平面波通过光阑──透镜分离系统的焦移

1、1997年3月安徽大学学报(自然科学版)JournalofAnhuiUniversityNaturalScienceEditionMarch1997Vol.21No.1第21卷第1期平面波通过光阑透镜分离系统的焦移刘学军(安徽大学物理系合肥230039)摘要本文运用Collins衍射积分公式分析了平面波通过光阑关键词光阑透镜分离系统,Collins公式,焦移,对称分布中图分类号O436.1透镜分离系统的焦移情况,给出了明确的表达式,并以数值计算例说明。还得到了两种对称分布。0引言已有文献12利用惠更斯菲涅耳衍射积分方法分析了球面波通过光阑透镜分离系统的衍射情况,得出其焦移同光阑与薄透镜之距离有

2、关的结论,但未能给出具体的公式。本文从Collins衍射积分公式出发,具体分析了平面波通过光阑透镜分离系统的焦移情况,较严格地导出了有关焦移的表达式,并结合数值计算例进行说明,得到当满足一定的分离条件时,其轴上聚焦光强的极大值点既可位于透镜几何焦点的左侧,也可位于其右侧,或相重合,还得到了一定条件下的对称分布等结论。图1平面波通过光阑透镜分离系统的衍射1焦区附近的场、强分布1,一单色平面波入射到一光阑无孔径薄透镜分离的光学系统上,该系统AB以矩阵su来描述。其中,透镜到光阑平面的距离为S0,F为薄透镜的后焦点,f为焦C距,P点为焦区附近空间中一代表点。对于旋转对称系统,为了方便计算,我们采用柱

3、坐收稿日期:1996-11-05© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第1期刘学军:平面波通过光阑透镜分离系统的焦移43=acosx=rcos(01)若入射面上=asiny=rsin.2的场分布为:U0=A0,则根据Collins公式,P点的场分布可写成:21222Dr-iklBeBad(1)U(P)=eeJ0未能BB0,)及(,Z),其中:标系(a(其中:LA,若=BS0+L=S0+f+z)以矩ABCD=区附则U(P)=1S01l10射。1-1/f011-l/fz(1-l/f

4、)s0+l=,-1/f1-s0/fS)S0f-i(1-l+(1-)S0f-i(1-)22al+(1-)S0fl+(1-ikLJ0)S0l+(1-0f1,dF(z)=-NaB)1+(1-ff,(F(z)为整个系统的全菲涅耳数)令E(r,z)=l+(1-)S0f=2Na)1+(1-ff(2)=Na,(Na为观察点在透镜后焦点处孔径的菲涅耳数f进一步有2(1-)S0+lf=2iA0Na1+(1-),fNa1)2r+KL=l+(1-)S0(1-)1+ffNa(1-()-2F(Z)a(3)2+1-24Naf(令此式等于 )+K(S0+f)l=1 NN)F(z)e-则:U(P)=2iA0Na+(1-fi

5、NiF(Z)d(4)J0E(r,z)e+1© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.44安徽大学学报(自然科学版)第21卷3I(P)=U(P)U(P)=I01+(1-222)C+S,fNa(5)2I0=(A0Na),为透镜后焦点处的光强大小。其中:).S=2J(E(r,z)sin(F(z)dC=20100212),(6)J0(E(r,z)cos(F(z)di以上即为焦区附近空间的场、强分布。2焦移情况2.1场、强分布对于主轴上近焦区域的场、强分布,由(4)式可得:U(P)=-)1+

6、(1-e-F(Z)fNaikL(e-iF(Z)2-1),(7)()()sin2)I(P)=I01+(1-()fNa2(8)2.2焦移及光强变化情况(1)表达式由(8)式,可进一步求出轴上光强最大值处的位置,由求dF(z)=0tan(=0,要dzdF(z)dzF(z)()M)(9)可推得:=1+(1-fNaF(z)2M轴上最大光强所对应的FM(z)的值即由上式所确定。由此式也可见:FM(z)的值由Na及所决定。进一步,由(2)式,可得相对焦移的大小:f()z=-fS)FM(z)Na+(1-f(10)(其中:zM表示轴上聚焦光强的极大值点同透镜几何焦点的偏离,z反映相对偏离程度)相对光强的大小为:

7、a=I0I0FM)+(1-fNa2sin2(F)-1,2M(11)(其中:Imax表示轴上聚焦光强极大值处所对应的光强值).© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第1期刘学军:平面波通过光阑透镜分离系统的焦移45z随Na及的具体变化情由上两式也可见:z及的大小皆由Na及所决定。I0fI0f况,我们在下面给予讨论。(2)作图和讨论S图2-1取几个确定值时,f图2-2取几个确定值时,I0fz随Na的变化随Na的变化图3-1Na取几个确定值时,z随的变化f图3-2Na取几个确定值时,

8、随的变化fI0© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.46安徽大学学报(自然科学版)第21卷当论当Na一定时,z随的变化关系图。I0f一定时,z随Na的变化关系图.fI0(1)由图2-1,图2-2可见:当为一定值时,|z|及都随着Na的增大而减fI0少,随Na的减少而增大。当Na时,即过渡到几何光学成像情况。(2)结合图3-1、图3-2分析一下,当Na取几个确定值时,z及I0随的变化情f的变化分以下三种情况来讨论:0S0<f时:其中,若S0=0时,则有:fF(z)=-Na,

9、E(r,z)=2Na,若以N=-2F(z)来替换F(z),则1+1+ff(8)、(9)式成文献(3)中的(3.2)、(3.11)式。0<<1时,有0<1-<1,由(9)式ffF可得出:此时,光强最大值处所对应的FM(Z)的值大于零,则z=-<)FMNa+(1-f0,即焦移是离开透镜的焦点移向透镜方向。由图可见:当Na一定时,在0<1区间fS内,z为负值,且|z|随着的增大而逐渐减小,趋于零。I0f况。针对2sin=1时,1-=0,则轴上光强分布为:I(P)=I0,此式类似于夫琅ff2f和费单缝衍射时的横向光强分布。当z=0时,得中央主最大值:Imax=I0.

10、可见,此时不管Na如何变,FM(z)=0,z=0处(即后焦点处)的光强恒为最大值,即无焦移产生。2时:有-11-<0,进一步,由(9)式可得出,此时光强最大值处所对ff应的FM(z)的值小于零,则:z>0,即此时的焦移是离开透镜的焦点,背离透镜方向。由1<图可见:当Na一定,1<逐渐增大。2时,z恒为正值,且随着的增大,z及的值也随着ffI0M(3)两种对称分布:当S0=f时,此时轴上光强是关于透镜的后焦点呈左、右对称分布的。在此可证明:S0=f时,由(2)、(8)两式,有:F(z)=-Na,I(P)=fsinI0F(z)F(z)22,若:z2=-z1,则:F2(z)=

11、-F1(z),I2(P)=I1(P)。© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第1期刘学军:平面波通过光阑透镜分离系统的焦移47当取一些关于=1处的对称值(如=0同=2处,=同=处等)fffff2f2=m(0m<1时),对应于z处的光强为I(z),其关于=1处的对称ff之时,衍射后焦区附近的轴上光强分布及焦移情况呈现出关于透镜后焦点的对称分布。证明如下:若处为:(8)两式,若z=-z,则有:F(z)=F(-z)=-F(z),=2-m,此时,据(2)、f(z)=I(z),即关

12、于I=1处的对称处的轴上光强是关于焦点沿轴对称分布f的。显然,两对称处的焦移也是关于透镜的后焦点沿轴对称分布的。3总结以上我们立足Collins衍射积分公式,分析了平面波通过光阑透镜分离系统后的焦(5)两式出发,对其焦区移情况,得到了一些有意义的结果。更进一步,我们还可以从(4)、附近空间的三维光强分布及位相分布情况做具体的讨论,有关内容,将另文分析。参考文献1R.G.Wenzeletal.J.Opt.Soc.Am.A,1986;3(6):8382R.G.Wenzel.J.Opt.Soc.Am.A,1987;4(2):3403YajunLiandEmilWolf.OpticsCommun,19

13、81;39(4):2114M.BornandE.Wolf.PrinciplesofOptics,6thedition,pergamonpress,1980FocalShiftinaPlaneWaveFocusedbyanApertureLensSeparatedSystemLiuXuejun(DepartmentofPhysics,AnhuiUniversity)AbstractApplyingtheCollinsformula,thefocalshiftforaplanewavepassingthroughanaperture-lensseparatedsystemisanalysedinthispaper.Apositiveequationisderivedandillustratedbynumericalcalculations.Twok