三角恒等变换-知识点+例题+练习

1、两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) C( a - 3):cos(a p)=cosacosB+sin_asin_B；(2) C( a + 3):cos(a +p)=cos_acos_3sin一asin_；(3) S(a + 3):sin(a +3)=sin_acos_3+cos_asin,3;(a 3)a 3a3a3(4) S:sin()=sin_ cos_cos_ sin_tana +tan3(5) T( “+ 3):tan(a + 3)=1tanatan3tana ta n3丁( a3):tan(a 3)=1+tanatan32二倍角的正弦、余弦、正

2、切公式3有关公式的逆用、变形等(1)S2:sin 2=2sinacos(2)C2a:cos 2a=cos2a sin2a =2cos2a 1=1一2sin2a ;2ta na2aa =2 T:tan 21tana2(1)tanatan3 =tan(a3)(1 ? tan_atan_3 )；a(2)cos2a=1+cos 2- , sin2a两个技巧、一a一 土一一3(1)拆角、拼角技巧：2a =(a + 3)+(a 3)；a =(a+ 3)3；3=-一 一 .2(3)1+sin 2a=(sina +cosa)2,1sin 2a=(sinacos)2,sina函数4cosa =2sina4fa=

3、aa +b() cossina, b 为常数，可以化为f) (b2sin(a0)或f (a)=a2+b2cos(a0)，其中o可由a,b的值唯一确定.1一cos2a P a Bf: 0 ai 4 邕 总氨 * 五 血1I JT i Bi血a - drF-! | jfr HHt i ig-2；2=- +22+ P.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，

4、 其手法通常有： “常值代换”、 “逆用变用公式”、 “通分约分”、 “分解与组 合”、“配方与平方”等.双基自测11(人教A版教材习题改编)下列各式的值为4的是( -冗A.2cos21)B.12sin275-122ta n 22.5C.21tan222.5D-sin 15cos 15sin 2a2.(2011福建)若tana=3，贝Icos2a的值等于(a2aJIL3已知sin=3，则cos(n2 )等于().n14.(2011辽宁)设sin 4+0 =3，则sin 29=(5. tan 20+tan 40+3tan 20tan 40 =考向一三角函数式的化简2cos4x2cos2x+【例1

5、】?化简冗2 n2ta nxSin审题视点切化弦，合理使用倍角公式.文案大全丈感总汨芳三角函数式的化简要遵循“三看”原则:(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式;(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.sina+COSa 1 Sina COSa+1【训练 1】化简：-sin 2a考向二三角函数式的求值冗【例2】?已知0V2VaVn,且I1 B )1fa)2cosa -2=9，sin2卩=3,求cos(a+B)的值.丁V、三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：已知角

6、为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系.n41【训练 2】已知a,30,2,sina =5,tan(a 3) =-一3，求 cos3的值.考向三三角函数的求角问题113na_a33a3【例3】?已知cos=7,cos()=14,且Ov vv2, 求空注2通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； n 若角的范围是 0 ,2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0 ,n)，选余弦较好；_ n n若角的范围为-2，2，选正弦较好.n n【训练3】

7、已知a,，且tana,tan3是方程x2+3 3x+422=0的两个根，求a +3的值.考向四三角函数的综合应用【例4】？(2010北京)已知函数f ( x)=2cos 2 x+sin2x.冗II(1)求f3的值；(2)求f ( x)的最大值和最小值.I 冷騎卞高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为y =Asin(3x+0)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、 周期性、对称性等性质.【训练4】 已知函数f ( x)=2sin(nx)cosx.(1) 求f ( x)的最小正周期； n n |

8、(2) 求 f ( x)在区间6,2上的最大值和最小值.三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法.一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题的关键在于“变角”，如a =(a+ 3)3，2a =(a+B)+(a 3)等，把所求 角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论.f ntan xI l-l丿x的值为【示例】？(2011江苏)已知tan x+4=2,则tan

9、 2_.二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.1 1a 33a 3【示例】？(2011南昌月考)已知tan()=2,tan=7,且，a 3(0，冗)，求2 的值.文案大全三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常 在选择题中以条件求值的形式考查.近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向.【示例】？ (2011温州一模)已知向量a=(sine , -2)与 b=(1,cose)冗互相垂直，其中e0,刃求

10、sine和cose的值；若5cos(e o)=3 5cos0，0v2，求cos0的值.【课后训练】A 组专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)11 . (2012 江西)若 tane+tane=4，贝sin 2e等于( )3A.5（2012B.4-大纲全国已知a,B都是锐角，( )A.4n 3 nc.4和4（2011 福建）若a（ ）j2A. 2)已知C.3D.sina + COSa=，则 cos 2a等于sina=c.9_55, sin3nB.4nD. -4和一,且 sin.3B. 33=a+ COS 25D.3二010,贝y a+a=4，

11、贝 V tana的值等于二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）2 25. cos 75 + cos 15 + cos 75 cos 15 的值等于 _ .护 tan 12 - 36.4cos212 -2sin 12= _.33nI7.sina=5， cosB=5，其中a,0,2，贝y a+B= _三、解答题(共 22 分)(1 + sina8. （10 分）已知1 sina集合.2tana,试确定使等式成立的a的取值3c69. (12(1)分）已知求 cosa2a的值;冗，且 sin2+ cos 22若 s in(352n，求 cosB的值.J_r厂3x42523+1x-5B 组专项能力提升（时间：25 分钟，满分：43 分）一、选择题 （每小题 5 分， 共 15 分）nn -J- - 13.71 . (2012山东）若0GH I4,2,sin 2 0 =8，则 sin 0 等于C .最大值是 2，最小值是一D .最大值是 2，最小值是一、填空题（每小题 5 分，共 15 分）114 .已知锐角a满足 cos 2a=cosI4 a1;，则 sin 2a=n12n、4,cos 2a5 .已知 cos4a=13,a贝Un=HAp1 fsin4+ a(冗2sin2x+16.设x0,2，则函数y=sin 2x的最小值为三、解答题fII