材料力学压杆稳定习题解

1、第九章压杆稳定习题解习题9-1在§ 9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式Per2ei试分析当分别取图b,c,d所示坐标系及挠曲线形状精品时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同，由此所得 Fcr公式又是否相同。解：挠曲线微分方程与坐标系的y轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是Elw" M(x)°( c)、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程:Elw" M (x)，显然，这微分方程与(a)的微分方

2、程不同。临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即:Per2ei习题9-2图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 所示杆在中间支承处不能转动）？解：压杆能承受的临界压力为:Per2ei(.l)2由这公式可知,对于材料和截面相同的压杆,它们能承受的压力与原压相的相当长度丨的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长 度系数。(a)l 1 5 5m(b)l 0.7 74.9m(c)l 0.5 94.5m(d)l 2 2 4m(e)l 1 8 8m（f） l 0.7 5 3.5m （

3、下段）；丨 0.5 5 2.5m （上段）故图e所示杆Fer最小，图f所示杆Fer最大。习题9-3图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图 a）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。 试问两杆的临界力是否均为 PcrElmin(2.I)2?为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。I的压杆是否偏于安全?(b)螺旋千斤顶（图C）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时, 把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为（a）的下支座不同于（b）的下支座，所以它们的 2，其临界力为：PCr解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为临界力计算公式

4、不同。（b）为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2EI i一畀。但是，（a）为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素（2.I）22，因此，不能用 巳r匸旦驴来计算临界力。（2.I）2嗣jFifit为了考察（a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度C MEI20 -，l且无侧向位移，则:ElwM(x) Fcr( w)令号k2，得:微分方程的通解为:Asi nkx BcoskxAk coskxBksin kx由边界条件：xFcrC解得:FcrCk，BFcrsin kl Ckcoskl整理后得到稳定方程:kl tan klEl /I20用试算法得:kl 1.496故得到压杆的临界

5、力:Fcr496)*2ei2 。(2.1l)2因此，长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度当C 0时，C有关，C越小，则值越大。螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相 对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能 看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以 看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为I的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度C

6、 20旦，l则:巳個端巳r弹簧2.12221.1025， Per固端1.1025 Pcr,弹簧。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为I的压杆不是偏于安全， 而是偏于危险。习题9-4试推导两端固定、弯曲刚度为EI ,长度为I的等截面中心受压直杆的临界应力Pcr的欧拉公式。解:设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为巳，水平反力为0,约束反力偶矩两端相等，用Me表示，下标e表示端部end的意思。若取下截离体为研究对象，则转向为逆转。M (x)Pcr v( x)M eIIElvM(x) MeIIElvPcrv(x)MeIIPcr/ Mevv(x)，E

7、lElIIvk2v2 M e k2 ePc,(X)上述微分方程的通解为:Pcr2令k2 虫，则-ElPcrEIv Asin kx B coskxMePer.(a)v Ak cos kxBk sin kx边界条件： x0 Asi n0 B cos0Me0 AkcosO BksinO ； A把A、B的值代入a)得:v皿(1cos kx)叫 ksinkxPer边界条件：以上两式均要求:kL2n，(nMe的匹(1 coskL)，1 coskL巳业 ksinkLPersin kL 00,1,3,)Me。Per其最小解是：kL 2 ，或k2故有：k(0.5L)2PcrEI因此:2ei2(0.5L)2习题9

8、-5长5m的10号工字钢，在温度为00C时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受力。 已知钢的线膨胀系数i 125 10 7（0C） 1，E 210GPa。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定性？口 二 鱼=tA AAl2斶卫广 125xlO-?xl4.3xlO-+x5a习题9-6两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试 根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力Pcr的算式。-解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况:（a）每根立柱作为两端固定

9、的压杆分别失稳：0.125/2(b )两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳A=2失稳时整体在面内弯曲，则 1, 2两杆组成一组合截面。沪 +4?)(c)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳64尸故面外失稳时Per最小：巳3Ed412812习题9-7图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在B点铰支，而在A点和C点固定，D为铰接点，-10 d若结构由于杆件在平面 ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。解：杆DB为两端铰支人-，杆DA及DC为一端 铰支一端固定，选取 i L '。此结构为超静定结 构，当杆DB失稳

10、时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故=Fa( n +2 coe 30l.53/iraF尸2 F36.024EI习题9-8图示铰接杆系 ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆件在平面ABC内失稳而引起毁坏，试确定荷载F为最大时的 角（假设0）。2解：要使设计合理，必使 AB杆与BC杆同时失稳，即:Pcr, AB2eiIab2D2eiPcr, BC.2F sinIbctanF cosF cosF sinarcta n( cot2/ 丨 AB、2. 2(厂)cotl BC)习题9-9下端固定、上端铰支、长I 4m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，

11、如图所示， 并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力170MPa，试求压杆的许可荷载。解：查型钢表得：匚=2x198=396 6xl0'em4打=2x(25.6x10 + 12.74x10 x32.8s x IO-0) = 325 3x10 m4/325.3x10V100x2x48xlL84X10-3i.S4xir3二 152P<p=0 301凡=嗣=0301x170=51 2MPa5,=J4crst =2x12.74x10x5lxltf5 = 130X1O3 N = 130kN习题9-10如果杆分别由下列材料制成：(1 )比例

12、极限 p 220MPa，弹性模量E 190GPa的钢;(2) p 490MPa，E 215GPa，含镍 3.5%的镍钢;(3) P 20MPa， E 11GPa 的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解：(1)(2)(3)豆°p220 xlO6月3兀°PxlO411叽閒习题9-11两端铰支、强度等级为 TC13的木柱，截面为150mmx 150mm的正方形，长度 I 3.5m，强度许用应力10MPa。试求木柱的许可荷载。解:= 80.3 <5111CD -1十宀65=二0却由公式（9-12a）F = pcr-4 = 0393x10 xiofxlitf x

13、 IO-0 = 88.4xlO3N= 83.4 kN习题9-12图示结构由钢曲杆 AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。已知结构所有的连 接均为铰连接，在 B点处承受竖直荷载 F 1.3kN，木材的强度许用应力10MPa 。试校核BC杆的稳定性。解：把BC杆切断，代之以轴力 N，则Ma 01.3 1N cosC 1NsinC 101.3N sinC cosCsin C20.8221.52cosC1.50.6、221.521.3N0.929(kN)0.8i 0.6,bh31小I40403 213333(mm4)1212fT213333i y11.547( mm)，A:40 40l1 2.5 1

14、031-216.591i11.547由公式（912b）得:2800 2800220.0597216.52st0.0597 100.597MPa450x10屈 _ 1x6T 775=0.0774 m = 77.5,杳表得:= 4x9.397 x10 X0 07741 = 0 2253x10m4N 929N20.581MPaA 40 40mm因为 st，所以压杆BC稳定。习题9-13 一支柱由4根80mm 80mm 6mm的角钢组成（如图），并符合钢结构设计 规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长I 6m，压力为450kN。若材料为Q235钢，强度许用应力170MPa，试求支

15、柱横截面边长 a的尺寸。解：6 =莎=4x9.397x10“ ='19"MPa（杳表.掩二良菊"1皿2=.57.35xlO_grn4）rb 119.7/ = 4/o + 4(|-21.9xlO«= 2(21.9 +J（”）m2(21.9+ rm-5735)x10 xlO5s) = 119.397X10-4'mm习题9-14某桁架的受压弦杆长 4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式 b类 截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，170MPa。若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。2-LI25：* 125X10解：由

16、型钢表查得丄二 亠二 角钢:j4= 24.37 xlOm3= 4.85xlOm1x44.S5xlO= c：2 5查表：；? = 0.672L试求所能承受的许可压力。解：BC段为两端铰支，167 64 3.14 8042009600(mm4)2EI 3.142210 103N/mm2 2009600mm4l220002mm2Fbc1040227N1040.227kN电型0童416(kN)nst 2.5LgJ癒瘀A故 .TJ 广J- _' ij 二习题9-15图示结构中，BC为圆截面杆，其直径 d 80mm ； AC边长a 70mm的正方 形截面杆。已知该结构的约束情况为 A端固定，B、C

17、为球形铰。两杆的材料均为 Q235钢,若结构的稳定安全系数nst 2.5，弹性模量E 210GPa，可各自独立发生弯曲互不影响。AB杆为一端固定，一端铰支，0.7a470442000833( mm )2ei3.142210 103N /mm2 2000833mm4P939400 621N939 4kNcr2qqO厶 11 MM(I)22 1 002mm2Per939.4Fac375.76376(kN)nst2.51212故F 376kN习题9-16图示一简单托架，其撑杆 AB为圆截面木杆，强度等级为TC15。若架上受集度为的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许用应力''

18、，试求撑杆所需的直径 do设解:_2MxlOain込腔=Ta =7-513x10lufT沪二玄一茁1屮，=0.19 m宀02-怦锵卸= ,83求出的：'与所设二基本相符，故撑杆直径选用0.19习题9-17图示结构中杆 AC与CD均由Q235钢制成，C，D两处均为球铰。已知 认- mm,*1二mm，丘匸匸mm ；三一门：王-一，i 亠强度安全因数;=-；，稳定安全因数飞- '。试确定该结构的许可荷载。解：（1）杆CD受压力 Fcd2m .BJ梁BC中最大弯矩 M2F.ib.(2)梁BC中M 退4F/£J = = 乞W 3-hh1 bh1 a95175i>T= 95

19、.2kN4x2.0bk2 SxlOxlOOxlSOxlO-41(3)杆 CDlxl(Q235钢的P 100)64x1ica EJ /超忧胪存艾20Z1F乂 gm/2x64=二；厶 亠门（由梁力矩平衡得）M 303.0故，由（2）、（ 3）可知，F15.5kN习题9-18图示结构中，钢梁 AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根63mm 63mm 5mm角钢组成，杆CD符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度 q 48kN/m。梁及柱的材料均为 Q235钢，170MPa， E 210GPa。试验算梁和立柱是否安全。解：（1）求多余约束力 Fcd把CD杆去掉，代之以约束反力Fcd。由变形协调条件可知,WC1 CDWcqWcFcdCD45q1 AB384EIF Cd1 AB48EIFcd1cdEA45q1 AB384IF Cd1 AB48IFcd1cdA查型钢表得：16号工字钢的lz 1130cm4，Wz 141cm32463mm 63mm 5mmL 形角钢的面积：A 6.143cm , Iz 23.17cm ,iz 1.94cm44335 48kN/100cm 400 cm Fcd 400 cmFcd 200cm384 1130cm448 1130cm412.286cm25 48kN/100 4004 Fcd 400Fcd 200