重庆中考数学题专题

1、学题专题TTA standardization office TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC, NABC=90° , E为AB延长线上一点，连接 ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点，且NBEH=NHEG.(1)若 HE二HG,求证：EBHgZGFC；(2)若 CD=4, BH=1,求 AD 的长.(1)证明：FHE=HG,ZHEG=ZHGE,J NHGE=NFGC, NBEH=NHEG,/. NBEH二NFG

2、C,G是HC的中点,二HG = GC,二HE = GC, V ZHBE=ZCFG=90° .-.EBHAGFC；(2)解：过点H作HI_LEG于I, YG为CH的中点， 二HG = GC,VEF±DC,HI ±EF,ZHIG=ZGFC=90° , ZFGC=ZHGI, GIH 会GFC, VAEBHAEIH (AAS),/.FC=HI=BH=1, .AD=4-1=3.2、已知，RtaABC中，ZACB=90° , ZCAB=30° .分别以AB、AC为边，向形外作等 边AABD和等边4ACE.(1)如图1,连接线段BE、CD.求证：B

3、E二CD；(2)如图2,连接DE交AB于点F.求证：F为DE中点.证明：(1);ABD和4ACE是等边三角形，二AB二AD, AC=AE, ZDAB=ZEAC=60° ,Z DAB+ Z BAC= Z EAC+ Z BAC,即 Z DAC= Z BAE,在ADAC和4BAE中，AC二AE NDAC= NBAE AD=AB ,/.DACABAE (SAS),DC 二 BE；(2)如图，作DGAE,交AB于点G,由二£人060° , N CAB=30 ° 得：ZFAE=ZEAC+ZCAB=90° ,ZDGF=ZFAE=90° ,又NACB

4、=90° , N CAB=30 ° ,NABC=60° ,又ABD为等边三角形，NDBG=60° , DB=AB, NDBG二 NABC二60。， 在ADGB和4ACB中，NDGB二 NACB N DBG= N ABC DB=AB /.DGBAACB (AAS), 二DG=AC, 又.AEC为等边三角形，.AE二AC, .DG=AE, 在和AEAF中，ZDGF=ZEAF NDFG= NEFA DG=EA .,.DGFAEAF (AAS), /.DF=EF,即F为DE中点.3、如图，在直角梯形ABCD中，AD±DCf ABDC, AB=BC, A

5、D与BC延长线交于点F, G是DC延长线上一点，(1)求证：CF=CG ;(2)连接 DE,若 BE=4CE, CD=2,求 DE 的长.解答：证明：连接AC,v DC/AB, AB=BC,乙 l = rCAB, Z.CAB=r2f.41=乙2 ；ZADC=ZAEC=90°, AC=AC,/. AADCAAEC,CD=CE ；v ZFDC=ZGEC=90°, 3=44, AFDCAGEC, CF=CG . 解：由 知,CE=CD=2,/.BE=4CE=8,AB/.AB=BC=CE+BE=10.在 RtAABE 中，AE= AB2-BE2=6,在 Rt ACE 中，AC= A

6、E2+CE2 = 2<7o由(1)知，ZXADC妾 ZXAEC,CD=CE, AD=AE,C、A分别是DE垂直平分线上的点，/. DE±AC, DE=2EH ； (8 分)在 RtAAEC 中，SAAec=- AECE= - ACEH, 22 AE CE 6x2 3M EH-= y=-AC 2M 5-2、哈驾4、如图，AC是正方形ABCD的对角线，点。点Q是AB上一点，连接CQ, DPLCQ于点P,连接 OP. OQ；D是AC的中点E,交BC于点(1) ABCQACDP ；(2) OP=OQ .证明：；四边形ABCD是正方形,/. Z.B=Z.PCD=90°, BC=

7、CDfX v DP ±CQ,.4 1 二乙3, 在ABCQ和ACDP中，ZB=ZPCD BC=CD Z 1 = Z3 ./. ABCQACDP . (2)连接 OB .由(1) ： BCQ/ZCDP可知：BQ=PCt 四边形ABCD是正方形，/. ZABC=90°, AB=BC,而点O是AC中点，/.BO=i AC=CO, Z4=l ZABC=45°=ZPCO, 22在 ABCQ 和 ACDP 中，BQ=CP Z4=ZPCO BO=CO ABOQACOP? . OQ=OP .5、在等腰梯形 ABCD 中,ADBC, AB=AD二CD,乙 ABC=60。，延长 AD

8、 到 E,使 DE=AD,延长DC到F,使DC=CF,连接BE、BF和EF.求证：AABEACFB;如果AD=6, tanZEBC的值.解：证明：连结CE,在aBAE与4FCB中，BA=FC,乙A二乙BCF, , AE二BC,/. ABAEAFCB ；(2)延长BC交EF于点G,作AHJ_BG于H,作AMLBG,vABAEAFCB,乙AEB二乙FBG, BE=BF,.BEF为等腰三角形，又AEBC.乙AEB二4EBG,乙EBG二乙FBG, /.BG1EF, / 4AMG二4EGM二乙AEG=90。,7、已知：AC是矩形ABCD的对CE=CA, F是AE的中点,四边形AMGE为矩形，AM二EG,

9、a在 RtZXABM 中,AM=ABsin60°=6x - =373 , /.EG=AM=3V3 , 2EG 373 V3BG=BM+MG=6x2+6xcos60°=15. /. tanZEBC=-= BG 1556、如图，在梯形ABCD中，AD/7BC, NC=90° , E为CD的中点，EFAB交BC于点F(1)求证：BF=AD+CF；A D y(2)当 AD= 1, BC=7,且 BE 平分 NABC 时，求/ /(1)证明：如图(1),延长AD交FE的延长线于N/ZNDE=ZFCE=9O zDEN=zFEC DE=EC/.NDEAFCE .DN=CF .A

10、B FN,图 ANBF.四边形ABFN是平行四边形.BF=AD+DN=AD+FC(2)解：,/ABEF, /. Z,ABN=/CEFC,即41 + 42=43,又Y 42+4BEF=43, /. Z1 = ZBEF, /.BF=EF,/ Z1 = Z2,Z.BEF=Z.2, ，EF=BF,又 : BC+AD=7+1 a BF+CF+AD=8而由知CF+AD=BFA DBF+BF=8 .2BF=8,BF=4, BF=EF=4连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH ； （2）若乙E=60。，且AE=8时，求梯形AECD的面积.（1）证明：连接BF'院若 ABCD为矩形.

11、AB ±BC AB± AD AD=BC.ABE为直角三角形 .F是AE的中点. AF=BF=BEZ.FAB=Z1FBA/.乙 DAF=4CBF . AD=BC,乙 DAF=4CBF,AF=BF,/. ADAFACBF . Z.ADF=ZBCFZ.FDC=zLFCD/. rFGH=ZFHGFG=FH ；(2)解：:AC二CE乙E=60。.ACE为等边三角形CE=AE=8 vABlBC BC=BE=1CE=42 .根据勾月殳定理AB=4JJ 梯形 AECD 的面积x(AD+CE)xCD=- x(4+8)x 473 = 24 V3 228、如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC,

12、乙BCD=90。，且 CD=2AD, tanZLABC=2,过点D作DEAB,交乙BCD的平分线于点E,连接BE .(1)求证：BC=CD ；(2)将ABCE绕点C,顺时针旋转90。得到ADCG,连接EG .求证：CD垂直平分EG ；(3)延长BE交CD于点P .求证：P是CD的中点.证明：延长DE交BC于F,. ADBC, ABDF,. AD=BF,乙 ABC=4DFC .在 RtADCF 中,tanZ.DFC=tan乙 ABC=2f即 CD=2CF,. CD=2AD=2BF1. BF=CF,/.BC=BF+CF=1CD+1 CD=CD .即 BC=CD .(2) tCE 平分乙BCD,Z.

13、BCE=Z.DCE,由知BC=CD,. CE=CE,/. ABCEADCE.BE=DE,由图形旋转的性质知CE=CG, BE=DG,DE=DG.AC, D都在EG的垂直平分线上,/.CD垂直平分EG .连接BD,由(2)知 BE=DE,/.41 二乙2 . ABDE,/.乙3二乙2 .乙1 二乙3 .AD/BC, .44二乙 DBC.由(1)知 BC=CD, /. ZDBC=ZBDC, .乙 4二乙BDP .又 BD=BD, BAD/ ABPD(ASA). DP=AD .v AD=-CD, /.DP=-CD .p是 CD 的中点. 229 .(2011南岸二诊)如图，已知点是正方形A8C。的对

14、角线AC上一点，过点尸作EF ±DP,交AB于点E,交CO于点G,交8c的延长线于点E,连接DF .(1)若DF=3亚,求。尸的长；Af-K求证：AE=CF./ 10 .如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形A益拓公嗨我长毒( (CG>BC),M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于24题图C 1(1)线段AD与NE相等吗？请说明理由；(2)探究：线段MD、MF的关系，并加以证由11、如图，梯形 ABCD 中，ADBC, AB=DC=d9emZAGD=60°, E、F分别为CG、AB的中点(1)求证： AGD为正三角形；求EF的长度.解答：证明：连接BE,梯形 AB

15、CD 中，AB=DC, AAC=BD,可证 ABC04DCB, AZGCB=ZGBC,又 ZBGC=ZAGD=60° A AGD为等边三角形,(2)解：TBE为 BCG的中线，ABE1AC,在RsABE中，EF为斜边AB上的中 线，/.EFAB=5cm .212、如图，梯形 ABCD 中，AD/7BC, DE=EC, EFAB 交 BC 于点 F, EF=EC,连接DF .(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2)若 AD=1, BC=3, DC=V2,试判断 DCF 的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点P,使 PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在

16、，请说明理由.解答：解：(1)证明：:EF=EC, A ZEFC=ZECF, VEF/AB, AZB=ZEFC,NB二NECF,梯形ABCD是等腰梯形；(2) DCF是等腰直角三角形，证明：.DE=EC, EF=EC, r.EF=-lcD,CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形)，二梯形ABCD是等腰梯形，CF=4 (BC - AD) =1,： DC=V2,，由勾股定理得：DF=1, DCF是等腰直角三角形；(3)共四种情况：VDF1BC,，当 PF=CF 时， PCD 是等腰三角形，即 PF=1, r.PB=l ；当P与F重合时，aPCD是

17、等腰三角形，PB=2；当PC=CD=V2 (P在点C的左侧)时， PCD是等腰三角形，PB=3 - 72 ；当PC=CDk巧(P在点C的右侧)时，4PCD是等腰三角形，PB=3W5.故共四种情况：PB=1, PB=2, PB=3-&，PB=3-h/2 .(每个1分)13 .在梯形48co中，AD/BC, AB=CD 且OEL4O于。ZEBC=ZCDE.ZECB=45° .求证:AB=BE ；延长8g交CD于F .若CE二&, tanNCD£=L求8尸的长.3AD'：DE±AD D,又 AO 8c而 NEC8=45。，：:,EG=CG：.ZA

18、DE=90°/e NDGC= NBGE=NBC EGC是等腰直角三角形，13 .证明：延长DE,交BC于G .在4 8EG和OCG中，：,/BEG/DCG(AAS) :BE=CD=AB连结BD .ZEBC=ZCDE：. ZEBC+ZBCD= NCDE+NBCD=9。,即 NBfC=90。CE= y/2 , EG=CG= 1 XtanZCDE=- *： BEGg ZXDCG, BG=DG=3，BE =，CD=BE= V10法一 ：二 S&g)= ； 8cOG = ； CD.BF,:ADLA BGCAr -DG=3'=>JBG2 + EG2 =-x4x3 = xy/

19、O»BF BF = 225法二：经探索得，ABEGsABFC, :.* =骼、：'-BG nr14 .如图，直角梯形 ABC。中，AD/ BC.ZADC = 907104 .6*0=.DT =3 BF5，448c = 45 .AB的垂直平分线EG交BC于F,交0c的延长线于G.求证证明:(1) EF ± AB. Z.B = 45,(2)连接Af .石尸是48的中垂线.A/=8/：(1)CF = CG ； (2)BC = DG."FE 上必.星=/BFE=由(1)知 Cb = CG/. BF + CF = DC + CG, ： BC=DG二、有关“截长补短.

20、题型1、在口A88中，对角线8DJ.BCG为8。延长线上一点且AA8G为等边三角形,4AD、NC8。的平分线相交于点已 连接A石交8。于尸,(1)若口A88的面积为96，求AG的长；A(2)求证：AE = BE+GEOGE 0D八、!2.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的飞9平分CDAE若正方形ABCD的边长为4,BE=3,求EF的长？(2)求证：AE=EC+CD .2 ：解：(1) EF = ylCE2 +CF2 =Vl2+22 = V5(2)证明：过F作FHJ_AE于HAF 平分乙 DAE,乙 D=90。，FH ± AE,/. ZDAF=EAF, FH=FD

21、,在4AHF与AADF中，AF 为公共边，ZDAF=ZEAF, FH=FDa AAHFAADF (HL). AH=AD, HF=DF . 又 v DF=FC=FH, FE 为公共边,/. AFHEAFCE . HE=CE . AE=AH+HE, AH=AD=CD, HE=CE,3.如图，直角梯形 ABCD 中,ADII BC, 3 B=90。, z D=45°.(1)若AB=6cm, sin/BCA二卫.求梯形ABCD的面积；5(2)若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH,NEFH=NFHG,求证：HD=BE+BF.分析：(1)连AC,过

22、C作CMJ_AD于M,在RS ABC中，利用三角函数求出BC,在RtaCDM中，nD=45。，利用等腰直角三角形的性质得到DM=CM=AB=6,则AD=6+8=14,然后 根据梯形的面积公式计算即可：(2)过 G 作 GN_LAD,则 DN=GN,由 ADll BC,得N BFH=N FHN,而N EFH=N FHG,得到易证R3 BEm NGH,则BE=GN, BF=HN,经过代换即可得到结论.连AC,过C作CMLADAB=6, sinz ACB=§=>AC 5Z D=45%Z BFE=Z GHN, 解答：解：(1)在 Rta ABC 中，/. AC=10,BC=8, 在 R

23、tA CDM 中,. DM=CM=AB=6,.AD=6+8=14,梯形ABCD的面积(8+14) 6=66 (cnr)： 2(2)证明：过G作GNJ_AD,如图， Z D=45% DNG为等腰直角三角形， .DN=GN,又 ADll BC,NBFH=N FHN,而N EFH=Z FHG, . Z BFE=n GHN, / EF=GH, RtA BEm RS NGH,.BE=GN, BF=HN,图:超或BCD 中，ABCD, AD=DC=BC, ZDAB=60°, E 是对角线 AC 延 §孱注工是AD延长线上的一点，E.EB1AB, EF1AF .(1)当CE=1时，求aB

24、CE的面积；(2)求证：BD=EF+CE .考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。专题：计算题。分析： 先证明NBCE=90。，NCBE=30。,/B已£烫直角三角形，又CE=1,继而 求出BE的长，再根据三角形的面积公旁变倏吧(2)过E点作EM±DB于点M,四城货誉卷% F1三DM,ZBME=ZBCE=90°, NBEC= N, A BMEBM=CE,继而可证明BD=DM+BM=EF+CE .¥解答：(1)解：.AD=CD,，ZDAC=ZDCA,/:DC: AB,/J ZDCA=ZCAB,右/DAC二/CAB二,/DAB二30 °，V

25、DC/7AB, AD=BC,.ZDAB=ZCBA=60°, .ZACB=180°- (ZCAB+ZCBA) =90°, J ZBCE=180° - ZACB=90°, VBE±AB.J ZABE=90°,J ZCBE=ZABE - ZABC=30°,在 RtA BCE 中，BE=2CE=2, bC=7bE2 -CE2 = V3; S域4CCE:号 X1岑(5分)(2)证明：过E点作EM_LDB于点M,四边形FDME是矩形，.FE=DM, ,? ZBME=ZBCE=90°, ZBEC=ZMBE=60

26、6;,AABMEAECB,ABM=CE, ，BD=DM+BM=EF+CE .(10 分)5.已知，如图，AD / IBC. ZABC = 90 ,AB = BC 点 f 是四上的点，ZECD = 45°,连接做过。作。尸，8。于£(1)若/8后。=75。,人？ = 3,求梯形板7?的周长人 (2)求证：ED = BE+FC ；5 .解：丁 NBEC = 75 ZABC = 90E在必ADFC中：NDCF = 60 ,FC = 3B由题得，四边形力的是矩形 延长必至G使吩b连接0G6 .如图，正方形A8CO的对角线相交于点。.点E是线段。上一点，连结CE .点尸是/OCE的平

27、分线上一点，且BELC/与CO相交于点M.点G是线段“上一占八、1且 CO=CG . ZDCE = 45若。3求;啜转工g(2)求证：8AOG+褪C = AEGC(1)解:TCF平*£3/G:.ED = BE+FC：.ZOCF=ZECF分) (124题图分)又：OC=CG, CF=CF、：./OCF/GCF (3；FG=OF=4,即/G的长为4(4分)(2)证明：在8方上截取8"二Cf 连结。”(5分),：BFA.CF,，ZBFC=90° .ZOBH= 180° ZBOCZOMB=90° ZOMB,Z OCF= 180° Z BFC

28、Z FMC=90° Z FMC,且 NOMB= NFMC,ZOBH=ZOCF （7 分）:.OBH/4OCF .Z. OH=OF, ZBOH=ZCOF （8 分） Z BOH+ Z HOM= ZBOC=90°,，Z COF+ Z HOM=90。,即 Z HOF=90° .，Z OHF= Z OFH= 1 （180° ZHOF） =45° .2ZOFC=ZOFH+ZBFC=35° .，：/XOCF叁4GCF、：,ZGFC=ZOFC=35°,ZOFG=36QoZGFCZOFC=90° .：,ZFGO=ZFOG=- （1

29、80°ZOFG） =45° .2：,ZGOF=ZOFH, ZHOF=ZOFG .A OG/FH. OH/FG,四边形OHFG是平行四边形.OG=FH （9 分）：.BF=OG+CF .7、如图，在正方形ABC。中，点尸是A3的中点，连接。P,过点8作8石_LDP交。尸的延长线于点E,连接AM(1)若AE = 2,求卬的长；(2)求证：PF = EP+EBO8.如图，在梯形ABCD中 ADBC, ZABC=90°, DGJ_BC 于 G, BHJ.DC 于 H,CH=DH,点E在AB上，点F在BC上，并且#DCO(1)若 AD=3, CG=2,求 CD;若CF二AD

30、+BF,求证：EFCD.28. (1)解：连接BD 1分 ADBC, 4 ABe=90。, DGLBC 二四边形 ABGD 是矩形 AB二DGBG二AD=3 /. BC=3+2=5 -/ BH ± DC, CH=DH, /. BD=BC=5在ABD 中，AB= V52 -32 = 4 /. DG=4在 Rt CDG 中,CD二次 + 2? = 2石 5 分(2)证明:延长FE、DA相交于M 6分 EFDC, ADCF.四边形CDMF是平行四边形,CF=MD CF=AD+BF, MD=AD+AM /. AM=BFAMBF乙 M=zLBFE 又；Z AEM=Z BEF/. AAEMABE

31、F 8 分MEEF MF四边形CDMF是平行四边形/. MF=CD，EF=-CD29、正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，NEAF=45”。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？变形a解：(简单思路)解：数量关系为：EF=BF-DE.理由如下：在BC上截取BG,使得BG二DF,连接AG。由四边形ABCD是正方形得NADE二NABG=90" , AD二ABXDE=BG/. AADE= AABG (SAS)NEAD= NGAB,AE=AG,由四边形 ABCD 是正Z DAB 二 90 "二 Z DAG+ Z GAB = Z DAG+ Z EAD = Z

32、 GAEZGAF=ZGAE-ZEAF=90"-45" =45"Z GAF= Z EAF=45 ° 又 AG=AEAF=AF/. AEAFs AGAF (SAS) /. EF=GF二BF-BG=BF-DE方形得10、如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC, AB=CD, BG_LCD于点G.(1)若点 P 在 BC 上，过点 P 作 PE_LAB 于 E, PF_LCD 于 F,求证：PE+PF二BG .(2)若 AD=4, BC=6, AB=2,求 BG 的长.解：(1)作 PM_LBG 于 M . . BG_LCD, PFJ.CD, PM±BG

33、,二四边形 PMGF 为矩 形，PF=MG . ABCD 是等腰梯形，a ZABC=ZC . -. PMlBG, CD1BG, PMCD .4MPB=ZC=ZEBP .又.乙BEP=4PMB=90°, BP=PB, /. ABEPAPMB, /. PE=BM . /.PE+PF=BM+MG=BG ；(2)过点D作DNAB交BC于点N .则ABND是平行四边形，DN=AB=DC=4BC=6, AD=4,.NC=4 .ZDNC 是等边三角形，ZC=60° . BG=BCsin60°=6x32=33 .11、正方形ABCD中,点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，NE

34、AF=45"。请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？12、已知梯形 ABCD 中，ADBC,AB=BC=DC,点 E、F 分别在 AD、AB 上，且乙 DJ3FCE=1/2ZBCD . 求证：BF=EF-ED ；(2)连接AC,若乙B=80。，ZDEC=70°,求乙ACF的度数.(1)证明：. FC=F'C, EC=EC, ZECF= ZBCF+ ZDCE= ZECF, /. AFCEAF1CE,EF=EF=DF+ED, /. BF=EF-ED ；(2)解：:AB=BC, ZB=80°, /. AACB=50°,由 得/FEC=NDEC=70

35、°,:.乙ECB=70°,而乙B二乙BCD=80°, /. ZDCE=10°, /. rBCF=30°, /. ZACF=BCA-ZBCF=20° .13.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BGJ_AP于点G,在AP的延长线上取 点 E,使 AG=GE.连接 BE, CE . 求证:BE=BC ;(2)乙CBE的平分线交AE于N点，连接DN,求证：BN+JDN =；(3)若正方形的边长为2,当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为(1)证明：' BGLAP, AG=GE.BG垂直平分线段AE,.ABuBE,在正方形AB

36、CD 中，AB=BC, /.BE=BC ;(2)证明：. AB=BE, /. Z.BAG=Z.BEG1 vBG±APf ZABC=90°,二乙BAG=4PBG=4BEG, . BN 为4CBE 的平分线，ZEBN=ZCBN, .乙PBG+4CBN=4EBN+乙BEG,即4BNG=4NGB=45。，ABNG是等腰直角三角形，BN= V2GN,连接 CN、AC,则乙CNE=2（Z.EBN+乙BEG） =90°,又/ADC=90。， .A、D、C、N 四点共圆，/.ZCND=ZCAD=45°,.,乙AND=45。，过 D 作 DMAE 于点 M,则 DNM 为等腰直角三角形，/.DN= V2DM, : Z.DAM+乙ADM=90。Z.DAM+乙BAG=90°, /. Z.ADM=Z.BAG,在4ABG 和aDAM 中，r ADM= BAG< AMD= .AGBAB = AD, .-.AABGADAM (AAS) , /.AG=DM,/.BN+DN= V2GN+ V2AG= V2 (GN+AG) = V2AN ;/nn L-9?XL 2V5(3)根据勾股定理，AP= VA52+BP2=V22+12= V5. .bg=V5=.