矩阵初等变换的一些性质及应用

1、 收稿日期:2002-08-18作者简介:谭军,女,高级讲师,从事数学教学工作。矩阵初等变换的一些性质及应用谭军(福建经济管理干部学院,福建福州350002摘要:矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证明了矩阵初等变换的两个性质,以此为基础,归纳说明了矩阵的初等变换在线性代数课程中的应用,并给出了一些实例。关键词:矩阵;初等变换;性质;应用Abs t ract :The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear alge 2bra.The paper discusses

2、its properties and application.Key w ord :matrix ;elementary alternate ;properties ;application中图分类号:O151121文献标识码:A 文章编号:1007-9734(200204-0071-03矩阵的初等变换在线性代数课程中有着十分广泛的应用,也是该课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换与初等列变换具有同等的地位和作用,只是在使用过程中有所区别。下面主要以初等行变换为例说明其性质及其应用。一、初等变换的性质数域P 上的矩阵的初等行变换指以下三种变换:(1互换矩阵中i 、j 两行,记为r i r j 。

3、(2以数k 0乘某一行中的所有元素,第i行乘k ,记作kr i 。(3把矩阵的第i 行元素的k 倍加到第j 行对应元素上,记为r j +kr i 。类似地可以得到初等列变换的定义。矩阵的初等变换有一些重要性质,如初等变换不改变矩阵的秩,不改变行(列向量组的线性相关性等。下面两个定理给出了它的另外两个性质。定理1第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。证明:设A =(a ij m ×n 为数域P 上的m ×n 矩阵(i =1,2,m ;j =1,2,n 对矩阵A 施行第二、三种初等变换:A =a 11a 12a 1na s1a t1a t2a tna m1a m2a

4、mnr s -r t第20卷第4期2002年12月郑州航空工业管理学院学报Journal of Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management Vol 120No 14Dec 12002a11a12 (1a s1-a t1a t1a t2a tna m1a m2a mnr t+r sa11a12 (1a s1-a t1a s1a s2a sna m1a m2a mnr s-r t(-1r sa11a12 (1a t1a s1a s2a sna m1a m2a mnB上述矩阵B与矩阵A交换s、t两行后得到的矩阵是相同的。定理证毕。定

5、理2设A=(a1,a2,a n是数域p上一个m×n矩阵,其中a i=(a1i,a2i,a miT(i=1, 2,n且k1a1+k2a2+k n a n=0若A经过初等行变换变为矩阵B=(b1,b2,b n其中b i=(b1i,b2i,b miT(i=1,2,n,则有k1b1+k2b2+k n b n=0证明:由初等行变换的定义知道方程组x1a1+x2a2+x n a n=0与方程组x1b1+x2b2+x n b n=0同解。因此,若k1a1+k2a2+k n a n=0则有k1b1+k2b2+k n b n=0证毕。上述定理1说明只进行两种初等行变换就可以起到三种初等行变换的作用。定

6、理2说明求一个矩阵中列向量组的线性关系表达式可以通过初等行变换而得到。对于列变换的情形有类似结论。二、初等变换的应用初等行变换常应用于求矩阵的秩、逆矩阵、极大无关组等,下面归纳一些初等行变换在线性代数课程中的应用。11求矩阵的秩使用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵,阶梯形矩阵中非零行行数即为矩阵的秩,在此过程中也可使用列变换或者两种初等变换同时使用。21求可逆矩阵A的逆矩阵将n阶矩阵A的右边加入一个单位阵E,变成n×2n矩阵(AE,使用初等行变换把A化为单位阵,则E的位置变成A的逆矩阵,即(AE(EA-1值得注意的是在此过程中只能使用初等行变换。如欲使用列变换,则须把E置于A的下方变成

7、2n×n矩阵且只能使用列变换把A化为单位阵,同时E化为A的逆矩阵。31求一个向量组的极大无关组,并用该极大无关组表示其余向量例1已知向量组a1=(1,0,-1,a2=(0,0, 0,a3=(2,3,1,a4=(0,1,1,求其极大无关组并用极大无关组表示其余向量。解:把它们按列排成矩阵设A=(a T1,a T2,a T3,a T4=10200031-1011对A作初等行变换化为最简形:A100-23001130000=(b T1,b T2,b T3,b T4B根据定理2,由于单位向量b T1,b T3是向量组b T1,b T2,b T3,b T4的极大无关组,从而a1,a3是向量组a

8、1,a2,a3,a4的极大无关组且有以下表示式: a2=0a1+0a3a4=-23a1+13a372郑州航空工业管理学院学报第20卷 应该注意的是如果对A施行初等列变换,则可能得出错误的结果,因为列变换可能改变向量的位置,当然这种问题可以采用标注的办法予以解决。41求线性方程组Ax=b的解求线性方程组Ax=b的解可以采用对增广矩阵B=(Ab作初等行变换的方法,把矩阵B 化为阶梯形矩阵,由A与B的秩是否相等来判断它是否有解。一般说来,把A变为行阶梯形矩阵(称为高斯消元法的计算量要小一些,把A变为行最简形矩阵(称为单纯消元法的计算量要大一些。在此过程中只能对增广矩阵B=(Ab作初等行变换,不能作初

9、等列变换。更进一步可以求方程组Ax=b的基础解系以及通解。51求解矩阵方程AX=B,其中A可逆构造矩阵C=(AB,对C作初等行变换,把A变成单位阵E,则B变成矩阵A-1B,即矩阵方程AX=B的解X=A-1B。使用上述方法时也只能作初等行变换,不能作初等列变换。61求R m中的线性变换在一组基下的矩阵和T(r的坐标例2已知R3中向量r=(1,0,-1T及R3的一个基a1=(1,0,1T,a2=(1,1,1T,a3=(1, 0,0T,R3中的线性变换T,使得T(a1=(2,0, 1T,T(a2=(0,1,1T,T(a3=(2,-1,1T,求T 在基a1,a2,a3下的矩阵和T(r在基a1,a2,a

10、3下的坐标。解:构造矩阵A=(a1,a2,a3,T(a1,T(a2,T(a3,r=11101011020201-11111-1对A作初等行变换,化为最简形矩阵100 010 00110201-11-11-12从而线性变换T在基a1,a2,a3下的矩阵为10201-11-11向量T(r在基a 1,a2,a3下的坐标为10201-11-11-102=3-21即T(r=3a1-2a2+a3根据线性变换的性质,上述方法还是从用初等行变换求逆矩阵的思想演化而来的,因此也只能使用初等行变换。71判断两个向量组是否等价有向量组a1,a2,a s与向量组b1,b2,b t,如欲判断它们是否等价,可先构造矩阵A=(a1,a2,a s;b1,b2,b t,对A作初等行变换化为行阶梯形矩阵,利用行阶梯形矩阵可以判断b1,b2,b t是否可由a1,a2,a s线性表出;再构造矩阵B=(b1,b2,b t;a1,a2,a s,使用同样的方法判断a1,a2,a s是否可由b1,b2,b t线性表出。根据上述结论可以判断这两个向量组是否等价。81求R m的子空间W1与W2的和与交的维数在R m中设W1=L(a1,a2,a s,W2=L(b1,b2,b t,欲计算W1+W2与W1W2的维数。先构造矩阵A=(a1,a2,a s,b1,b2,b t,利用初等行变换求A中列向是组