的连续性定理定理3 3).()(lim)(lim,)(,)(lim.)()()()(00000000ufxgfxgfuufuxgDxUxguufyxgfyxxxxxxgf 则则有有点点连连续续在在函函数数若若复复合合而而成成，与与函函数数由由函函数数设设函函数数意义意义1.连续函数极限符号可与函数符号互换连续函数极限符号可

58、与函数符号互换;.)(. 2的的理理论论依依据据变变量量代代换换xgu 例例1 1.1lim0 xaxx 求求.lna )1ln(lnlim0yayy 原式原式解解,1yax 令令),1ln(lnyax 则则. 0,0yx时时当当yyya10)1ln(lnlim xxxsin30)21(lim2 求求例例)21ln(sin3)21ln(sin3sin321xxxxeexx ）（解解： 62)21ln(sin6lim)21ln(sin3lim00 xxxxxxxx而而6)21ln(sin3lim)21ln(sin30sin300lim)21(limeeexxxxxxxxx .)(,)(,)(,)(.)()()()(000000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点若若复合而成，复合而成，与函数与函数是由函数是由函数设函数设函数xxxgfyuuufyuxgxxxguDxUxguufyxgfygf 定理定理4 4注意定理注意定理4 4是定理是定理3 3的特殊情况的特殊情况. .例如例如,), 0()0,(1内内连连