电磁场与电磁波第四版习题集均匀平面波在无界空间中的传1

1、1第5章均匀平面波在无界空间中的传播在上一章中，我们从麦克斯韦方程岀发，导岀了电场强度E和磁场强度H所满足的波 动方程，本章我们将讨论电磁波的传播规律与特点。我们从最简单的均匀平而波着手，所谓 均匀平而波是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，在与波传播方向垂直的无限大平 而内，电场强度E和磁场强度H的方向、振幅和相位都保持不变。例如沿直角坐标系的z方 向传播的均匀平而波，在久和所构成的横平而上无变化，如图5丄1所示。图5.1.1均匀平面波均匀平而波是电磁波的一种理想情况，它的特性及讨论方法简单，但又能表征电磁波重要的 和主要的性质。虽然这种均匀平而波实际上并不存在，但讨论这种均匀平而波是具

2、有实际意 义的。因为在距离波源足够远的地方，呈球面的波阵面上的一小部分就可以近似看作一个均 匀平面波。本章首先讨论在无界理想介质中均匀平而波的传播特点和各项参数的物理意义，然后讨论有 耗媒质中均匀平而波的传播特点，最后讨论各向异性媒质中均匀平而波的传播特点。5. 1理想介质中的均匀平面波5.1.1理想介质中的均匀平面波函数假设所讨论的区域为无源区，即Q = 0、7=0,且充满线性、各向同性的均匀理想介 质，现在我们来讨论均匀平而波在这种理想介质中的传播特点。首先考虑一种简单的情况， 假设我们选用的直角坐标系中均匀平面波沿z方向传播，则电场强度E和磁场强度H都不 是x和y的函数，即dE dE八d

3、H dH八-=-=U , -=- = 0dx dydx dy同时，由=0和=0,有=0,=0&dz,再根据耳和的波动方程，可得到Ez=0,H：=0这表明沿z方向传播的均匀平而波的电场强度E和磁场强度H都没有沿传播方向的分量， 2即电场强度E和磁场强度H都与波的传播方向垂直，这种波又称为横电磁波(TEM波)。 对于沿Z方向传播的均匀平面波，电场强度E和磁场强度H的分量&、和比、H、.满足标量亥姆霍兹方程 2 7+(5)dz2 r+k2E=O(5.1.2)j2TJ一+k2H=O(5.13)dz2x一+k2Hv=O(5.1.4)昉上述四个方程都是二阶常微分方程，它们具有相同的形式，因

4、而它们的解的形式也相同。下 而只对方程(5.1.1)及其解进行讨论。方程(5.1.1)的通解为Ex(z) =人不代 +A2ejkz(5.1.5)其中A? = E 细少， 札、0分别为人、 儿的幅角。 写成瞬时表达式， 则为 仗(Z,f) = Rc& (z)f丿伽=ElinCOS(Q/- +0) +E2mcos(劲 +Rz + 0)(5.1.6)5.1.2理想介质中均匀平面波的传播特点式(5.1.5)的第一项代表沿+z方向传播的均匀平面波，第二项代表沿一z方向传播的 均匀平而波。对于无界的均匀媒质中只存在沿一个方向传播的波，这里讨论沿正z方向传播 的均匀平而波，即瓦=Em 严少(5.1.

5、7)瞬时表达式为Ex(z,t) = Ewtcos(6?r-kz. + x)(5.1.8)可见，场分量既是时间的周期函数，又是空间坐标的周期函数。在2=常数的平而上，Egt)随时间7作周期性变化。图5.1.2给出了Eg) = Eg cosef的变化曲线，这里取0=0。血为时间相位，Q 则表示单位时间内的相位变化，称为角频率，单位为rad/so由coT = 2得到场量随时间变化的周期为图5丄2 E (Oj) = wicosd*的曲线图5丄3 E (z,0) = Eoiicoskz的曲线co 3(5.1.9)它表征在给定的位置上，时间相位变化2龙的时间间隔。为电磁波的频率。在任意固泄时刻，巴（ZJ）

6、随空间坐标z作周期性变化，图5.13给出了EgO） = EgCoskz的变化曲线。忽为空间相位，所以波的等相位而（波阵而）是z为常 数的平而故称为平而波。k表示波传播单位跑离的相位变化，称为相位常数，单位为rad/m。 在任意固左时刻，空间相位差为2兀的两个波阵而之间的距离称为电磁波的波长，用几表示, 单位为由1 = 2冗可得到k由于k = 5证=2 叮,又可得到(5.1.12)可见电磁波的波长不仅与频率有关，还与媒质参数有关。 由式（5.1.11）可得到A所以的大小也表示在2龙的空间距离内所包含的波长数，所以又将k称为波数。电磁波的等相位而在空间中的移动速度称为相位速度，或简称相速，以表示，

7、单位为m/s。图5丄4给出了瓦（和）=Eg cos（期-忽）在几个不同时刻的图形，对于波上任一固立观察点（譬如波峰点P）,其相位为恒左值，即cot-kz=常数，于是= 由 此得到均匀平面波的相速为 由于k = 3 丽,所以又得到(5.1.15)(5.1.13)dz _血d7T(5.1.14)图5丄4几个不同时刻Ex（z.t） =EgCos（a）f-kz,）的图形由此可见，在理想介质中，均匀平而波的相速与频率无关，但与媒质参数有关。在自由空间 = = xlO9F/m .fl= /()=4x107H/m ,这时36龙v=v()()= f -= 3x(ni/sJ勺“u其瞬时表示式为H = ev丄 (

8、)cos(e/_kz + 0)其中(5.19)是电场的振幅与磁场的振幅之比，具有阻抗的量纲，故称为波阻抗。由于的值与媒质的参数有关，因此又称为媒质的本征阻抗(或特性阻抗儿在自由空间中 =%=存=120心377 (Q)由式(5.1.17)可知磁场与电场之间满足关系H=-exE7、由此可见，电场E、磁场H与传播方向务之间相互垂直，且遵循右手螺旋关系，如图5丄5所示在理想介质中，由于=所以有扫却冷川可(5.1.23)这表明，在理想介质中，均匀平而波的电场能量密度等于磁场能量密度。因此，电磁能呈:密 度可表表示为尸叫 + %=*|耳+#|可=肖=“冋(5.1.24)在理想介质中，瞬时坡印廷矢量为S=E

9、xH=丄Ex(qxE)=丄(5.1.25)平均坡印廷矢量为(5丄16)为自由空间的光速。利用麦克斯韦方程,可得到电磁波的磁场表达式。由JE=j3pH、有-1VxE = e、丄 = e、丄 jco/.t jCDJLl dz copLF严心=e -E n.u?r(5.1.17)(5.1.18)(5.1.20)(5.1.21)(5.1.22)或者写为E =H xe.由此可见均匀平而波电磁能咼沿波的传播方向流动。综合以上的讨论，可将理想介质中的均匀平而波的传播特点归纳为：（1）电场E、磁场H与传播方向e：之间相互垂直，是横电磁波（TEM波）;（2）电场与磁场的振幅不变：（3）波阻抗为实数，电场与磁场同

10、相位；（4）电磁波的相速与频率无关；（5）电场能量密度等于磁场能虽密度匚例5.1.1频率为lOOMz的均匀电磁波.在一无耗媒质中沿+Z方向传播，其电场E=exExO已知该媒质的相对介电常数=4、相对磁导率“=1,且当/ =0、z = l/8 m时，电场幅值为lO-V/m。（1）求E的瞬时表示式；（2）求H的瞬时表示式。解：（1）设E的瞬时表示为E（zJ） = exEx=cv104cos（d-忽+0）式中3 = 2x 10srad/sk = cojsfi = Jw “ =二= 7Trad/m7c J 3x10s3对于余弦函数，有当相角为零时达振幅值。因此，考虑条件/ =0、z = l/8时电场达

11、到幅值,.4 兀 1 兀（P = kz = x =386所以=cos(2xlOsr- z + )36=ex0 cos2 x 10 / 二(Z 丄)V/m38（2） H的瞬时表示式为必=央0日卜鲁Re0GxE）詡斫(5.1.26)X图5丄5理想介质中均匀平面波的E和H710-441= S-cos2 x 1 Ohr - -TT(Z- -) A/m60/r38例5丄2频率为9.4GHz的均匀平而波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常 数为巧=2.26若磁场的振幅为7/7?A/m ,求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。解：由题意r= 2.26 .仏=1、/=9.4xl09Hz因此V/m例5丄3

12、自由空间中平而波的电场强度E=50cos(劲-炫)V/m 求在Z = Z0处垂 直穿过半径R= 2.5 m的圆平而的平均功率。解：电场强度E的复数表示式为E=e50ejkz自由空间的本征阻抗为 故得到该平面波的磁场强度H=ev = ey-e-A/m12兀于是，平均坡印廷矢量必弓Re(E x /T) * 50 x总勺总W/m2垂直穿过半径7? = 2.5m的圆平面的平均功率P =f 5ved5 = X/?2= XX(2.5)2= 65.1 W“ h 12兀12龙丿5.1.4沿任意方向传播的均匀平面波我们知道均匀平而波的传播方向与等相位面垂直，在等相位而内任一点的电磁场的大小和方 向都是相同的，这

13、些都与坐标系的选择无关。前而讨论了沿坐标轴方向传播的均匀平而波， 这里讨论均匀平而波沿任意方向传播的一般情况。式中因此v = _= =.2 = 1.996x10s肩726ni/s=H切=7x10“ x251 = 1.757 8图5.1.6沿任总:方向传播的均匀平面波图5.1.6所示为沿任意方向传播的均匀平而波，传播方向的单位矢量为 J 左义一个波矢量k ,其大小为相位常数比、方向为e”，即k = enk = exkx+evky+ezkz(5.1.27)式中忍、匕、他为斤的三个分量。沿e：方向传播的均匀平面波是一种特殊情况，英波矢量为k =e.k设空间任意点的矢径为/=err + e+e：z,则

14、kz = ke：.r,因此可将沿冬方向传播的均匀 平面波表示为E(z) = E)e-jkrH(z) =e,xE(z)式中Eo是一个常矢疑，其等相位而为冬厂=Z=常数的平而。对于沿 5 方向传播的均匀平而波，等相位而是垂直于匕的平面，其方程为enr=常数对照沿e：方向传播的情况可知，沿任意方向e”传播的均匀平而波的电场矢量可表示为E(r) =E府恥= E()ejk,r(5.1.28)而且由V.E=O,可以得到e”=0,这表明电场矢量的方向垂直于传播方向。与式(5.1.28)相应的磁场矢量可表示为H(r) =-enxE(r)=xE(ekr(5.1.29)例5.1.4频率/=500 &HZ的

15、均匀平面波，在“ =“)、 =祸、b = 0的无损耗媒质 中传播。已知E(=52_e、.+e： kV/m、H()()=乞6 + 6.9-冬3 A/m。求：(1)传播方向(2)和几。Eox /01解(1)5=5X0“ =-=-=(-ex+ev2 + e.4)95.2电磁波的极化5.2.1极化的概念前面在讨论沿Z方向传播的均匀平而波时，假设E=exEntCQS(cot-kz +(f)0在任何时刻， 此波的电场强度矢虽E的方向始终都保持在x方向。一般情况下，沿z方向传播的均匀平而 波的E.和E,分量都存在，可表示为Ex= Ewtcos(曲一炫 +0)(5.2.1)E、. = Egcos(期一 +0、

16、.)(5.2.2)合成波电场E=exEx+evEyo由于耳和乞分量的振幅和相位不一泄相同，因此，在空间 任意给左点上，合成波电场强度矢量E的大小和方向都可能会随时间变化，这种现象称为电 磁波的极化。电磁波的极化是电磁理论中的一个重要概念，它表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随 时间变化的特性，并用电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹来描述。若该轨迹是直线，则 波称为直线极化：若轨迹是圆，则称为圆极化：若轨迹是椭圆，则称为椭圆极化。前一节讨 论的均匀平而波就是沿x方向极化的线极化波。合成波的极化形式取决于E和分量的振幅之间和相位之间的关系。为简单起见，下面取Z = 0的给建点来讨论，这时式(5.

17、2.1)和式(522)写成为Ex= Exmcos(曲 + )(5.2.3)E、= Evmcos(tyr +札)(5.2.4)5.2.2直线极化若电场的x分疑和分量的相位相同或相差兀，即0-0 = 0或土；r时，则合成波为直 线极化波。当札-札=0时，可得到合成波电场强度的大小为E = yjEj+Ej cos(cot + )( 525)合成波电场与轴的夹角为E、Evma= arctan() = arctan() = const(5.2.6)Ex由此可见，合成波电场的大小虽然随时间变化，但其矢端轨迹与X轴夹角始终保持不变，如 图521所示，因此为直线极化波。对0-札=5的情况，可类似讨论。(2)由

18、 10从以上讨论可以得出结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的线极化11波，当它们的相位相同或相差为龙时，其合成波为线极化 波。在工程上，常将垂宜于大地的直线极化波称为垂直极化波， 而将与大地平行的直线极化波称为水平极化波。例如，中波 广播天线架设与地而垂直，发射垂直极化波。收听者要得到 最佳的收听效果，就应将收音机的天线调整到与电场E平 行的位置，即与大地垂直：电视发射天线与大地平行，发射 平行极化波,这时电视接收天线应调整到与大地平行的位置, 我们所见到的电视共用天线都是按照这个原理架设的。5.2.3圆极化波若电场的、分量和y分量的振幅相等、但相位差为分即札=时，则合成波为圆

19、极化波。2当札-叭=2时，即必=彳+0，由式23）和式（524）可得E* =cos（曲+）故合成波电场强度的大小_E = Em= const合成波电场与轴的夹角为a= arctcm（二）=-（cot+ 0）由此可见，合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时变化，其端点轨迹在一个圆上并 以角速度。旋转，如图5.2.2所示，故为圆极化波。由式（5.2.8河知，当时间/的值逐渐增加时，电场E的端点沿顺时针方向旋转。若以左 手大押指朝向波的传播方向（这里为z方向），则英余四指的转向与电场E的端点运动方向 一致，故将图5.2.2所示的圆极化波称为左旋圆极化波。a= arctan()=曲 + (5.2.

20、9)Ex由此可见，当时间/的值逐渐增加时，电场E的端点沿逆时针方向旋转，如图5.2.3所示。若 以右手大拇指朝向波的传播方向(这里为z方向)， 则其余四指的转向与电场E的端点运动 方向一致，(5.2.7)(5.2.8)图5.2.1直线极化12故将图5.2.3所示的圆极化波称为右旋圆极化波。从以上讨论可以得出结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的线极化 波，当它们的振幅相等且相位差为龙/2时，其合成波为圆极化波。在很多情况下，系统须利用圆极化波才能进行正常工作，例如火箭等飞行器在飞行过程 中其状态和位置在不断地改变，因此火箭上的天线方位也在不断地改变，此时如用线极化的 信号来遥控，

21、在某些情况下则会岀现火箭上的天线收不到地而控制信号，而造成失控。在卫 星通信系统中，卫星上的天线和地而站的天线均采用了圆极化天线。电子对抗系统中，大多 也采用圆极化天线进行工作。5.2.4椭圆极化最一般的情况是电场的两个分量的振幅和相位都不相等，这样就构成椭圆极化波。为简单起见，在式(5.2.3)和式(5.2.4)中，取Q =0,0=0,有Ex = EgCos 皿E、=Ecos(e/ + 0)由此二式中消去f,可以得到/Ef 2EXEVA=三飞 + 三一石一厂cos妇sinp(5.2.10)Eg已冲EgEm这是一个椭圆方程，故合成波电场E的端点在一个椭圆上旋转，如图524所示。当00龙 时，它

22、沿顺时针方向旋转，为左旋椭圆极化：当-龙00时，它沿逆时针方向旋转，为右 旋椭圆极化。可以证明，椭圆的长轴与x轴的夹角&由下式确定2E Etan20 =：cos0(5.2.11)直线极化和圆极化都可看作椭圆极化的特例。图5.2.4椭圆极化以上讨论了两个正交的线极化波的合成波的极化情况，它可以是线极化波、或圆极化波、 或椭圆极化波。反之，任一线极化波、圆极化波或椭圆极化波也可以分解为两个正交的线极13化波。而且，一个线极化波还可以分解为两个振幅相等、但旋向相反的圆极化波：一个椭圆 极化波也可以分解为两个旋向相反的圆极化波，但振幅不相等。例521判别下列均匀平而波的极化形式兀兀(1)E(乙

23、/) (期一忽一一)+sC”cos(期一忽+ )44(2)耿?)=eJEme -eyEme(3)E(z,t)=exEmcos(a)t-kz)+eYEmsin(ajt-kz+)4解：(1)由于ET(z,t) = Emsin(dX-kz.-) = Emcos(wf=Emcos(劲一忽所以e、f这是一个线极化波，合成波电场与兀轴的夹角为所以兀一壬=彳此波的传播方向为一Z轴方向，与图5.2.2所示的圆极化波的传播方向相反，故应为右旋圆极 化波（3）由于Ey(z,t) = Etsin(6X-kz + ) = Enjcos(期一忽一兰)44所以此波沿+z轴方向传播，故应为右旋椭圆极化波。例5.2.2已知一

24、线极化波的电场E=0 迟百处上：0 扫，试将其分解为两个振幅 相等、旋向相反的圆极化波。解：设两个振幅相等、旋向相反的圆极化波分别为 d+尼）竝0加，耳=（e厂尼）佼0加 其中和E细为待定常数。令EM + E2（Z） = E（Z）（2）由于瓦(乙/) =RejEineJkzeJ(J, = Etcos + 怂 + 彳)Ey(zJ) = Re-Eme,kzel(J, = Emcos(a+kz + 7r)7T4Eva= arctan() = arctan(-l)=14(ex+jey)Elme _详”严=咔”严+eyEme由此可解得Em 七 a=务严,“牛(i+沪务严E显然有囤”=|色,”|=右。故两

25、个振幅相等、旋向相反的圆极化波分别为d(z)=(乞+jej 备厂肋严二,Eg = G jeJ 枭严它恥5.3均匀平面波在导电媒质中的传播在导电媒质中，由于电导率 bHO，当电磁波在导电媒质中传播时，其中必然有传导电流J=bE,这将导致电磁能量损耗。因而，均匀平而波在导电媒质中的传播特性与无损耗介 质的情况不同。5.3.1导电媒质中的均匀平面波在均匀的导电媒质中，由VxH=J + jcosE = ja)(-j-)E = jcos.Eco可得到T E = !VXVxH)(53.1)J3J因此可见，在均匀的导电媒质中，虽然传导电流密度/HO,但不存在自由电荷密度，即0 = 0。在444中已指岀，在均

26、匀的导电媒质中，电场E和磁场H满足的亥姆霍兹方程为(V2+ 2)E=O (V2+2)/=0(5.3.2)(5.3.3)式中K=(5.3.4)为导电媒质中的波数，为一复数。在讨论导电媒质中电磁波的传播时，通常将式(5.3.2)和(5.33)写为(V2-/2)E=O(V2-/2)H=0(5.3.5)(5.3.6)式中y=jkc=j3y葩(5.3.7)称为传播常数，仍为一复数。这里仍然假霍电磁波沿+Z轴方向传播的均匀平而波，且电场只有&分量，则方程式(5.3.5)的解为E=exEx=exExmeyz(5.3.8)由于7是复数，令y = a + jj39代入上式得15(5.3.9)式中笫一个因

27、子表示电场的振幅随传播距藹z的增加而呈指数衰减，因而称为衰减因子。&则称为衰减常数，表示电磁波每传播一个单位距离，其振幅的衰减量，单位为Np/m（捺培/米）：第二个因子不加是相位因子，0称为相位常数，其单位为rad/m（弧度/米人与式（539）对应的瞬时值形式为E（zJ） = ReE（z）? = ReCEm严肓加“如= sEmcos(6y/ 0z)由方程PxE=_j3pH,可得到导电媒质中的磁场强度为式中(5.3.12)为导电媒质的本征阻抗。Z为一复数，常将苴表示为(5.3.13)由此可知，在导电媒质中，磁场与电场的相位不相同。将6= 回 3代入式（5312）,可得到Kl=A,/2i+

28、()2r,/4scos0 = &irct&in()2cos由式（5.3.11）可得出，磁场强度复矢量与电场强度复矢量之间满足关系(5310)(5.3.11)=（约厲1 +（勺2严居 E挣(5314)r16H=丄exEa(5.3.15)17这表明，在导电媒质中，电场E、磁场H与传播方向 J 之间仍然相互垂直，并遵循右手螺 旋关系,如图5.3.1所示由y = a + j/3和式（5.3.7）,可得到y2= a2- J32+ j2a0 = -co1/.isc= -co1/.is + jcoa由此可解得由于0与电磁波的频率不是线性关系，因此在导电媒质中，电磁波的相速v = 是频率的函P

29、数，即在同一种导电媒质中，不同频率的电磁波的相速是不同的，这种现象称为色散，相应 的媒质称为色散媒质，故导电媒质是色散媒质。由式（5.3.9）和（5311）,可得到导电媒质中的平均电场能量密度和平均磁场能量密度分别%,=;珂活了=衲爲严44叫“=LRQjLiH.H* = ke-2az尸处+(工)2严圖441；7|24 g就由此可见.在导电媒质中， 平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。 只有当b= 0时， 才 有,= % o综合以上的讨论，可将导电媒质中的均匀平而波的传播特点归纳为：（1）电场E、磁场H与传播方向e：之间相互垂直，仍然是横电磁波（TEM波）;（2）电场与磁场的振幅呈指数衰减；（

30、3）波阻抗为复数，电场与磁场不同相位；（4）电磁波的相速与频率有关；（5）平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。5.3.2弱导电媒质中的均匀平面波弱导电媒质是指满足条件工1下，传播常数7可近似为可近似为CDS良导体的本征阻抗为呼秤=（心）再L呼严这表明，在良导体中，磁场的相位滞后于电场45 =在良导体中，电磁波的相速为由式（5.3.23）可知，在良导体中，电磁波的衰减常数随波的频率、媒质的磁导率和电导 率的增加而增大。因此，高频电磁波在良导体中的衰减常数非常大。例如，频率/=3MHz时，电磁波在铜（此式说明，良导体的表而电场等于表面电流密度乘以表而阻抗。因此良导体中每单位表而 的平均损耗功率可

31、按下式计算匕严卩他（W/m2）（5.3.32）在实际计算时，通常是先假泄导体的电导率为无穷大，求岀导体表面的切向磁场，然后由Js=nxH求出导体的表而电流密度Js。因此，代替式（5332）,可用陽=空冋|Rs（5.3.33）来讣算良导体中每单位表而的平均损耗功率。例5.3.1一沿x方向极化的线极化波在海水中传播，取+Z轴方向为传播方向。已知海 水的媒质参数为,.=81、“=1、b = 4S/m，在乙=0处的电场v=100cos（107）V/mo求：（1）衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及趋肤深度：（2）电场强度幅值减小为2 = 0处的1/1000时，波传播的距离：（3）z = 0.8m

32、处的电场E和磁场H的瞬时表达式；（4）z = 0.8 m处穿过lm?面积的平均功率。解：（1）根据题意，有CD= 10兀rad/s,f = = 5x10 Hz2/r所以b4=- -=180 13107x（-xl0）x8036/r此时海水可视为良导体。故衰减常数为a=如 g =A/X5X!06X4X107X4 = 8.89 Np/m相位常数本征阻抗P= a = 8.89 rad/m7fc讣严如xlO：U Q相速CD V =i n?賈=- -=3.53x 10 ni/sp8.892/r2 兀小 rcr波长A =-= 0-/0/ mp8.89趋肤深度J = = = 0.112 ma8.89（2）令=

33、 1/1000 ,即0=1000,由此得到电场强度幅值减小为z = 0处的1/1000时，波传播的距离12 302222 =-In 1000 = = 0.777 ma8.89(3)根据题意，电场的瞬时表达式为E ( Z, /) = e00八现cos(io7/- & 89Z) V/m故在z = 0.8m处，电场的瞬时表达式为E(0 &t) = exOO-8 89x08cos(107加一8.89 x 0.8)=ev0 082cos(l 0?肝 一7.11) V/m磁场的瞬时表达式为i 00 -8.89x0.8H(0.&/) = e、一COS(107-8.89X0.8-)fK

34、4=ev0.026COS(107/-1.61)A/m(4)在z =0.8m处的平均坡印廷矢量=冬右cos0 =e -cos- =e_0.75 mW/m22|久|zM4穿过1的平均功率为Pav=0.75 mW由以上的计算结果可知，电磁波在海水中传播时衰减很快，尤英在高频时，衰减更为严重， 这给潜艇之间的通信带来了很大的困难。若为保持低衰减，工作频率必须很低，但即使在1kHz的低频下，衰减仍然很明显。图5.3.2是频率从10Hz到10kHz范用内，海水中趋肤深度的变 化曲线。图5.3.2海水中的趋肤深度随频率变化的曲线例53.2在进行电磁测量时，为了防止室内的电子设备受外界电磁场的干扰，可采用金属

35、铜 板构造屏蔽室，通常取铜板厚度大于55就能满足要求。若要求屏蔽的电磁干扰频率范国从10kHz到100MHz,试计算至少需要多厚的铜板才能达到要求。铜的参数为“=炖、 =筍、b= 5 8xl07S/m。解：对于频率范围的低端A=10kHz,有235.8xlO72X104XX10-936/r对于频率范用的髙端/z/=100MHz,有b _5 8xl()7% 2xlO8x xlO-936龙由此可见，任要求的频率范围内均可将铜视为良导体，故dL= / = = 0.66“fjQVX104X4X107X5.8X107= / 1 = / 1= 6.6VxlOsx4xIO-;x5.8xlO为了满足给泄的频率

36、范用内的屏蔽要求，故铜板的厚度至少应为（1= 5巧=3.3 mm5 4 色散与群速我们知道，相速的怎义是电磁波的恒左相位点的推进速度。对于电场为E（乙 t） = Emcos（劲一0z）的电磁波，其恒左相位点为cot-Pz =常数相速应为dzCDVp = = (5.4)d,p这里用下标P表示为相速。相速可以与频率有关，也可以与频率无关，取决于相位常数0。 在理想介质中，0 = 0亦与角频率0成线性关系，于是v = l/J亦是一个与频率无关的 常数，因此理想 介 质 是 非 色 散 的 。 然 而 ， 在 色 散 媒 质 （ 例 如 导 电 媒 质 ） 中 ， 相 位 常 数0不 再与角频率成线性

37、关系，电磁波的相速随频率改变，产生色散现彖匚一个信号总是由许许多多频率成分组成，因此，用相速无法描述一个信号在色散媒质中 的传播速度，所以在这里引入“群速”的概念。我们知道，稳态的单一频率的正弦行波是不 能携带任何信息的。信号之所以能传递，是由于对波调制的结果，调制波传播的速度才是信 号传递的速度。下而讨论窄带信号在色散媒质中传播的情况。设有两个振幅均为的行波，角频率分别为少+厶血和力一Ae （evve）,在色散媒质中相应的相位常数分别为0+厶0和0-这两个行波可用下列两式表示E =E应9+4劲2-刃0+丄0江Er =E合成波为E = E+E2= 2Emcos（期 一0z）g旳由此可见，合成波

38、的振幅是受调制的，称为包络波，如图5.4.1中的虚线所示。= 1.04X10,41= l.O4xlO,olmm“mb24群速的泄义是包络波上任一恒左相位点的推进速度。由効-Mz =常数，可得群速为(5.4.2)由于coco上式变为(5.4.3)利用式（541）,可得到群速与相速之间的关系由此可得由式（5.4.4）可知，群速与相速一般是不相等的，存在以下三种可能情况：dv（1） = 0,即相速与频率无关，此时V, = vp,即群速等于相速，称为无色散：de（2）学0,即相速随着频率升髙而减小，此时冬0,即群速小于相速。这种情QCO况称为正常色散；dp（3）0,即相速随着频率升髙而增加，此时v,

39、vpt即群速大于相速这种情dd?况称为反常色散。*5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播以上我们讨论了在各向同性媒质中电磁波的传播规律， 在本节中我们将讨论电磁波在各 向异性媒质中的传播规律。等离子体和铁氧体在恒泄磁场的作用下都具有务向异性的特征， 在实际应用中具有重要意义。dede _ d(”p0)d d/7(5.4.4)dz A 69codvp1 -vp（a）255.5.1均匀平面波在磁化等离子体中的传播等离子体是电离了的气体，它由大量带负电的电子、带正电的离子以及中性粒子组成。等离子体的基本特征之一是带负电的电子与带正电的离子具有相等的电量，因而等离子体在 宏观上仍是电中性的。等离子体

40、在自然界广泛存在，例如太阳的紫外线辐射使髙空大气发生 电离所形成的电离层就是等离子体。英它如流星遗迹、火箭喷出的废气以及髙速飞行器穿越 大气层时在周囤形成的高温区域等都是等离子体的例子。分析等离子体中电磁波传播的方法是把等禽子体等效看成介质。 当电磁波在等离子体中 传播时，等离子体中的电子和离子在电磁场的作用下运动形成电流，这种由带电粒子运动形 成电流称为运流电流，这一运流电流决泄等禽子体的等效介电常数。如果有一个较强的外加 恒泄磁场作用于等离子体，使其磁化，这时等离子体的等效介电常数是一个张量。下而先利 用等离子体中的电子运动方程确定其等效的张量介电常数，然后再分析电磁波在等离子体中 的传播

41、特性。1.磁化等离子体的张量介电常数由于离子的质量一般比电子大得多，较难在高频电磁场的作用下推动，故运流电流主要 是由电子运动形成的。为了简化分析，只考虑电子的运动，并忽略电子与离子、中性粒子间 的相互碰撞引起的热损耗。设外加恒定磁场为。根据牛顿第二泄律和洛仑兹力公式，在电磁波的电场E、 磁场B和外加恒定磁场3）的作用下，电子的运动方程为m = -eE+ v x (B + B()式中2 = 9O6xlO31kg为一个电子的质量，0 = 1.602x10 C为一个电子的电荷崑v为 电子运动的平均速度。一般evxB很小，可以忽略不计，因此式（551）可简化为in =-eE + vxBdr对于正弦电

42、磁场，式（5.5.2）可展开为(5.5.3)(5.5.4)(5.5.5)(5.5.6)称为电子的回旋角频率。由式（5.5.3）（5.5.5）可解得0-兀迟+瓦(5.5.1)(5.5.2)(5.5.7)(5.5.8)jay=Ev+a) )cvx26jcom由式(5.5.7)和(5.5.8)可以看出，当叭时，匕和5均趋向无限大，这是由于忽略了 电子与离子、中性粒子间的相互碰撞引起的热损耗的原故。若等离子体每单位体积内电子数目为N,则每秒钟通过每单位面积的平均电子数为N形成的运流电流密度为Jv=-Nev(5.5.11)因此麦克斯韦第一方程的复数形式可写为_V x / = Jv+jcosE = -Ne

43、v + jcosE = jcosE(5.5.12)这里云是表示等离子体的等效介电常数的张量。将式(5510)代入式(5.5.12),可得到也*21*220 000(5.5.13)其中=S22窃1 +-5J(5.54)3夙(5.5.15)2)此处$33二窃卩一护(5.56)1 Ne2(5.5.17)l称为等离子体频率。可以看出， 当不存在外加磁场， 即3)=0时，0=0,则习2=021=0，且11=22=3 0即式(5.5.13)中对角线上的各元素相等，对角线以外的元素均为零。此 时，等离子体的等效介电常数为一标量，等离子体呈各向同性特性。所以，外加恒左磁场 是使等离子体呈各向异性的原因。2.磁

44、化等离子体中的均匀平面波由麦克斯韦方程写成矩阵形式Vyv.e -jco ine；一co1m e：一co1eF(5.5.9)jcome a)cm0：co2e -jm衬 一co1E、(5.50)E.7 27VxT/ =jcosEVxE =-jcojn)H消去磁场H,可得到关于电场E的波动方程V2E - V(VE) + fy2/or/zA)(i-7i2)= JZA)(1 +C-C )(5.5.23)对应于卩=卩,由式(5.5.20)可得到為=jEg即这是一个沿+z轴方向传播的左旋圆极化波。 对应于0 = 02，由式(5.5.20)可得到即尽=(5-局応严这是一个沿+Z轴方向传播的右旋圆极化波。(5.

45、5.18)(5.5.24)(5.5.25)28由上述讨论可知，当电磁波沿外加磁场方向通过等离子体时，将出现两个圆极化波， 一个为左旋圆极化波，一个为右旋圆极化波。从式(5.5.22)和(5.5.23)看岀，两个圆极 化波的相速不一样。一个直线极化波可以分解为两个振幅相等、旋转方向相反的圆极化波。在各向同性媒 质中，这两个圆极化波的相速相同。因而，在传播过程中，合成波的极化而始终保持不变。 但在磁化等离子体中，由于两个圆极化波的相速不相等，在传播一段距离后，合成波的极 化而已不在原来的方向，即电磁波的极化而任磁化等离子体内以前进方向为轴而不断旋转, 这种现象称为法拉第旋转效应，如图551所示。图

46、5.4.1法拉第旋转当外加恒泄磁场B=0时，q=0,两个圆极化波的相速相等，合成波为直线极化波, 没有法拉第旋转效应此时幷=02 = ej声届式中称为等离子体的等效相对介电常数。若以= 1.602x 1019Cm= 9.106x 1031kg . 0= -xlO9F/m .a)= 2nf代36兀入式(5.5.26),可得% =1-817(5.5.27)5.5.2均匀平面波在磁化铁氧体中的传播铁氧体是一种类似于陶瓷的材料，质地硬而脆，具有很高的电阻率。它的相对介电常数 在5至25之间，而相对磁导率可高达数千。在铁氧体中，原子核周囤的电子有公转和自转运动，这两种运动都要产生磁矩。公转磁 矩因电子各

47、循不同方向旋转而相互抵消。自转磁矩对于一般物质也是相互抵消的，但对于铁(5.5.26)Xdrnicos29氧体物质并不如此，而是在许多极小区域内相互平行.自发磁化形成磁畴。在没有外磁场作 用时，这些磁畴的磁矩相互抵消，因而铁氧体也不显现磁性。但当铁氧体宜于外磁场中时， 每一磁畴的方向都会转动，而与外磁场方向接近平行，产生强大的磁性匚1-磁化铁氧体的张量磁导率为了简单起见，首先研究一个电子在自转运动中所受到的影响。电子自转时相当于有电 流沿与自转相反的方向流动，因而产生磁矩设电子转动的角动量为则有T =（5.5.28）m式中加为电子的质量，e为电子的电荷量的绝对 值，/=-称为荷值比。in当电子

48、置于恒泄外磁场竝中，而Pm与血不在 同一方向时，外磁场对电子所施的力矩将使电子帀 绕B。方向以一左的角速度。，作进动，如图5.5.2所 示。已知外磁场产生的力矩为L = Pmx 血另一方而，力矩应等于角动量的时变率，即d/于是得到设P加与。的夹角为且在极短的时间/内角动虽:的改变为AT.因为进动角为如果没有损耗，这一进动将永远进行下去。由于实际上有能量损耗，进动很快停顿，电 子的自转轴最后与外磁场平行。图5.4.2在外磁场作用下自旋电子的进动dT(5.5.29)g./ ,则角动量的时变率为由式（5.5.29）和（5.5.30）,得到将式（5.5.28）代入上式，可得0又称为拉摩进动频率。AT=

49、Tsin& 0 /(5.5.30)(5.5.31)30由式(5.5.28)和(5.5.29),可得(5.5.32)drdT=一x31若铁氧体中每单位体积内有N个电子数，则磁化强度为M = Npm,于是可将式(5.5.32)改 为xx H()(5.5.33)df此式称为郎道方程。当电磁波在铁氧体中传播时，除了外加恒左磁场H()外，还有较弱的时变磁场，即H =H0+h相应的磁化强度为M = M+/i(5.5.35)这里为恒左磁场所产生的磁化强度，加为时变磁场所产生的磁化强度。将式(5.5.34)和(5.5.35)中的H和M分别替代式(5.5.33)中的和M，可得d+m) =-泌(M()+

50、加)X(血 + 方)at=一(M)xH+ nixxh + nixh)又因为无交变磁场时将以上两式相减，并忽略髙阶小可得对于时谐场，则有当外加磁场H()很强，使铁氧体磁化到饱和时，磁化强度与平行。设H.=e：H则MQ=ezMQo这时，式(5.537)可展开为je 叫=一(叫比-“少、)沟 =-曲(一他Ho_Mo&)jcom:= 0联立解得式中(5.539)由式(5.5.38)可以看出，当时，叫和叫均趋向无限大，因此很小的时谐磁场分量 九或傀可以产生很强的磁化强度，这就是磁共振现象。设方表示时变磁场所对应的磁感应强度，则(5.5.34)dj/id7=一泌(wt xHo+ Moxh)(5.5

51、36)jcom =xH(l+ Mx/i)(5.5.37)Lar - or叫一丿叫叫 ?m.OX0J叫0e：- coL0h.00L. 4(5.5.38)3 如32将式(5.5.38)代入上式，可得这里COcCOm“22= “1)(1+ V e；_-co% = 一血 =7 A) )Tty 6?“33 =()由此可见，铁氧体的磁导率为一张量。当无外磁场时，轴=0,则“2=“2】=0,且 “产“22 =“33。此时，铁氧体的磁导率为一标量，呈各向同性特性。2 磁化铁氧体中的均匀平面波由麦克斯韦方程VxTf =jcosEVxE = -jcopH消去电场E,可得到关于磁场的波动方程V2H-V(y.H) +

52、 卅审=0(5.5.42)仿照分析电磁波在等离子体传播的方法，对于沿外加恒泄磁场B。方向(即 J 方向)传 播的均匀平而波，磁场表达式为H=(exH_wi+eyHyin)e-方程(5.5.42)可写成为考虑到Au = “22、“12=一“21 由此可解得0丄=尿(“土加)即相位常数0有两个解，分别为0= /(】+/“2)=YCO(+CO其中Mi“21“2“22(5.5.40)0切120 e 切2i0H、000(5.5.43)(5.5.44)(5.5.45)(5.5.46)(5.5.41)=03302 = eJwUg _= co “声（1 + %）（5547）y3 厂 3与电磁波通过等离子体相似

53、，当电磁波沿外加磁场方向通过铁氧体时，将出现两个圆 极化波。这两个圆极化波一个左旋、，一个右旋，它们的相速不一样，使合成波的极化面不 断旋转，产生法拉第旋转效应。当外加恒上磁场Bo=O时，=0、% = 0 ,两个圆极化 波的相速相等，合成波为直线极化波，没有法拉第旋转效应。此时0|=02=乞/齐思考题5什么是均匀平而波？平而波与均匀平而波波有何区别？5.2波数是怎样定义的？它与波长有什么关系？5.3什么是媒质的本征阻抗？自由空间本征阻抗的值为多少？5.4电磁波的相速是如何定义的？自由空间中相速的值为多少？5.5在理想介质中，均匀平面波的相速是否与频率有关？5.6在导电媒质中，均匀平而波的相速是

54、否与频率有关？5.7趋肤深度是如何左义的？它与衰减常数有何关系？5.8什么是良导体？良导体与理想导体有何不同？5.9什么是波的极化？什么是线极化、圆极化、椭圆极化？5.10两个互相垂直的线极化波叠加，在什么条件下，分别是：（1）线极化波：（2）圆极化波:（3）椭圆极化波？5.11知道圆极化波是左旋还是右旋有何意义？如何判别圆极化波是左旋还是右旋？5.12在导电媒质中均匀平而波的电场与磁场是否同相位？5.13什么是群速？它与相速有何区别？5.14在理想介质中，均匀平而波具有哪些特点？5.15在导电媒质中，均匀平面波具有哪些特点？5.16什么是波的色散？何谓正常色散？何谓反常色散？34 习 题5在

55、自由空间中，已知电场E(zJ)=evlO、sin(er-0z)V/m,试求磁场强度H(z,f)。5.2理想介质(参数为“ = “(,、 = ()、b = 0)中有一均匀平而波沿x方向传播， 已知其电场瞬时值表达式为E(xyt) = ev377cos (109r -5x) V/m试求：(1)该理想介质的相对介电常数：(2)与E(x,/)相伴的磁场(3)该平而波 的平均功率密度。5.3在空气中，沿空方向传播的均匀平而波的频率f=400MHzo当y=0.5m、t=0.2ns时，电 场强度E的最大值为250V/m.表征苴方向的单位矢量为e0.6-0.8。试求出电场E和磁 场H的瞬时表示式。5.4有一均

56、匀平面波在“ =)、 = 4%、b = 0的媒质中传播，貝电场强度E = EmSin(Q/忽+彳)。若已知平面波的频率/ = 150MHz，平均功率密度为0.265“W/nA试求：(1)电磁波的波数、相速、波长和波阻抗；(2) /=0、z = 0时的电 场E(0,0)值；(3)经过t =0.l/s后，电场(0,0)值岀现在什么位置？5.5理想介质中的均匀平而波的电场和磁场分别为E=110COS(6X107-0.8,Z) V/mH = e. cos(6x107-0.8*z) A/m6/r试求该介质的相对磁导率和相对介电常数兮。5.6在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢呈:为E=exe-j+s 1屮(20宀V/m求：(1)平面波的传播方向和频率；(2)波的极化方式：(3)磁场强度H；(4)流过与传播方向垂直的单位而积的平均功率。5.7在空气中，一均匀平而波的波长为12cm,当该波进入某无损耗媒质中传播时，其波长减 小为8cm,且已知在媒质中的E和H的振幅分别为50V/m和0.1A/m。求该平而波的频率和 媒质的相对磁导率和相对介常数。5.8在自由空间中，一均匀平而波的相位常数为A = 0.524 rad/m ,当该波进入到理想介质 后，其相位常数变为0 = 1.81rad/m设该理想介质的儿=1,试求该理想介质的耳和波 在该理想介质中的传播速度。5.9在自由空间中， 一均匀