概率论与数理统计样卷分析

1、概率论与数理统计样卷分析概率论与数理统计重修概率论与数理统计重修河海大学理学院数学系河海大学理学院数学系 2010.07一、古典概率一、古典概率 （一）（一）内容提要内容提要：随机事件、概率及其性质、古典概型：随机事件、概率及其性质、古典概型与几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公与几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式、事件的独立性、伯努利概型式、事件的独立性、伯努利概型.（二）相关问题（二）相关问题1. 已知P(A)=0.3, P(AB)=0.4, 则 ；)(BAP概率论与数理统计样卷分析3已知P( )0.5, P(B)0.4, P( )0.6, 则P(A ) .

2、BA|BA2. 袋中有袋中有20只黄球只黄球30只白球只白球, 二人依次从中任取一球二人依次从中任取一球, 则第则第二人抽得黄球的概率为二人抽得黄球的概率为 .)(BAP 4设事件A与B相互独立, 已知P(A)=0.5, P(AB)=0.8, 则 ； 5. 设设A, B为任意两事件为任意两事件, 且且A B, P(B) 0,则下列不等式正确则下列不等式正确的是的是: (A) P(A) P(A|B) (B) P(A) P(A|B) (C)P(A) P(A|B) (D) P(A) P(A|B) 概率论与数理统计样卷分析 6. 甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为0.4，0.6，0.8

3、，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3，被两人击中而被击落的概率为0.7，若三人都击中飞机，飞机必定被击落。（1）求飞机被击落的概率；（2）若已知飞机被击落，求因被两人击中而被击落的概率。 7. 设有来自三个班级的各设有来自三个班级的各10名、名、15名和名和25名学生参加一个文名学生参加一个文体节目，其中各班的女生分别为体节目，其中各班的女生分别为3名、名、7名和名和5名。随机地选一个名。随机地选一个班级，再从中先后选取两人做一个节目。班级，再从中先后选取两人做一个节目。（1）求先选到的一人为女生的概率；）求先选到的一人为女生的概率；（2）已知后选到的一人为男生，求求先选到的一人为女生的概）

4、已知后选到的一人为男生，求求先选到的一人为女生的概率。率。概率论与数理统计样卷分析 8. 若事件A, B的概率为正, 则事件A, B互不相容与事件A, B相互独立 同时成立.二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布 （一）（一）内容提要内容提要：随机变量及其分类、一维离散型随机变：随机变量及其分类、一维离散型随机变量、分布律及其性质、分布函数及其性质、一维连续型随机变量、分布律及其性质、分布函数及其性质、一维连续型随机变量、密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、量、密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、随机变量的独立性、随机变量函数的分布随机变量的独立性、随机变量函

5、数的分布.（二）（二）相关问题相关问题 1已知随机变量X的分布函数F(x)A + Barctgx, 则A ,B , 概率密度f (x) . 概率论与数理统计样卷分析 2. 设某类电子管的使用寿命X (以小时计)的概率密度是 f (x) = 一等品的使用寿命在110小时以上，二等品的使用寿命在80 110小时，三等品的使用寿命在80小时以内，一等品、二等品、三等品的包装损坏率分别是0.002、0.20与0.30，现从一大批这类电子管（一、二、三等品混合）中任取一只，求 （1） 它碰巧是一只由于包装导致损坏的电子管的概率； （2） 若已知这是一只由于包装导致损坏的电子管，求它原来是二等品的概率。0

6、, 00,1001100 xxex概率论与数理统计样卷分析 3. 设随机变量X服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（4，p）的二项分布，若PX1=5/9，则PY1= ； 4. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其密度函数为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求出的分布律，并求PY4。0, 0, 0,21)(2/xxexfx概率论与数理统计样卷分析5. 设设 其其它它, 06, 3, 9/21, 0, 3/1)(xxxfX若若k 使得使得PX k=2/3, 则则k的取值范围是

7、的取值范围是 . 6. 设设F1(x)与与F2(x)分别为分别为 r.v.X1与与X2的分布函数的分布函数, 为使为使F(x)=a F1(x) b F2(x)是某一是某一r.v.的分布函数的分布函数, 在下列给定的各组数值中在下列给定的各组数值中应取应取 (A) a=3/5, b= 2/5 (B) a=2/3, b= 2/3 (C) a= 1/2, b= 3/2 (D) a=1/3, b= 3/2 7. 已知随机变量已知随机变量X、Y相互独立且都来自参数为相互独立且都来自参数为 0的指数的指数分布，试用两种方法求出分布，试用两种方法求出ZXY的概率密度。的概率密度。概率论与数理统计样卷分析 8

8、. 设随机变量X概率密度是求(1) F(x); (2) Y=aX + b的概率密度，其中a0、b为常数。., 021,210,)(其它其它xxxxxf 9. 设二维随机变量(X，Y)的分布律为试验证X与Y是不相关的，也不是相互独立的。 XY 1 0 1 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8概率论与数理统计样卷分析 1设r. v. X、Y相互独立, D(X)2, D(Y)4, 则D(2XY) .三、随机变量的数字特征三、随机变量的数字特征 （一）（一）内容提要内容提要：随机变量的数学期望、随机变量函数的：随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期

9、望的性质、方差及其性质、协方差与相关系数学期望、数学期望的性质、方差及其性质、协方差与相关系数数.（二）（二）相关问题相关问题 2. 设随机变量X与Y独立同分布, 且UXY, VXY, 则协方差cov (U, V) = . 3. 已知随机变量X N(0，1), , 0，为常数，试证明: X + N(, 2).概率论与数理统计样卷分析 4. 设二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数为求:（1）关于X和Y的边缘密度函数f X (x) ，f Y ( y)； （2）Y的期望和方差E(Y )，D(Y )； （3）X与Y的协方差Cov( X，Y )； （4）Z= max( X, Y )的密度函数。其其它它

10、, 010,0, 2),(yyxyxf 5. 设连续型随机变量的密度函数为且E(X)=1/3，则a = ，b = ；其其它它, 010,)(xbaxxf概率论与数理统计样卷分析 6. 设随机变量X在区间1, 2上服从均匀分布, 随机变量Y是X的函数, 且0, 10, 00, 1XXXY则方差D(Y)= . 7. 设二维设二维r.v.(X, Y)在矩形在矩形G(x, y)|0 x 2, 0 y 1上服从均匀上服从均匀分布分布, 记记;2, 1,2, 0;, 1, 0YXYXVYXYXU若若若若若若若若试求试求(1)U和和V的联合概率分布的联合概率分布; (2) U和和V的相关系数的相关系数.概率

11、论与数理统计样卷分析 8. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光, 电梯于每个整点电梯于每个整点的第的第5分钟分钟,第第25分钟分钟, 第第55分钟从底层起行分钟从底层起行, 假设某游客在早假设某游客在早八点第八点第X分钟到达底层侯梯处分钟到达底层侯梯处, 且且X在在0, 60上均匀分布上均匀分布, 求该求该游客等候时间的数学期望游客等候时间的数学期望. 9. 设设X是是r.v., EX= , DX= 2, 则对任意常数则对任意常数C, 必有必有 (A) E(X C)2= EX2 C2 (B) E(X C)2= E(X )2 (C) E(X C)2 E(X )2 (

12、D) E(X C)2 E(X )2 10. 设二维设二维r.v.(X, Y)服从二维正态分布服从二维正态分布, 则则r.v. =X+Y与与 =X Y不相关的充分必要条件为不相关的充分必要条件为 (A) E(X)=E(Y) (B) E(X2) E(X)2=E(Y2) E(Y)2 (C) E(X2)=E(Y2) (D) E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2 概率论与数理统计样卷分析四、样本与抽样分布四、样本与抽样分布 （一）（一）内容提要内容提要：总体与样本、经验分布与统计量、统计：总体与样本、经验分布与统计量、统计中的三个重要分布、正态总体的抽样分布理论中的三个重要分布、正态总体的抽样

13、分布理论.（二）（二）相关问题相关问题 1. 设X1, , Xn是来自正态总体N(, 2)的一个样本, 则212)(niiXX ; 212)(niiX . 2.设X1, , Xn是来自正态总体N(, 2)的一个样本, 则niinXnZ1)(1服从 . 概率论与数理统计样卷分析 3.设XN(1，12)，YN(2，22)，X1,Xn1；Y1,Yn2分别是两总体相互独立的样本，则 的分布是 . YX 4. 设X1，X2，X3是来自正态总体N（0，1）的简单随机样本，X = X12 + a(X2 2 X3)2 ，则当a = 时，统计量X服从2分布，自由度为 ； 5. 设XN(1，12)，YN(2，22

14、)，X1,Xn; Y1,Ym分别是两相互独立的样本，则 . YX 6. 设设X1, X2, X3, X4是来自正态总体是来自正态总体N(0, 22)的简单随机样本的简单随机样本, X=a(X1 2X2)2+b(3X3 4X4)2, 则当则当a = , b = 时时, 统计统计量服从量服从 2分布分布, 其自由度为其自由度为 .概率论与数理统计样卷分析 1. 设总体X的密度函数为其中为未知参数。求的矩估计量和极大似然估计量，并说明的极大似然估计量是否为其无偏估计量，请给出理由。xexfx,231);(2)(181 2. 若P(X=k)=ke/k!, (k = 0, 1, 2, ), 则的极大似然

15、估计量= .五、参数估计五、参数估计 （一）（一）内容提要内容提要：估计量与估计值、矩估计、极大似然估：估计量与估计值、矩估计、极大似然估计、估计量的评价、区间估计、正态分布均值与方差的置信区计、估计量的评价、区间估计、正态分布均值与方差的置信区间间.（二）（二）相关问题相关问题概率论与数理统计样卷分析 3. 设总体设总体X的概率函数为的概率函数为 f (x; ) xxex, 0,)(其中其中 为未知参数，为未知参数，X1，, Xn为来自总体为来自总体X的一个样本。的一个样本。 （1） 试求未知参数试求未知参数 的矩估计量和极大似然估计量；的矩估计量和极大似然估计量； （2） 讨论未知参数讨论

16、未知参数 的极大似然估计量的无偏性，并说明理的极大似然估计量的无偏性，并说明理由由. 4. 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为其中其中 1是未知参数是未知参数, X1, , Xn是来自总体是来自总体X的一个容量为的一个容量为n 的简单随机样本的简单随机样本, 分别用矩估计法和极大似然估计法求分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量的估计量. 其它其它, 010,)1()(xxxf 概率论与数理统计样卷分析5. 设设X1， ，Xn，Xn+1是来自总体是来自总体X的简单随机样本的简单随机样本, ,11niiXnX则则,)(11122niiXXnS11nnSXXYn服从的分布是服从的分布是(

17、). A. N(0, 1) B. t (n) C. t (n+1) D. t (n 1) 6. 假设假设0.50, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体是来自总体X简单随机样本简单随机样本, 已知已知Y=lnX服从正态分布服从正态分布N( , 1). (1) 求求X的数学期望的数学期望EX(记记EX为为b); (2) 求求 的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间; (3) 利用上述结果求利用上述结果求b的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间.概率论与数理统计样卷分析 1.假设检验中常见的两类错误是假设检验中常见的两类错误是 和和 。 六、假设检验六、假设检验 （一）（一）内容提要内容提要：假设检验的概念、正态总体参数的假设：假设检验的概念、正态总体参数的假设检验检验.（二）（二）相关问题相关问题 2.下面列出的是某工厂随机选取的下面列出的是某工厂随机选取的9只部件的装配时间只部件的装配时间(分分) :9.8, 10.4, 10.6, 9.6, 9.7, 9.9, 8.9, 10.9, 11.1设装配时间总体服从正态分布。设装配时间总体服从正态分布。 (1)试问装配时间与试问装配时间与10是否有显著性的区别是否有显著性的区别(给定显著性水平给定显著性水平0.05)？ (2)求出该总体均值的置信度为求出该总