电磁场与电磁波课件之镜像法

1、 实实 质质: :是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具有边代替边界的影响，将原来具有边界的界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。自由空间，从而使计算过程大为简化。 依依 据：据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置镜像位置，因此称为，因此称

2、为镜像镜像电荷电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。关关 键：键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。定其镜像电荷。 3.4 3.4 镜镜 像像 法法 原原 则：则：所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间所有镜像电荷必须位于所求的场域以外的空间; ;镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足场域边界面上的边界条件来确定。面上的边界条件来确定。)(1)(14)11(4),(2121222

3、222hzyxhzyxqRRqzyxxqzh1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像 一一. 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 0200zSz上半场域边值问题上半场域边值问题(导板及无穷远处导板及无穷远处)(S为包围为包围q的闭合面的闭合面)(除除q所在点外的区域所在点外的区域)sqdSD0zxqzhqh导体表面上感应电荷导体表面上感应电荷2/3222)(2yxhqhPRR 由此可见，电场线处处垂直由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。表面吻合。 电场线与等位面的分布电偶电场线与等位面的分布电偶极子的上半部分

4、完全相同。极子的上半部分完全相同。 z 电场线等位线 电荷守恒：电荷守恒：当点电荷当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表面位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。及导体表面上的感应电荷。 可见，上述镜像法的实质是以一个异性的可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷镜像点电荷代替导体表面上异性的代替导体表面上异性的感应电荷感应电荷的作用。的作用。 根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量

5、应该等于这些感应电荷的总电量。 半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。上半空间中，源及边界条件未变。例例 求空气中一个点电荷求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。在地面引起的感应电荷分布情况。qqEEEpcos4220rqEp2/3220)(2xhqh解解: : 设点电荷设点电荷 离地面高度为离地面高度为h h方向指向地面方向指向地面02/122)(1xhqhqxdxxhqhdSSp2)(202/322整个地面上感应电荷的总量整个地面上感应电荷的总量P2/3220)(2xhq

6、hEpDenS)(0Eyyee例例 真空中，电量为真空中，电量为 的点电荷位于点的点电荷位于点 处，处， 平面是一个平面是一个无限大的接地导体板。无限大的接地导体板。求求 轴上电位为轴上电位为 的点的坐标；的点的坐标；计算该点的计算该点的电场强度。电场强度。解解: : 根据镜像法可知上半空间的电位根据镜像法可知上半空间的电位C1)1 ,0 ,0(PxOyzV410由由406101111410),0 ,0(zzz可解得可解得mz67.11)(1)(1421212222220hzyxhzyxqmz45.02将将 代入，得代入，得 当当 时，时， 轴上的电场强度轴上的电场强度z1z) 1(1) 1(

7、1410), 0 , 0(2206zzzzeEmz67.11mz45.02) 167. 1 (1) 167. 1 (1410), 0 , 0(22061zzeEmVz/1088. 14 e将将 代入，得代入，得当当 时，时， 轴上的电场强度轴上的电场强度z1z) 1(1) 1(1410), 0 , 0(2206zzzzeE) 145. 0(1) 145. 0(1410), 0 , 0(22062zzeEmVz/1014. 34ehzll,0z)0()()(ln2),(2222zhzxhzxzyxl2.2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像在在 的上半空间中，电位

8、函数为的上半空间中，电位函数为xlzhxzhhll沿沿 轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面的上方y其镜像电荷仍是无限长线电荷其镜像电荷仍是无限长线电荷3. 3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像xyA2dq1doBqq1dqq1d1d1d2d2d2d2d可看作是把导体平面撤去，整个空间均匀，由个点电荷所引起的。可看作是把导体平面撤去，整个空间均匀，由个点电荷所引起的。q 半无限大导体平面形成半无限大导体平面形成劈形边界劈形边界。但是仅当这种导体劈的夹角。但是仅当这种导体劈的夹角等于等于 的整

9、数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入边界的电位为零，必须引入几个几个镜像电荷。例如，夹角为镜像电荷。例如，夹角为 的导电的导电劈需引入劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。3/3/3q若两导体平面相交成若两导体平面相交成 角角, ,， 为整数为整数为为 个个n) 12(nn只要只要就可用镜像法求解，就可用镜像法求解， 其镜像电荷数为有限的，其镜像电荷数为有限的，例例 线电荷密度为线电荷密度为 的无限长直导线位于无限大导体平板的无限长直导线位于无限大导体平板（ 处）的上方处）的上方 处，沿处，沿 轴方向。

10、试求该导体板上的点轴方向。试求该导体板上的点 处处的感应电荷密度。的感应电荷密度。解解: : 去掉导体平板，在去掉导体平板，在 处放处放置线电荷密度为置线电荷密度为 的的镜镜像线电荷像线电荷替代其作用。替代其作用。mnCl/300zmz3y)0 , 5 , 2(Pzxyl) 3 , 0 , 0(Ozxyl) 3 , 0 , 0()0 , 5 , 2(P) 3, 0 , 0(Olmz3mnCl/30P P点电场强度为点电场强度为EEEpRRRlR02eE)323322(322103022222209zxee)32(132103009zxeeRlR02eE)323322(3221030222222

11、09zxee) 32(132103009zxee1326103009zeEP P点处的感应电荷面密度则为点处的感应电荷面密度则为)0 , 5 , 2(DenS)(0Ezzee29/2 . 213210180mnC1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像 二二. 导体球面的镜像导体球面的镜像 设点电荷设点电荷 位于一个半径为位于一个半径为 的接地导体球外，与球心距离为的接地导体球外，与球心距离为 。 导体球面将产生感应电荷，导体球外导体球面将产生感应电荷，导体球外的电位应由点电荷的电位应由点电荷 和感应电荷共同产生。和感应电荷共同产生。这类问题可用镜像法求解。这类问题可用镜像法

12、求解。 把导体球面移去，用一个把导体球面移去，用一个镜像电荷镜像电荷来等效球面上的感应电荷。来等效球面上的感应电荷。 为了不改变球面上的电荷分布，为了不改变球面上的电荷分布，镜镜像电荷像电荷必须放置在导体球面内。必须放置在导体球面内。 由于对称性由于对称性镜像电荷镜像电荷应位于球心与应位于球心与点电荷点电荷 的连线上。的连线上。qadqaadrcos2cos24122220drdrqrddrq 设设镜像电荷镜像电荷 ，与球心距离为，与球心距离为 。qd任一点电位函数为任一点电位函数为adr导体球接地导体球接地0ar 0cos2cos24122220dadaqaddaq0)(cos2)()(22

13、222222qdqdaqdaqda有有00)()(22222222qdqdqdaqda解得解得qdaq,2dad qqdd （舍去）（舍去）由惟一性定理，球外的电位函数为由惟一性定理，球外的电位函数为cos)/(2)/(cos2142222220dardardarddrq)(ar球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为arSn02/32222)cos2(4)(addaaadq导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为SSindSq 2002/322222)cos2(sin4)(addaddaaadqqda当点电荷当点电荷 位于接地导体球内，与球心距离为位于接地导体球内，与球心距离

14、为 （ ）。）。qad d镜像电荷镜像电荷应放置在球外，且在球心与点电荷应放置在球外，且在球心与点电荷 的连线的延长线上。的连线的延长线上。q 设设镜像电荷镜像电荷 ，与球心距离为，与球心距离为 。qd可得可得qdaqdad2由于由于 ，所以必有，所以必有 。ad qq 即在这种情况下，镜像电荷的电荷量大于点电荷即在这种情况下，镜像电荷的电荷量大于点电荷 的电荷量。的电荷量。q球壳外的电位球壳外的电位 ，球壳内的电位函数为，球壳内的电位函数为cos)/(2)/(cos2142222220dardardarddrq)(ar0球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为arSn02/32222

15、)cos2(4)(addaaadq导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为SSindSqq这种情况下，镜像电荷并不等于感应电荷。这种情况下，镜像电荷并不等于感应电荷。2. 点电荷对不接地导体球面的镜像点电荷对不接地导体球面的镜像 设点电荷设点电荷 位于一个半径为位于一个半径为 的不的不接地导体球外，与球心距离为接地导体球外，与球心距离为 。qda 注意到：注意到：导体球面是一个电位不导体球面是一个电位不为零的等位面；为零的等位面； 由于导体球未接地，由于导体球未接地，在点电荷的作用下，球面上总的感应电在点电荷的作用下，球面上总的感应电荷为零。荷为零。可用镜像法计算球外的电位函数。可用镜

16、像法计算球外的电位函数。分析：先设想导体球接地，情况如前。分析：先设想导体球接地，情况如前。点电荷点电荷 和镜像电荷和镜像电荷 使导体球的电位为零，不符电位条件，球面上总使导体球的电位为零，不符电位条件，球面上总感应电荷也不为零。感应电荷也不为零。qqq ad 再断开接地线，并将电荷再断开接地线，并将电荷 加于导体球上，球面感应电荷为零。加于导体球上，球面感应电荷为零。且使且使 在球面上均匀分布，保证为导体球面为等位面。这样电荷在球面上均匀分布，保证为导体球面为等位面。这样电荷 可用一个位于球心的镜像电荷可用一个位于球心的镜像电荷 来替代。来替代。qq qqq adq球外任一点电位函数为球外任

17、一点电位函数为21444rqrqrq qdaqdad2qdaqq )1(4)(411212rdardarqrqrqrq)1(422122012rrrrdardarqeeeE点电荷位于不接地导体球附近的场图点电荷位于不接地导体球附近的场图三三. 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像1. 线电荷对导体圆柱面的镜像线电荷对导体圆柱面的镜像 一根线电荷密度为一根线电荷密度为 的无限长线电荷位于半径为的无限长线电荷位于半径为 的无限长接地的无限长接地导体圆柱面外，且与圆柱轴线平行，线电荷到轴线的距离为导体圆柱面外，且与圆柱轴线平行，线电荷到轴线的距离为 。 aldldoax 为使导体圆柱面成为电位为零的等位

18、面，镜像电荷应是位于圆柱为使导体圆柱面成为电位为零的等位面，镜像电荷应是位于圆柱面内部且与轴线平行的无限长线电荷。面内部且与轴线平行的无限长线电荷。 ldoax),(Pdl 设镜像线电荷密度为设镜像线电荷密度为 ，由于对称性其必定位于线电荷，由于对称性其必定位于线电荷 与圆柱与圆柱轴线所决定的平面上，设镜像电荷轴线所决定的平面上，设镜像电荷 距圆柱的轴线为距圆柱的轴线为 。 ldllCddddllPcos21ln2cos21ln222220a0cos21ln2cos21ln22222Cdadaaddall 对任意对任意 都成立，再对都成立，再对 求导，可得求导，可得 0cos)(2)()(22

19、22lllldaddaddad有有00)()(2222lllldaddad解得解得ll,2dad dd （舍去）（舍去）ll由惟一性定理，导体圆柱面外的电位函数为由惟一性定理，导体圆柱面外的电位函数为Cddddaadl)cos2cos2ln(22224220a由由 得得adClln2导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为aSn)cos2(2)(2222addaaadl导体圆柱面上单位长度的总感应电荷为导体圆柱面上单位长度的总感应电荷为SSindSq202222cos22)(addaadaadll即，导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。即，导体圆柱面上单位

20、长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。cos2cos2ln2222222422dadaadaadl 由于电场相互影响，导致导体表面电荷分布不均匀，相由于电场相互影响，导致导体表面电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度较大，而相背的一侧电荷密度较小。对的一侧电荷密度较大，而相背的一侧电荷密度较小。2. 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 应用线电荷对接地导体圆柱面的镜像法，分析两半径相同、带有应用线电荷对接地导体圆柱面的镜像法，分析两半径相同、带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱周围的电场问题。等量异号电荷的平行长直导体圆柱周围的电场问题。llaahhll 两半径都为两半径都为 的平行导体圆柱，

21、轴线间距为的平行导体圆柱，轴线间距为 ，单位长度分别带，单位长度分别带电荷电荷 和和 。ah2llllllb2 带电细导带电细导线所在的位置称为带电圆柱导体的电轴，这种方法又称线所在的位置称为带电圆柱导体的电轴，这种方法又称电轴法电轴法。 设想：将两导设想：将两导体圆柱撤去，其表面电荷用线密度分别为体圆柱撤去，其表面电荷用线密度分别为 和和 、且相距为、且相距为 的两根的两根无限长带电细线来替代。无限长带电细线来替代。 实际是将实际是将 和和 看成是互为镜像。看成是互为镜像。电轴的位置电轴的位置bhdbhd,2)(abhbh22ahb解得解得导体圆柱外空间任一点的电位函数（为线电荷密度分别为导

22、体圆柱外空间任一点的电位函数（为线电荷密度分别为 和和 的两的两平行双线产生的电位叠加）平行双线产生的电位叠加）llRRlln2 电轴法的基本原理也可以应用到两个带有等量异号电荷但不同半电轴法的基本原理也可以应用到两个带有等量异号电荷但不同半径的平行无限长圆柱导体间的电位函数的求解问题。径的平行无限长圆柱导体间的电位函数的求解问题。四四. 介质平面的镜像介质平面的镜像1. 点电荷对电介质分界平面的镜像点电荷对电介质分界平面的镜像含有无限大介质分界平面的问题，也可采用镜像法求解。含有无限大介质分界平面的问题，也可采用镜像法求解。 在计算电介质在计算电介质1 1中的电位时，中的电位时，用置于介质用置于介质2 2中的镜像电荷中的镜像电荷 来代来代替分界面上的极化电荷，并把整替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为个空间看作充满介电常数为 的的均匀介质。均匀介质。q1 在计算电介质在计算电介质2 2中的电位时，中的电位时，用置于介质用置于介质1 1中的镜像电荷中的镜像电荷 来代来代替分界面上的极化电荷，并把整替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为个空间看作充满介电常数为 的的均匀介质。均匀介质。q 2qq 空间