矩阵的进一步讨论

1、第三章 矩阵的进一步讨论小结与复习一一. 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量1. 特征值与特征向量的定义特征值与特征向量的定义定义定义1:注：注：设设 是是 阶方阵，阶方阵，An若若数数 和和 维非零列向量维非零列向量 ，使得，使得 nx Axx 成立，则称成立，则称 是是方阵方阵 的一个的一个特征值，特征值， A为为方阵方阵 的对应于特征值的对应于特征值 的一个的一个特征向量。特征向量。xA (1) A是方阵是方阵1.定义定义2.求法求法3.性质性质（2）特征向量）特征向量 是非零列向量是非零列向量x（4）一个特征向量只能属于一个特征值）一个特征向量只能属于一个特征值（3）方阵）方

2、阵 的与特征值的与特征值 对应的特征向量不唯一对应的特征向量不唯一A 2. 特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法Axx 0AE x 或或 0EA x 已知已知0,x 所以齐次线性方程组有非零解所以齐次线性方程组有非零解0AE 或或0EA 111212122212nnnnnnaaaaaaAEaaa 定义定义2： ,n nijn nAa 数数 是是关于关于 的一个多项式，称为矩阵的一个多项式，称为矩阵 的的特征多项式。特征多项式。 A 1112121222120nnnnnnaaaaaafAEaaa 称为矩阵称为矩阵 的的特征方程。特征方程。A求特征值、特征向量：求特征值、特征向量：(1)

3、0AE 求出求出 即为特征值即为特征值; (2) Axx 0AE x 把得到的特征值把得到的特征值 代入上代入上 式，式， 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的非零解的非零解 0AE x x即为所求特征向量。即为所求特征向量。3. 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质性质性质1： 若若 的特征值是的特征值是 ， 是是 的对应于的对应于 的特征向量，则的特征向量，则A xA (1) kA的的特征值是特征值是. (kk 是是任意常数任意常数)(2) mA的的特征值是特征值是. (mm 是正整数是正整数)(3) A若若 可逆，则可逆，则 的特征值是的特征值是1A 1. A 的特征值是的特征值是

4、1.A 1,mkA AAA且且 仍然是矩阵仍然是矩阵 x分别对应于分别对应于 的特征向量。的特征向量。11 , ,A mk (4) ( )f x为为x的多项式，则的多项式，则 的特征值为的特征值为 ( )f x( ).f 性质性质2： 矩阵矩阵 和和 的特征值相同。的特征值相同。TAA定理定理2：设设 阶方阵阶方阵 的的 个特征值为个特征值为 n ijAa n12,n 则则12n11221 1) ( )ninniiatraaAa 称为矩阵称为矩阵A的的迹。迹。（主对角元素之和）（主对角元素之和）112n2) niiA . 02211 mmpxpxpx则则 , 02211 mmpxpxpxA,

5、0222111 mmmpxpxpx 定理定理3：设设 是方阵是方阵 的的 个特征值，个特征值，12,m Am12,mppp依次是与之对应的特征向量。依次是与之对应的特征向量。如果如果 各不相等，各不相等，12,m 12,mppp则则 线性无关。线性无关。书书p138 定理定理5.3.2即，即，方阵方阵 的属于不同特征值的特征向量线性无关。的属于不同特征值的特征向量线性无关。A证明：证明：设设常数常数 使得使得12,mx xx类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 等号左边第二个矩阵的行列式为等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，行列式， 当当 各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。i 等号两边同时右乘它的逆矩阵，有等号两边同时右乘它的逆矩阵，有 ,0 ,0 ,0,