141曲边梯形曲边梯形面积与定积分面积与定积分

1、1.4.1 1.4.1 曲边梯形面积曲边梯形面积 与与 定积分定积分 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连在直角坐标系中，由连续曲线续曲线y y= =f f( (x x) )，直线，直线x x= =a a、x x= =b b及及x x轴所围成的轴所围成的图形叫做曲边梯形。图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)一一. . 求曲边梯形的面积x=ax=b y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯

2、形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩阵形的个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积于是曲边梯形的面积A A近近似为似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 2 2曲边梯形的面积曲边梯形的面积 求曲边梯形的面积即

3、求曲边梯形的面积即求求 下的面积下的面积)(xfy 0)(xf 分成很窄的小曲边梯形，分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。然后用矩形面积代后求和。 若若“梯形梯形” ” 很窄，很窄，可近似地用矩形面积代替可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？在不很窄时怎么办？ 以直代曲以直代曲 Oabxy)(xfy Oabxy)(xfy例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线、直线x=1和和x轴所围成的曲边梯形轴所围成的曲边梯形的面积。的面积。 n1n2nknn21112222223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiiSSf

4、xnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xOy解解: :把底边把底边0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每个分点作底边的垂线然后在每个分点作底边的垂线, , 这样曲边三角形被分成这样曲边三角形被分成n n个窄条个窄条, , 用矩形来近似代替用矩形来近似代替, ,然后把然后把这些小矩形的面积加起来这些小矩形的面积加起来, , 得到一个近似值得到一个近似值: :2xy 因此因此, , 我们有理由相信我们有理由相信, , 这这个曲边三角形的面积为个曲边三角形的面积为: :lim111lim1261.3nnnSSnn小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲

5、边梯形面积的方法面积的方法 有理由相信，分有理由相信，分点越来越密时，即分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲面积和的极限即为曲边形的面积。边形的面积。（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积作为整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。 （4 4）取极限取极限 oxy(3)(3)求和求和3.求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)以直代曲以直代曲:任取任取x xi xi 1, xi，第，第i个小曲边梯形的面积用高个小曲边梯形的面积用高为为f(x

6、 xi), 宽为宽为 x的小矩形面积的小矩形面积f(x xi) x近似地去代替近似地去代替. (4)逼近逼近:所求曲边所求曲边梯形的面积梯形的面积S为为 (3) 作和作和:取取n个小矩形面积的和作个小矩形面积的和作为曲边梯形面积为曲边梯形面积S的近似值：的近似值：xi-1y=f(x)x yObaxixix10,( )()niixfxSnx 1( )niiSfxx (1)分割分割:在区间在区间a,b上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxxb11( )( )nnniiiibaSf

7、 xxf xn 小矩形面积和如果当如果当n+时，时，Sn 就无限接近于某个常数，就无限接近于某个常数，这个常数为函数这个常数为函数f(x)在区间在区间a, b上的定积分，记作上的定积分，记作 baf (x)dx，即f (x)dx f (x i)xi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四个步骤四个步骤”:分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-逼近逼近. 一般地，如果f(x)在区间a,b上连续， 用分点 将区间等分成n个小区间，在每个小区间 上取一点 作和式 当 时，上述 和式无限接近于某个常数，这 个常数叫函数f(x)在区间a,b上的定积分。我们 记

8、作 bxxxxxxannii1110iixx,1), 3 ,2, 1(niix)()(11ininiifnabxfxxnbadxxf)(二、定积分的定义二、定积分的定义 baIdxxf)(iinixf )(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， f(x) 叫做被积函数叫做被积函数, x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。(

9、 )baSf x dx被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限( )baSf x dx Sbaf (x)dx； 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线由连续曲线y f(x) (f(x) 0) ，直线，直线x a、x b及及x轴轴所围成的曲边梯形的面积为所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度设物体运动的速度v v(t)，则此物体在时间区间，则此物体在时间区间a, b内运动的距离内运动的距离s为为( );baSv t dt (3) 设物体在变力设物体在变力F F(r)的方向上有位移的方向上有位移r，则，则F在在位移区间位移区

10、间a, b内所做的功内所做的功W为为( ).baWF r dr112001( )3Sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为1x yOf(x)=x213S baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. 三三.定积分的几何意义：定积分的几何意义：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、x

11、b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：定积分的几何意义：积分 b ba af f ( (x x) )dxdx 在几何上表在几何上表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x f f ( (x

12、x) )d dx x。 S S定积分的几何意义：定积分的几何意义： 在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).50(24)xdx计算定积分-465OxyAB50(24)945xdx 例1 用定积分表示下列阴影部分面积。 （1） （2） 解（1）由图可知 （2）由图可知212dxxS1121dxxS0 0 1 12 22xy x xy y1 11 1-1-10 0y yx x122yx102的值：计算例xdx 解：由定积分几何意义 可知112110 xdx1 10 0 x xy yy=xy=x21 变式练习：计算 的值。 解：由几何意义可得 222

13、142222dxx2224dxx2 22 2-2-20 0y yx x422yx 例：计算下列定积分例：计算下列定积分. 21120310213001(1)(1);(2)(1);2(3);(4)(1);(5)sin;(6).xdxxdxxdxx dxxdxx dx第（第（1）-（5）小题可用定积分的几何意义求解。第（）小题可用定积分的几何意义求解。第（6）小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学了牛小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学了牛顿顿-莱布尼兹公式再做。莱布尼兹公式再做。四四. 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x

14、(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fk四四. 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (x)（课外探究：你能用定义证明性质1、2、3吗？）ab yf (x)Ox y( )yg x探究探究:根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的如何用定积分表示图中阴影部分的面积面积?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx

15、( )yg x12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx 2( )baSg x dx 练习 计算 解 由定积分的性质可知102)32(dxxx102)32(dxxx1010232dxxxdx1010232dxxxdx0313212 例3 分析：如图所示成的平面图形的面积。轴围和直线计算由曲线xxyxy2,221102) 2(dxxdxxS0 01 12 2y yx x2 xy2xy 65112131 例4 求下图阴影部分的面积。 解：由定积分几何意义知 10210dxxxdxS3121610 0 x x1 12xy y yxy 变式练习 计算 解 由函数的性质与定积分的几何意义可知102)(dxxx0 01 12xy xy xy x x316122102dxxx102)(dxxxy y四、能力提升解 如图所示，阴影部分面积图形的面积。轴围成的平面和直线计算由曲线xxyxy2,2110) 2(dxxdxxS0 01 12 2xy xy y yx x2xy1021)2(61dxxxdx6711212161五、小结（1）定积分的几何意义： 在a,b上函数f(x)连续且恒有f(x)0,那么定积分 表示由直线x=a,x=b(ab), y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积