立体几何中的向量方法（课堂PPT）

1、12研究 从今天开始从今天开始, ,我们将进一步来体会向量这一工我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用具在立体几何中的应用. .3思考思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？能确定一条直线在空间的位置吗？3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？个平面在空间的位置吗？4、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一、给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？

2、个平面在空间的位置吗？4OPOPOPP 在空间中，我们取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量来表示。我们把向量称为点 的位置向量。OP一、点的位置向量一、点的位置向量5aABP二、直线的向量参数方程二、直线的向量参数方程 对对于于直直线线 l上上的的任任一一点点P, , 存存在在实实数数t使使得得 APtAB (1，）OP OA taOPxOA yOB xy 此方程称为此方程称为直线的向量式方程直线的向量式方程.这样点这样点A和向量和向量 不仅可以确定直线不仅可以确定直线 l的位置，的位置，还可以具体写出还可以具体写出l上的任意一点上的任意一点.a l6 Pb a OOPx

3、ayb 除此之外除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向还可以用垂直于平面的直线的方向向量量(这个这个平面的法向量平面的法向量)表示空间中平面的位置表示空间中平面的位置.n 这样，点这样，点O与向量与向量 不仅可以确定平面不仅可以确定平面 的位的位置，还可以具体表示出置，还可以具体表示出 内的任意一点内的任意一点.a b 、三、平面的法向量三、平面的法向量7A平面的法向量：平面的法向量：如果表示向量如果表示向量 的有向线段所在的有向线段所在直线垂直于平面直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平，则称这个向量垂直于平面面 ,记作记作 ，如果，如果 ，那，那 么么 向向 量量 叫做叫做平面平面

4、的的法向量法向量. n n n n 给定一点给定一点A和一个向量和一个向量 ,那么那么过点过点A,以向量以向量 为法向量的平面是为法向量的平面是完全确定的完全确定的.n n 几点注意：几点注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都一个平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是与平面平行或在平面是与平面平行或在平面内，则有内，则有0n m n m n l8线线面面平平行行 面面面面平平行行 四、平行关系：四、平行关系：111222( ,),(,),laa b cua b c设直线 的方向向量为平面 的法向量为

5、则121 21 2/00;laua abbc c9五、垂直关系：五、垂直关系：111222222,0, /abca b cauabc当时111222( ,),(,),aa b cua b c若则121212/,.lauakuaka bkb ckc10例例1.用向量方法证明用向量方法证明 定理定理 一平面内两条相交直线与另一个平面平行一平面内两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行已知已知 直线直线l与与m相交相交, ,lm,lm.求证 l,ma, .bv 证明 取的方向向量取 , 的法向量u,lm ,av bv v u ab,b 又a 不共线 所以v是 的一个法向量于是

6、v 同时是 、 的一个法向量 .法二：教材P104法一：11巩固性训练11.设设 分别是直线分别是直线l1,l2的方向向量的方向向量,根据下根据下 列条件列条件,判断判断l1,l2的位置关系的位置关系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行12巩固性训练21.设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2

7、, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交13巩固性训练31、设平面、设平面 的法向量为的法向量为(1,2,-2),平面平面 的法向量为的法向量为(-2,-4,k),若若 ，则，则k= ；若；若 则则 k= 。2、已知、已知 ，且，且 的方向向量为的方向向量为(2,m,1)，平面，平面的法向量为的法向量为(1,1/2,2),则则m= .3、若、若 的方向向量为的方向向量为(2,1,m),平面平面 的法向量为的法向量为(1,1/2,2),且且 ，则，则m= ./llll14例例3、用、用向量法向量法证明：一条直线与一个平面内

8、两条相证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。已知：直线已知：直线m，n是平面是平面 内的任意两条相交直线，内的任意两条相交直线，且且,.lm ln求证：求证：.l, , .l m na b c 解：设直线的方向向量分别为,0.lm lnab a b 0.a c 同理,m nm n且相交，p 内任一向量 可以表示为如下形式：, ,.pxbyc x yR ()0,a paxbycxa bya c .ll与 内的任一直线垂直.即15直直线线l与与平平面面 所所成成的的角角为为( (02 ) ), ,sina ua u ； 六、夹角：六

9、、夹角：16lmabml /baba /17 lua /l0 uaua18 u v /vuvu /19lamb ml0 baba20 l uuaua /la21 u v 0 vuvu22lamb，的夹角为的夹角为 ml,|cosbaba lamb 23 ula，的的夹夹角角为为 , l|)2cos(uaua ula 24 u v，的夹角为的夹角为 ,|cosvuvu 25 u v，的夹角为的夹角为 ,|cosvuvu 261 -2 321 -3ABAB例1：已知两点（， ， ），（ ， ， ），求 ， 连线与 三坐标平面的交点。517 10,0)334 4（ ，），(110AByozCyz分析

10、：设连线与平面的交点为（ ， ， ），1OCt OAtOB 由（）得111101(1,-2,3)(2,1,-3)0(1-23 3-6yzttyzttt（ ， ， ）（）（ ， ， ），）5 9OC（0， ， ）2712 3212112ABPQOPQA QBQ 练习：已知两点（， ， ），（ ， ， ），（， ， ），点 在上运动，求当取得最小值时，点 的坐标。( , ,2 ),OQOP 设261610QA QB 4233QA QB 当时，取得最小值。4 4 83 3 3Q此时（ ，）28问题：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(29(2,2,1),(4,5,3),AB