1.2,向量及其线性运算ppt课件

1、数量关系数量关系 第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中在三维空间中: :空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; 向量法向量法坐标坐标, , 方程组）方程组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 向量及其线性运算 第七章 .a或表示法:向量的模 : 向量的大小

2、,21MM记作一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,.a或记作 a零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或机动 目录 上页 下页 返回 完毕 规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一

3、直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .假设 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的减法向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ab

4、)( ab有时特别当,ab aa)( aababaabababa0babaaa3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因而aaa 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理1. 设 a 为非零向量 , 那么( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .那么,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号, a , b 同向时那么 b 与 a

5、同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而机动 目录 上页 下页 返回 完毕 “ ”那么,0 时当例例1. 设设 M 为为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖

6、轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标)原点 O(0,0,0) ;rr机动 目录 上页 下页 返回 完毕 M坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面

7、xoz0 y机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xyzo2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM那么沿三个坐标轴方向的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , ixOA, jyOBkzOC四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那么ba),(zzyyxxbababaa)

8、,(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），（），（其中ba解解: 2 3 , 得bax32)10, 1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 已知两点已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设设 M 的坐标的坐标为为, ),(zyx如下图ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及实数, 1得),(zyx11),(212121zz

9、yyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM )(OMOBOMOBOA(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明: 由由得定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点 ,于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理

10、得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxB, rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 求证以求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点机动 目录 上页

11、下页 返回 完毕 例例5. 在在 z 轴上求与两轴上求与两点点)7, 1 ,4(A等距解解: 设该点为设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. ),0,0(914M考虑考虑: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 提示提示:(1) 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6.

12、 已知两点已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦. 记作),(ba机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyx

13、ycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例7. 已知两点已知两点)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例8. 设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 知知角依次为,43求点 A 的坐标 . ,43那么222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OAOAAO第二节 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题解解: 因因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131. 设设,853kjim,742kjin求向量求向量pnma34在在 x 轴上的投影及在轴上的投影及在 y轴上的分向量轴上的分向量.13xa在在 y 轴上的分向量为轴上的分向量为jjay7故在故在 x 轴上的投影为轴上的投影为jip