奇偶函数的性质及其应用

1、 奇偶函数的性质及其应用一、知识点总结奇偶函数的性质1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为a,b，则a+b=0;b.对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）；c.图像关于原点（0,0） 对称；d.若0d则f（0）=0;e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：a. 定义域关于原点对称，即：若定义域为a,b，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；c.图像关于y轴对称；d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性二、奇偶函数性质的应用热点题

2、型一：利用奇偶性求参数的值例1已知f（x）=ax2+bx是定义在a-1,2a的偶函数，那么a+b的值为 .解：f（x）是定义在a-1,2a的偶函数，b=0a-1+2a=0， 解得b=0,a=故a+b=.点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+an，若f（x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.例2已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值.解法一：f（x）是定义在r上的奇函数f（x）=0，即：=0，a=1解法二：f（x）是定义r在的奇函数f（-x）=-f（x）即：=-整理得（2a-2

3、）（2x+1）=02a-2=0解之得a=1点评：对于奇函数f（x），若0f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。故首选f（0）=0，若0?埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。热点题型二：利用奇偶性求函数解析式例3已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x0时，f（x）=x（1+x）求出函数的解析式。解：当x0当x0时，f（x）=x（1+x）f（-x）=-x（1-x）f（x）是r上的奇函数f（x）=-f（-x）=x（1-x）f（x）=x（1+x），（x0）x（1-x），（x （2）综合（1）（2）得<m2点评：对于偶函数有f（-x）=f（x）=f（|x|），可以避免讨

4、论。真可谓是“巧取绝对值，妙解不等式”。热点题型四：利用奇偶函数图像解题例5已知f（x）是定义在r的偶函数且f（2）=0，在区间0，+)递增，求f（x）的解集 .分析：做出符合条件的一种图形，偶函数的图像关于 y轴对称.如：点评：奇偶函数具有对称性，因此作图时，可以先做出y轴右边的图象，在根据对称性画出y轴左边的图像，就可得出整个定义域内的图像.热点题型五：奇偶性与对称性周期性相结合解综合型题例6已知定义在r上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间0,2上是增函数，则（ ）a.f（-25）<f（11）<f（80）b.f（80）<f（11）<f（-25）c

5、.f（11）<f（80）<f（-25）d.f（-25）<f（80）<f（11）解：f（x）是r上的奇函数f（-x）=-f（x）f（x-4）=-f（x）f（x-4）=f（x）的图像关于直线x=2对称又f（x）的图像关于点（0,0） 对称f（x）是周期函数且最小正周期t=4（2-0）=8f（-25）=f（-1），f（80）=f（0），f（11）=f（3）=f（1）f（x）在 0,2是增函数f（x）在-2,0 上是增函数f（-1）<f（0）<f（1）即：f（-25）<f（80）f（11）故选d.点评：本题综合的函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性，在知识的交汇处命题，考察了了学生的综合应用能力。关于函数性质的综合应用，常用的结论有：1）若函数f（x）关于直线x=a，x=b对称，则f（x）为周期函数，且最小正周期t=2b-a.2）若函数f（x）关于点（a，0