数理流行病学

1、数理流行病学数理流行病学是通过建立、 分析和应用数学模型来研究疾病在人 群中分布和流行的数量规律的流行性病学分支。 虽然 Farrw 早在十九 世纪四十年代就用统计方法对有关疾病和死亡率的大范围现象作了 比较广泛的研究， 试图揭示流行病爆发的经验规律， 然而其真正借用 数学模拟的方法研究流行规律，至20世纪初才开始。Hamerwh于1906 年提出了这样的设想： 一个流行过程必然依赖于易感人数及易感者与 感染者之间的接触率。 这个简单的数理假设为以后人们提出种种流行 病学数学模型提供了重要的理论基础。20 世纪 70 年代以来，借助于电子计算机作数值分析和模拟研究， 数理流行病学发展很快， 现

2、在日益认识到： 数学模型在寻找疾病传播 的重要因素，认识疾病传播过程的机制和特点，验证假说，制定和评 价流行病的防治对象， 以及在流行病的教学上， 都能发挥积极的作用。流行病数学模型是反映疾病传播过程中诸重要因素 （主因素 ）之间 相互联系的数学方程。 为了建立模型， 通常将人群分成属于各种流行 病学状态的若干类别。 虽然在疾病的传播过程中， 每个成员都会改变 其流行病学状态的类别， 比如，一个易感者经过感染从易感类进入到 感染类， 或者一个感染病例因死亡或隔离从感染类转入移除类， 但是 在确定的时间， 各个类别是互不相交的， 即每个成员都归属于确定的 一个类别，不能同时属于两类或更多类。一种

3、疾病的传播， 受很多社会因素和自然因素的制约和影响， 人 的个体差异很大，所以，任何一个流行过程本质上是一种随机现象， 要对它作出精确的数学描述， 必然包含着概率和概率分布的概念。 按 此说法，流行病学的数学模型似乎都应该是随机性模型。可是，实践 表明，在某些具体场合， 采用确定性模型也能很好地反映实际的流行 过程。当处理大量的易感人数和感染病例时， 我们可预期随机扰动对 大范围现象的影响将大为减小， 因而采用确定模型作为初步近似是合 理的。下面介绍几种常用模型一、无移除的简单模型我们考虑最简单的一类流行病模型， 它对于理解如何建立流行病 学数学模型是有益的。 假定感染通过一个团体内成员之间的

4、接触而传 播，感染者不因死亡、痊愈或隔离而被移除，则所有的易感者最终都 将转变为感染者。显然，这种假设对实际情况而言是太简单化了。但 可近似地适用于下述情况： 疾病有高度的传染力， 但尚未严重到发生 死亡或需要隔离的程度， 例如某种上呼吸道感染； 也可近似地表示这 样一种疾病的流行： 从流行中移除的时间一般要比感染传遍团体的时 间更长。为了建立这类流行病的数学模型。我们把在时间 t 的易感染人数 和感染人数分别记为S和I，并假设：(1) 团体是封闭的，总人数为N ,开始时不防假定只有一个感 染者；(2) 团体中各成员之间接触均匀， 因而易感者转为感染者的变 化率与当时的易感人数和感染人数的乘积

5、成正比。2据此我们可建立如下的数学模型:dsdt- SI(1)初始条件是t=0，I（ 0）=1,方程（1）中的比例系数称为感染将（2）代入（1）得ds芟：S(N -S)dt这是一个变量可分离的一阶常微分方程,分离变量后两边织分:dSS(N - S)-dt1 S R解之得：NlnN：t C式中C为积分常数，可由初始条件求得:C = ln(N-1)代入上式得：n " N -NSS1 门一1）N5整理后得:N(N -1)（N-1） e Nt此方程描述了易感人数随时间变化的动态关系。、催化模型Muench 将关于催化作用机理的思想移植于流行病学领域，提出 了一组流行病学催化模型应用于沙眼，

6、乙型肝炎， 血吸虫等的年龄分 布资料，借以定量估计某病在一个地区的“感染力” ，评价防治效果， 以及检验疾病分布和流行特点的某些假设，受到人们的重视。Muench 的催化模型是建立在下述假设的基础上的：(1) 在出生时(t=0),被研究的人群全为易感者，相当 于化学中的初始反应物(2) 某病在该人群中的感染力是恒定的。易感者由于受 感染力的作用而被变成感染者。这种感染力可用单位人口在单 位时间(通常是一年)内的有效接触数来衡量。 所谓有效接触 系指足以使易感者感染的接触。 例如，某地百日咳的感染力为 0.129，即表示每年平均 1000 个易感者中有 129 个有效接触 感染了百日咳。显然，应

7、将感染力理解为有关疾病传播的许 多重要因素综合作用大小的一种度量。( 3) 感染某病后，可用血清学，皮肤试验或临床流行病 学等方法检查出来，从而可对在时间 t 被感染的比率 (相当于已 发生化学反应的分量 )y 作出估计。( 4) 被研究的人群中，发生流动、死亡等因素可略而不 计。1、简单催化模型设开始时(t=0),未发生变化的反应物分子或易感者的总量为 1, 经过时间t,已发生的部分为y，从而1y是当时没有变化的相对量，这是“催化力”或“感染力”仍能起作用的部分。如果在单位时间内 每个个体的有效接触数为r,则反应进行的速率可表示为：dy寸心丫）（ 1）初始条件是t=0 , y=0，解之得rt

8、厂1 - e 受催化剂作用的反应物不一定是纯的， 可能在变化的单位量中仅 有一部分k能发生催化作用。在流行病学中，若y代表在给定年龄组 中有阳性病史的人群的比率，则k小于1是完全可能的，因为有些传 染因素可引起免疫，使感染者没有出现临床症状，此时k代表所有感 染者中，产生临床症状，因而导致阳性病史的比率。此外，有些感染 者其实验室检查结果可能是阳性的，此时，k代表所有经过有效接触 且试验结果为阳性的比率，在这种情况下，数学模型为齐 r（k-y） （3）满足初始条件t= 0，y=0，其解为y = k（1 -）2、可逆催化模型有些催化反应，同时以两个相反的方向进行，这两向的变化率一 般不同。在流行

9、病学中，也会遇到相似的情况。一方面，人群以感染 力a转变为感染者或免疫者，其感染指征为阳性。另一方面，免疫者 或阳性者又以率b转回易感者或阴性者，并且他们又以率a转为阳性 者。这可表示为：a阴性者-/阳性者相应的数学模型为： ¥ = a（仁y） - by（4）dt满足初始条件：t=0, y=0其解为y （r（a b）t）a十b3、两期催化模型有些催化反应是不可逆的链式反应， 物质A变为物质B，物质B 又生成物质C,前后各步的反应速率常常不同。流行病学中有类似的 情况，即人群以感染力a转变为感染指征阳性者后，又以率b转为阴 性者，而不再转回阳性者，这可表示为：阴性者一 J 阳性者一 一

10、阴性者我们以x表示人群在任何年龄被感染的比率，用z表示曾受感染 但现已失去感染指征的部分。于是，y= xz是在任何年龄已被感染， 且感染指征仍为阳性者。因而有：dydx dzdtdt dt（5）生成x的率是a,这是感染力。x失去感染指征转为z的率为b。 生成的速率可表示为：匸aX）（ 6）满足初始条件t=0，x=0的解为:x T _at 或 1 - x =生成z的速率可表示为:孚=b(x z)二 by( 8)dt将（7）和(8)代入(5)式得：y 二 a(1 x) b(x z)二 aebydt这是一阶线性微分方程，不难求得满足初始条件t=0, y=0的解为：a z -bt -at、y （e -

11、 e ）a - b三、Reed Frost 模型二十世纪二十年代，由Reed LJ和Frost WH提出一类流行病学 模型，由于它的简洁和适用范围较广，至今仍在广泛应用，特别是它 的机械模拟，被认为是理论流行病学发展史上的一个重要标志，在流行病学的教学和研究方面都具有重要的意义。Reed Frost模型适用于描述如麻疹、水痘、流行性腮腺炎等潜 伏期比较固定的急性传染病的传播过程。 假定感染直接通过有效接触 而传播，在单位时间（可将潜伏期作为单位时间）内，所研究的封闭 性人群中任何两个特定个体之间有效接触的概率为常数P，没有有效接触的概率为q=1 p; 个易感者在一定的时间内接触一个病人后 获得

12、感染，其后经历最大传染性的一段时间（与潜伏期一致），然后获得完全的免疫。在上述假设下，可建立确定 性和随机性两种形式的模型。确定性模型设在时刻t,人群中易感人数为q，病人数为It，经过单位时间 后（即在时间t+1），分别变为St+1和lt+1。由于在时间t，一个易感 者与特定的一个病人没有有效接触的概率为 q,则一个易感者与lt个Itlt病人都没有有效接触的概率为q ，从而1 q即为一个易感者至少 与一个病人有有效接触而获得感染的概率。因而在时间 t+1，新发生 的病人预期有St（1 -q"）例，故得：ItSt（V qlt）（递推公式）（9）而剩余的易感人数为：B 厂 B - It

13、1（ 10）若开始（t=0）时，有So个易感者，I o个病人，按递推公式（9） 可依次算得t=1, 2, 3各个时间预计的病人数，而由（10）式可 算得相应的剩余易感人数。为此，我们就可预测一次完整的流行性过 程。随机性模型在确定性模型中，流行过程的每一时间，预测的新病例数均为确 定的数值，而在随机性模型中，则给出一个概率分布。由上述，在时刻t，一个给定的易感者与It个病人都没有有效接It触的概率为q ，至少与一个病人有效接触而获得感染的概率为（1 qIt ）。我们将这看成是一次试验的两个可能结果的概率。由于在时 间t有St个易感者，从时间t到t+1,相当于重复、独立地进行了 St次 试验；在

14、这St次试验中，“获得感染”发生1次，“未获得感染”发生St lt i次。于是，根据二项概率分布律，在时间t+1发生It 1 个新病例的概率为：P'lt i/St，二1 - qlt11ltSt -|t 1qlt11(11)11! St 1!（11）式给出了在流行过程的每一代新病例数的条件概率分布， 该过程进行到不发生新病例为止。四、流行病学阈模型在数理流行病学的研究中，反映疾病流行的阈现象的数学模型即 流行病学阈模型引起人们极大的兴趣。自从1927年Kermack WD和Mckendrick AG提出简单的阈模型以来，确定性和随机性两类阈模 型的研究都有较大的进展。下面我们讨论一种简单

15、的阈模型。如果患某种传染病的一小群个体，均匀地插入一大群易感个体之 中，于是，感染通过接触而传播，假定在流行过程中，一个易感者可 从易感类S转入感染类I，还可进而转入 移除类R。这里是指永久性 移除，如患病致死，病愈而获得永久性免疫，或被隔离至病愈而出现 永久性免疫。因而可将一个个体的转向表示为：为了建立数学模型，作如下假设：（1）所研究的人群是封闭的，总人数为 N，开始时有S。个易感者，I °个感染者，没有移除者。(2) 易感人数的变化率与当时的易感人数和感染人数之 积成正比。(3) 从感染类中移除个体的速率与当时的感染人数成正 比。根据这些假设，可写出下列微分方程组:1dSIdt

16、(1)rdi * c . =P SI - rldt(2)dR , =rl j dt(3)初始条件为：S(0) = So > 0,1(0)= I。7R(0) = 0(4)此外，整个人群的总人数应等于初始感染人数加上易感人数，即:N = 1。+ &(5)微分方程组(1)(3)称为 Kermack-Mckendrick 方程，其中-为感染率，r为移除率。令p = r/ B ,称为相对移除率。该模型的一个重要特征是存在所谓“阈现象”。由方程(1)可知，易感人数S随时间的变化率恒为负数，故 S随t单调减少。从而在任何时间t,总有S(t)亠So。现将方程(2)改写为:didt1( S_ r)

17、rdl /门若S0，则dt； =° 0，即开始时感染人数便趋向减少，而后由S（t）乞So，故dl dt恒小于0,即感染人数始终不断减少。在 这种情况下，疾病不会发生流行。可见，相对移除率'代表了一个 临界值，初始易感人数必须超过该值才能出现流行。这就是一种阈现 象，该模型便称为阈模型。现在考虑经过充分长的时间后，该流行过程最终将出现怎样的结 果，从数学角度而言就是讨论t > 时，函数S, I和R的极限问题。方程（1）除以方程（3）得微分方程:(6)虫s =dR r其解为:s= S：Rii因恒有R <N，故有:-RS = Soe-S°e(8)我们注意到S随

18、t单调减少，但始终不会减少至 0,这表明极限limS存在，而且不等于0。这个极限值就是最终剩余的易感人数, t 一记为s ：。由方程（3），恒有（dR/dt） - 0，即移除人数总是随时间不断增 加，但无论如何不会超过总人数 N，即R（t）乞N。这表明极限lim R 存在，记为R（：）。同时，我们注意到尚有：N = s（t） l（t） R（t）（ 9）所以I(t)二 N - R(t)- s(t)(io)/丄n（tW N屈-严§(ii)即pm I也存在，记为丨（：） t_厂:为了确定丨（：）,S（：j及：）这三个极限值，我们考察I与S之间的变化关系。首先注意到在方程（1）和方程（2）中，当I =0时，罟dt和d-均等于dt0,表明临界点均处于直线I =0上将方程（2）除以方程（1）得:生厶11ds s s(12)16该微分方程的通解记为 （S, I）则有(S, I) = S I - 5 s 二 c(13)让C取不同的一些值，可得一簇曲线。由于S单调递减，所以当时，s自大而小趋向极小值 S（：）。此时, 线I二0上，所有I必须趋向0,即1（二厂0因临界点均处于直既然（：）=0，由（