一元二次方程复习串讲含答案

1、一元二次方程考点一：一元二次方程的定义?考点说明：如果单独考察，一般会以选择、填空的形式出现，但是一般情况下，不会单独考察，而是在第23题的位置结合根的判别式与二次项系数不为零，求参数的取值范围。【例1】关于x的方程（a2 1）x2 2ax 6 0是一元二次方程，则 a的取值范围是（）A. a 1B. a 0C. a为任何实数D.不存在【答案】C【例2】若（m 3）xn 2 3nx 3 0是关于x的一元二次方程，则 m、n的取值范围是（）A. m 0、n3B. m 3、n4C. m 0， n4D. m 3、nO【答案】B考点二：一元二次方程的解与整体思想和降次思想“整?考点说明：关于一元二次方

2、程的解的考察主要有三方面：一是代入根求参数的取值，二是代入根构造体”，三是“降次”【例3】关于x的一元二次方程（a 1）x2 x a2 1 0的一个根是0,则a的值为（）1A. 1B. 1C. 1 或 1D.-2【答案】B【例4】若m是方程3x2 2x 2 0的一个根，那么代数式 -m2 m 1的值为2【解析】 m是方程3x2 2x 2 0的一个根，/ 3m2 2m 2 0即3m2 m 1 ,232代数式m m 1 2 （像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）2【答案】22005m冬的值为2 2【例5】已知m是方程x 2006x 10的一个根，则m【答案】 m是方程x2 2006x 1

3、0的一个根2 2 m 2006m 10 ,则 m 2006m 1原式(2006 m 1) 2005m2006(2006 m 1) 11 m21=1m m(2006m 1) 12006 12005考点三：一元二次方程的解法?考点说明：如果考察一般会出现在计算题第2题或3题的位置，同时也可能出现在第23题的第1问,或第2问中，四种方法都必须熟练掌握。2 2【例6】解关于x的方程：2x 3 3x 2【答案】Xi 1， X21【例7】用配方法解下列方程2 x6x 40（y1）（y3）50【答案】 Xi13 3，X2133 ； yi4，y22 ；【例8】用公式法解下列方程 2x23x 10 3x26x2

4、3 173 、173333【答案】 X1 ， X2 X1 ， x4433【例9】用因式分解法解下列方程2 .21 1 2x 3x 54 6x x x 063【答案】x13， x2 x1， x2 ；232考点四：禾I用根的判别式判定或证明方程根的个数?考点说明：此类问题一般会以选择题或者第23题的第1问出现，同时还有可能会结合三角形边的关系,如“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”“勾股定理”等【例10】不解方程，判别一兀二次方程2x26x1的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.无法确定【答案】A【例11】已知a、b、c是三角形的三边长，则方程b2x

5、2 (b2 c2 a2)x c20根的情况（)A.两个不等实数根B.两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定【答案】C【例12】对任意实数 m，求证：关于x的方程（m2 1）x2 2mx m2 4 0无实数根. 【答案】/ m2 10,故方程为一元二次方程.2222422m 4 m 1m 4 4m 4m 20m164m4 16m2 16 4 m4 4m2 42 2m 22 m 2 0 ,0,故方程无实根.【例13】求证：关于x的一元二次方程x2 (2 m)x 1 m 0有两个实数根.【答案】/ x2(2 m)x 1 m 0是关于x的一元二次方程Page 10 of 7考点六：利用根的判别式求参

6、数的取值范围?考点说明：一般出现的位置选择、填空，第23题第-问，求参数取值范围时，注意二次项系数不为零的条件，这是很多学生容易忘记的条件。【例14】如果关于x的兀二次方程 kx6x90有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A. k 1B.k 0C.k1且k0D. k 1【答案】C【例15】关于x的一元二1次方程(1 2k)x22 k1x 10有两个不相等的实数根，求 k的取值范围.4(k1) 4(1 2k)01【解析】由题意，得 k 10解得1 k 2且k '21 2k 0【答案】1 k 2且k 12考点六：一元二次方程解应用题?考点说明：一般列方程解应用题会在解答题的位置出现

7、，不排除会以选择、填空的形式出现的可能。常见的有增长率问题，商品利润问题，面积问题等【例16】某商场2002年的营业额比2001年上升10% , 2003年比2002年又上升10% ,而2004年和2005年连续两年比上一年降低10%，那么2005年的营业额比2001年的营业额()A.降低了 2%B.没有变化C上升了 2%D.降低了 1.99%【答案】设2001年的营业额为a元，则2002年的营业额为1.1a元，2003年的营业额1.21a元，所以2005年的营业额为 1.21a (1 10%)20.9801a因此2005年的营业额比2001年的营业额降低了 a_0.9801a 100%1.9

8、9%，所以选择Da【例17】北京市政府为了迎接 2008年奥运会，决定改善城市面貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率是()A.10%B.20%C.30%D.40%【答案】设绿地面积的增长率是x，原有绿地面积为 a，根据题意得a(1 x)2 a(1 44%)解得x 20%或x 220% (舍)，则平均增长率为20% ,选B【例18】某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以销售出 20件，每件盈利40元，为扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利 1200

9、元，每件衬衫应降低多少元？【答案】解：设每件衬衫降价 x元，则每件所获得的利润为(40 x)元，但每天可多售2x件，每天可卖20(202x)件,彳根据题意得(40 x)(202x) 1200，方程化简整理得x230x 2000解得Xi 20 , x2 10 ,要尽快减少库存， x 20 答：若商场每天要盈利1200元，每件应降价元【例19】宏达汽车出租公司共有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，出租业务天天供不应求，为适应市场需求，经有关部门批准，公司准备适当提高日租金，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增 加10元，每天出租的汽车相应地减少6辆。若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金

10、提高几个10元能使公司的日租金总收入达到19380元？使公司的日租金总收入最高？最高是多少？【答案】设公司将每辆车日租金提高x个10元，才能使公司的日租金总收入达到19380元，2根据题意得(160 10x)(120 6x) 19380，整理得 x 4x 3 0解得为1 , X23，检验知为1 , X23均符合题意故公司将每辆汽车租金提高10元或30元，公司的日租金总收入达到19380元设公司将每辆汽车日租金提高x个10元，则公司每天出租的汽车为(120 6x)辆，则每天的租金总收入为 (160 10x)(1206x)60( x 4x 320)60(x 2)19440当x 2时，公司的日租金收

11、入最高，最高租金为19440元【例20】长20 m、宽15 m的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，若四周未铺地 毯的留空空间宽度相同，则留空的宽度为 1【答案】设留空的宽度为x m，根据题意得(20 x)(15 x) - 20 152整理得x 35x 1500,解得人30 , X25 , x 30不符合题意，舍， x 5【例21】如图所示，在一个长为 40米，宽为26米的矩形广场 ABCD上，修建三条同样宽的道路，若使每块草坪的面积都是144平方米，则道路宽为多少?【解析】注意：是“每块草坪的面积是144平方米”【答案】设道路的宽为 x米，根据题意得(402x)(26 x)

12、 144 62整理得x 46x 880,解得x 2或x 44, x 44不符合题意，舍，二 x 2答：道路宽为2米【例22】如图， ABC中， B 90 , AB 6 cm , BC 8 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动(点Q到达点C运动停止).如Q果点P , Q分别从点A , B同时出发t秒(t 0 )t为何值时，PQ 6 cm ?t为何值时，可使得PBQ的面积等于8 cm2 ?【答案】根据题意，知 BP 6 t、BQ 2t根据勾股定理，得 PQ2 BP2 BQ2，即(6 t)2 (2t)2 362 12 整理

13、得5t 12t0 ,解得t 0 (舍)或t 5根据三角形的面积公式，得1-PB BQ 8，则 t(6 t) 8，解得 t 2 或 t 4当t 2或t 4秒时，PBQ的面积等于8 cm2【例23】如图所示，某海军基地位于 A处，在其正南方向200海里处有一重要目标 B,在B的正东方向200 海里处有一重要目标小岛 C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从 D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果保留根号)*东【答案】解： AB

14、BC , AB BC 200海里，二AC 2AB 200,2 海里,北-东过点D作DF BC，垂足为F，贝U DF CF，2DF CD，即 DF CF22cd 100海里设相遇时补给船航行了 x海里，那么DE x海里，AB BE 2x海里，EF 300 2x海里在Rt DEF中，根据勾股定理可得方程2222x 100（3002x），整理得，3x 1200 x 1000000解得为200100 6 , X2200100 6 （不符合题意，舍去）33所以相遇时补给船大约航行了200 100 6海里3考点六：利用根与系数关系，求代数式的值?考点说明：根与系数关系并不在中考大纲要求之中，但是在高中根与

15、系数关系还是有着非常广泛的应用，因此学生熟练掌握对于高中的学习也是有着很大的帮助。而且与之相关最紧密的就是完全平方公式和平方差公式的应用【例24】设方程4x27x3 0的两个根为x、X2，不解方程求下列各式的值（3）（x23)；十X1; X1x2x11X21【答案】由韦达定理得%7X2， X1 X2344【解析】注意，均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5，2考点七：利用根与系数关系，求参数的数值及方程另一根?考点说明：一般涉及到方程根的情况，将方程的根带入方程中求出参数的数值。但是对于一元二次方程,我们可以通过根与系数的关系，直接建立方程根和系数的等量关系，有的时候问题会更简单、明了。【例26】若方程x2 px 1 0的一个根为1 2，则它的另一根等于，p等于【解析】部分学生喜欢将 x 12代入原方程，求 p的数值，