次幂等矩阵线性组合的幂等性

1、第 31卷 第 7期 2013年 7月河 南 科 学HENAN SCIENCEVol.31No. 7Jul. 2013收稿日期:2013-03-11基金项目:国家自然科学基金 (10771169作者简介:强春晨 (1988-,女,陕西榆阳人,硕士研究生,研究方向为矩阵理论与数学建模刘兴祥 (1964-,男,陕西合阳人,副教授,硕士研究生导师,研究方向为矩阵理论及其应用 .文章编号:1004-3918(2013 07-0931-06次幂等矩阵线性组合的幂等性强春晨,刘兴祥,岳育英(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000摘 要:首先给出 n 阶 k 次幂等矩阵的定义,然后讨论了

2、幂等矩阵的线性组合的相关定理,并得到一些很好的结果 . 关键词:幂等矩阵; n 阶 k 次幂等矩阵; 线性组合 中图分类号:O 151.21文献标识码 :AIdempotency of L inear C ombinations o f k T imes I dempotent M atrixQiang Chunchen ,Liu Xingxiang , Yue Yuying(Department of Mathematics and Computer Science , Yan an University , Yan an 716000, Shaanxi China Abstract :Th

3、is paper first gives the definition of n -by-n idempotent matrix of k , and then discusse s the idempotent matrix of the linear combination of the related theorem , and get s some good results. Key words :idempotent matrix ; n -by-n idempotent matrix of k ; linear combination文中所说的矩阵都是在复数域上的非零矩阵,主要研究

4、当 A 为 n 阶 k 次幂等矩阵, B 为任意矩阵,且满足 A ±B , AB =BA 时,线性组合 P =c 1A +c 2B 为 t 次幂等矩阵的充分必要条件 .1预备知识引理 11鄄 2设 A , B C n ×n , A 可对角化,且 AB =BA ,则称 A , B 可同时相似对角化 . 定义 1设 A C n ×n ,若存在最小正整数 k N 0, 1,使得 A k =A,则称 A 为 n 阶 k 次幂等矩阵 . 特殊的, 2次幂等矩阵和 3次幂等矩阵,也可分别称为幂等矩阵和立方幂等矩阵 .定理 1设矩阵 A C n ×n ,若存在最小正整

5、数 k N 0, 1,且 A k =A ,则存在可逆矩阵 Q C n ×n ,使得A =Q +ku =1k -1姨 1+(-1 sgn(u -1 &ei 2(u -1 1&I r uu (Q -1=Q +ku =1 1 k -1姨1+(-1 sgn(u -1&ei +2(u -1 +1&I r uu (Q -1=Q +k u =1u I r u1+Q -1(u =1, 2, 3, k ,其中:k -1u =1移 r u =rank(A , u (u =1, 2, 3, k为 k =的根, r u 为 u 的重数 . 证明设矩阵 A 的特征值为 ,特征向

6、量为 ,即有A =.由 A 为 n 阶 k 次幂等矩阵,且 A k =A ,则 k =,即第 31卷 第 7期河 南 科 学 (k -1-1 =0,解得 =0或 (k -1-1 =0. 由此可得k -1=1, 1 k -1姨 $k -1=1 1 =cos+i sin ,1 k -1姨 =cos+2(u -1 &+i sin +2(u -1 &, u =1 k -1姨 cos +2(u -1 &+i sin +2(u -1 &1(=1 k -1姨 e i+2(u -1 &=k -1姨 ei2(u -1 &(u =1, 2, 3, k -1,则矩阵

7、A 存在 k 个互不相同的特征值,分别为 k =0和 u (u =1, 2, 3, k -1,即 A 的 k 个互不相同的特征值 可用 u (u =1, 2, 3, k 来表示 . 因此, n 阶 k 次幂等矩阵 A 的特征多项式无重根,即 n 阶 k 次幂等矩阵 A 可对角化,则存在可逆矩阵 Q C n ×n ,使得A =Q +ku =1k -1姨 1+(-1 sgn(u -1 , 2ei 2(u -1 1, I r uu . Q -1=Q +ku =1 1 k -1姨1+(-1 sgn(u -1, e i +2(u -1 &1, I r uu .Q -1=Q +k u =

8、1u I r u1&Q -1, 其中:k -1u =1移 r u =rank(A , u (u =1, 2, 3, k 为 k=的根, r u 为 u 的重数,得证 .推论 1设 A C n ×n ,若 A 为 n 阶 3次幂等矩阵 (A 3=A ,则存在可逆矩阵 Q C n ×n ,使得A =Q (I r 1+-I r 2 +0 Q -1, 其中:r 1+r 2=rank(A =2. 推论 2设 A C n ×n ,若 A 为 n 阶 4次幂等矩阵 (A 4=A ,则存在可逆矩阵 Q C n ×n ,使得A =Q +3u =1u I r u +

9、1&0Q -1, 其中:3u =1移 r u =rank(A , 0和 u =k -1姨 e i2(u -1 &(u =1, 2, 3, k 为 k =的根 .2n 阶 k 次幂等矩阵线性组合幂等性定理定理 2设矩阵 A 、 B C n ×n /0, A 为 n 阶 k 次幂等矩阵 (A k =A , A ±B , AB =BA . 令 P =c 1A +c 2B ,其中c 1、 c 2 C /0,则使得 P 为 n 阶 t 次幂等矩阵 (P t =P 成立的充分必要条件为:埚 Q C n ×n 且 Q 0,使得B =Q +tv =1+ku =1t

10、 -1姨 1+(-1sgn(v -1 , ei 2(v -1 -c 1k -1姨 1+(-1 sgn(u -1 , ei 2(u -1 2I r u vv333456667Q -1=Q +tv =1+ku =1 1 t -1姨 1+(-1 sgn(v -1 , e i +2(v -1 $-c 1 1 k -1姨 1+(-1 sgn (u -1 , e i +2(u -1 $c 2I ru vv 333456667Q -1=Q +tv =1 +ku =1v -c 1u 2I r u v1$Q -1, 932-2013年 7月强春晨,等:次幂等矩阵线性组合的幂等性其中:tv =1移 k -1u =

11、1移 r u v =rank(A , tv =1移 r k v =n -rank (A , u (u =1, 2, 3, k 为 k=的根, r u (u =1, 2, 3, k 为 u 的重数, v (v =1, 2, 3, t 为 t =的根, r v (v =1, 2, 3, t为 v 的重数 . 证明充分性显然,只需证明必要性 .由 A k =A 及定理 1知,存在可逆矩阵 P 1 C n ×n ,使得A =P 1+ku =1k -1姨 1+(-1 sgn(u -1 &ei 2(u -1 1&I r uu (P -11=P 1+ku =1 1 k -1姨1+(

12、-1 sgn(u -1&2ei +2(u -1 +1&I r uu (P -11=P 1 +k u =1u I r u1+P -11=P 1(1 I r 1 +2 I r 2 +3 I r 3 + +k -1 I r k -2 +0I r kP -11, (u =1, 2, 3, k , 其中:k -1u =1移 r u =rank(A , u (u =1, 2, 3, k 为 k=的根, r u 为 u 的重数 .令B =P 1B 11B 12 B 1k B 21B 22 B 2k B 1k B k 2 B kkP -11,其中:B 11 C r 1×r 1, B

13、12 C r 1×r 2, B 1k C r 1×r k, B 21 C r 2×r 1, B 22 C r 2×r 2, B 2k C r 2×r k, B k 1 C r k ×r 1, B kk C r k ×r k.由 AB =BA ,得B =P 1(B 11 +B 22 + +B kk P -11, 又因 p =c 1A +c 2B ,则有 P =P 1(c 11I r 1+c 2B 11 +c 12I r 2+c 2B 22 + +c 1k -1I r k -1+c 2B k -1k -1 +c 2B kk P

14、-11,因为 P t =P ,故(c 11I r 1+c 2B 11 t =c 11I r 1+c 2B 11, (c 12I r 2+2B 22 t =c 12I r 2+c 2B 22, (c 1k -1I r k -1+c 2B k -1k -1 t =c 1k -1I r k -1+c 2B k -1k -1, (c 2B kk t =c 2B kk .再由定理 1知,存在可逆矩阵:Q 1 C r 1×r 1, Q 2 C r 2×r 2, Q k-1 Cr k -1×r k -1, Q k C r k ×r k,使得c 11I r 1+c 2B

15、 11=Q 1(1I r 11 +2I r 12 +3I r 13 + +t I r 1t Q -1, 1c 12I r 2+c 2B 22=Q 2(1I r 21 +2I r 22 +3I r 23 + +t I r 2tQ -1, 2c 1k -1I r k -1+c 2B k -1k -1=Q k -1(1I r k -1, 1 +2I r k -1, 2 +3I r k -1, 3 + +t I r k -1, t Q -1k -1,c 2B kk =Q k (1I r k 1 +2I r k 2 +3I r k 3 + +t I r ktQ -1k . 从而得B 11=Q 11-c

16、112I r 11+2-c 112I r 12 +3-c 112I r 13 + +t -c 112I r 1t+Q -12, B 22=Q 21-c 12c2I r 21+2-c 12c 2I r 22 +3-c 12c 2I r 23 + +t -c 12c 2I r 2t+Q -12, 933-第 31卷 第 7期河 南 科 学B k -1k -1=Q k -11-c 1k -12I r k -1, 1+2-c 1k -12I r k -1, 2+3-c 1k -12I r k -1, 3 + +t -c 1k -12I r k -1, t#Q -1k -1,B kk =Q k1-c 1

17、k2I r k 1+2-c 1k 2I r k 2 +3-c 1k 2I r k 3 + +t -c 1k 2I r kttQ -1k . 把以上等式 B 11、 B 22 B kk 带入 B =P 1(B 11 +B 22 + +B kk P -11中,从而得B =Q +tv =1+ku =1t -1姨 1+(-1sgn(v -1 ' ei 2(v -1 -c 1k -1姨 1+(-1 sgn(u -1 1ei 2(u -1 I r u vv*+,-.Q -1=Q +tv =1 +ku =1v -c 1u 2I r u vvtQ -1, 式中:Q =P 1(Q 1+Q 2 + +Q

18、k -1 +Q k P -11. 推论 3设矩阵 A 、 B C n ×n /0, A 为 n 阶 k 次幂等矩阵 (A k =A , A ±B , AB =BA . 令 P =c 1A +c 2B ,其中c 1、 c 2 C /0,则使得 P 为 n 阶 k 次幂等矩阵 (P k =P 成立的充分必要条件为:埚 Q C n ×n 且 Q 0,使得B =Q +kv =1+ku =1k -1姨 1+(-1sgn(v -11ei 2(v -1 -c 1k -1姨 1+(-1 sgn(u -11ei 2(u -1 c2I r u vv*+, -.Q -1=Q +kv =

19、1 +ku =1v -c 1u c2I r u vv#Q -1, 其中:kv =1移 k -1u =1移 r u v =rank(A , kv =1移 r k v =n -rank (A , u (u =1, 2, 3, k 为 k =的根, r u (u =1, 2, 3, k为 u 的重数, v (v =1, 2, 3, k 为 k =的根, r v (v =1, 2, 3, k 为 v 的重数 .推论 4设矩阵 A 、 B C n ×n /0, A 为 n 阶 k 次幂等矩阵 (A k =A , A ±B , AB =BA . 令 P =c 1A +c 2B ,其中c

20、 1、 c 2 C /0,则使得 P 为 n 阶 k 次幂等矩阵 (P 3=P 成立的充分必要条件为:埚 Q C n ×n 且 Q 0,使得B =Q 1-c 1k -1姨 1+(-1sgn(u -11ei 2(u -1 c 2I r u 1+-1-c 1k -1姨 1+(-1 sgn(u -11ei 2(u -1 c 2I r u 2+v*+0-c 1k -1姨 1+(-1 sgn(u -1 1ei 2(u -1 c 2I r u 3,-.Q -1=Q +3v =1+k u =1姨 1+(-1 sgn(v -11ei 2(v -1 -c 1k -1姨 1+(-1 sgn(u -1 1

21、ei 2(u -1 c 2I r u vv *+,-.Q -1=Q +3v =1 +ku =1v -c 1u c 2I r u vv#Q -1, 其中:3v =1移 k -1u =1移 r u v =rank(A , 3v =1移 r k v =n -rank (A , u (u =1, 2, 3, k 为 k =的根, r u (u =1, 2, 3, k为 u 的重数, v (v =1, 2, 3为 3=的根, r v (v =1, 2, 3为 v 的重数 . 推论 5设矩阵 A 、 B C n ×n /0, A 为 n 阶 3次幂等矩阵 (A 3=A , A ±B ,

22、 AB =BA . 令 P =c 1A +c 2B ,其中c 1、 c 2 C /0,则使得 P 为 n 阶 t 次幂等矩阵 (P t =P 成立的充分必要条件为:埚 Q C n ×n 且 Q 0,使得934-2013年 7月B =Q t -1姨 sgn(u -1 #2ei 2(u -1 1%-c 1姨 2I r 1v+t -1姨 sgn(u -112ei 2(u -1 1%+c 1姨 2I r 2v+ *t -1姨 sgn(u -1 12ei 2(u -1 1%2I r 3vv-.Q -1=Q +tv =1+3u =1t -1姨 1+(-1sgn(v -1 12ei 2(v -1

23、-c 1姨 1+(-1 sgn(u -1 12ei 2(u -1 2I r u v+ *v -.Q -1=Q +tv =1 +3u =1v -c 1u 2I r u v1%Q -1, 其中:tv =1移 3-1u =1移 r u v =rank(A , tv =1移 r 3v =n -rank (A , u (u =1, 2, 3为 3=的根, r u (u =1, 2, 3为 u 的重数, v (v =1, 2, 3, t 为 t =的根, r v (v =1, 2, 3, t为 v 的重数 . 推论 6设矩阵 A 、 B C n ×n /0, A 为 n 阶 3次幂等矩阵 (A

24、3=A , A ±B , AB =BA . 令 P =c 1A +c 2B ,其中c 1、 c 2 C /0,则 P 为 n 阶 4次幂等矩阵 (P 4=P 成立的充分必要条件为:埚 Q C n ×n 且 Q 0,使得B =Q c 2I r 11 +c 2I r 21 +c 2I r 31 +-1+i -c 1姨c 2I r 12 +-1+i +c 1姨 c 2I r 22 + *-1+i 2I r 32 +-1-i -c 1姨 2I r 13 +-1-i +c 1姨 2I r 23 +-1-i 2I r 33 + 0-c 12I r 14 + 0+c 1姨 c 2I r

25、24 + 0-0c 2I r34%Q -1=Q +4v =1+3u =13姨 1+(-1 sgn(v -1#ei 2(v -1 -c 1姨 1+(-1 sgn(u -1 #ei 2(u -1 c 2I r u v+ *v-.Q -1=Q +4v =1 +3u =1v -c 1u c 2I ru v1%Q -1, 其中:4v =1移 3-1u =1移 r u v =rank(A , 4v =1移 r 3v =n -rank (A , u (u =1, 2, 3为 3=的根, r u (u =1, 2, 3为 u 的重数, v (v =1, 2, 3, 4为 4=的根, r v (v =1, 2, 3, 4为 v 的重数 . 推论 7设矩阵, A 、 B C n ×n /0, A 为 n 阶 4次幂等矩阵 (A 4=A , A ±B , AB =BA . 令 P =c 1A +c 2B ,其中c 1、 c 2 C /0,则 P 为 n 阶 3次幂等矩阵 (P 3=P 成立的充分必要条件为:埚 Q C n ×n 且 Q 0,使得B =Q -c 12I r 11 +姨 -c 1-1+i 22I r 21 +姨 -c 1-1-i22I r 31 + 2I r 41 +*c 2I r 12 +-姨 -c 1-1+i c 2I r 22