勾股定理综合复习讲义

1、勾股定理综合提咼【知识梳理】1、 勾股定理：直角三角形两直角边的 等于【性质定理】2、 勾股逆定理：如果直角三角形三边长 a、b、c满足，那么这个三角形是_三角形.(且/ _=90 ° )【判定定理】当三角形三边为 a、b、c,且c为最大边时，若 a2+b2=c2，则/ C为;若 c2>a2+b2，则/ C为; 若 c2<a2+b2，则/ C为.3、勾股数：满足条件a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数.常见的勾股数组有：3、4、5 (连续整数)；5 、12、13;6 、& 10 (连续偶数)；7、24、 25;8、 15、 17;9、 12、 15;9、 40、

2、 41;10、 24、 26;11、 60、 61;15、 20、 25这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组勾股数通式巧总结:通式一 ：(3,4,5 ) , (6,8,10 )3n、4n、5n ( n是正整数)通式二：(5,12,13 ), (7,24,25 ), (9,40,41 )2n 1、2n2 2n、2n2 2n 1 ( n 是正整数)通式三：(8,15,17 ), (12,35,37 )2n、n2 -1、n2 1 ( n 是正整数)4、勾股定理的证明:5、直角三角形中的几个性质说明：(1 )直角三角形斜边上的中线等于 .(2) Rt中30。角所对的边等于 .三边比为(3) 45

3、76;的等腰直角三角形三边比为 .（1）以直角三角形的三边为边向外作等边三角形（如图），探究S+ S2与S3的关系;等边三角形边长为a，则高=，面积=（2）以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图），探究S + S与S3的关系; 以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图），探究S+ S与S3的关系.7、最短距离问题：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长） 8、非负性：绝对值 a兰0平方项（或偶次方项）a2 _0二次根式 a 09、数轴表示数：如在数轴上作出表示2.3、- 5、10、1- .2 和 '.2+1 的点10、方法：见比设参【经典易错例题透

4、析】类型一：勾股定理及其逆定理的应用1. RtAABC 中，斜边 BC = 2，则 AB2 + AC2+ BC2的值为(A)8(B)4(C)602.（易错题）下列几组数据：0.6, 0.8, 1(D)无法计算 12,13,5 ; 7,8 , 1540,41,9.其中是勾股数的有（）(A)4 组(B)3 组(C)2 组(D)1 组Os已知直角三角形两直角边分别为5,12，则三边上的高的和为则以x、y、z为三边的三4.已知 x-12 + x+ y-25 与 z2 -10z + 25 互为相反数，2c2_a2_b2+(a-b)2=0，则角形是三角形.5.已知a,b,c是厶ABC的三边长，且满足关系式

5、ABC的形状为.6. 如图，在Rt ABC中, / C=90°, AC=3将其绕B点顺时针旋转一周， 则分别以BA BC为半径的圆形成一圆环，则该圆环的面积为（）A. 二 B.3 二C.9 二D.6:7. 图甲是我国古代著名的 “赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成 的.在Rt ABC中，若直角边 AC=6 BC=5,将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向 外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是类型二：利用勾股定理证明、计算1.如图，直线I经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线I的距离分别是1、2, 则正方形的边长是.讥在

6、直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2， 3，水平放置的4个正方形的面积是 Si， S2，S3， S4，则S1+ S2+ S3+ 0=03.如图，已知 ABC中，Z ABC =90°, AB = BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线li, 12, 13上，且li, 12之间的距离为2, 12, 13之间的距离为3，求AC的长是多少？4.在厶ABC中，/ C=90°,点M是BC的中点，MDLAB于点D,求证：AC2=AC2+B2类型三：关于勾股定理的实际应用1.如图，圆柱形容器中，高为8cm,底面周长为12cm,在容器内壁离容器底部2c

7、m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器 外壁,离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm （容器厚度忽略不计）.类型四：勾股定理与乘法公式变形综合应用1.（巧思妙解题）在 Rt ABC 中，/ C=90° , AC+BC=15 , AB=11，贝U Rt ABC 的/ C=90,CD 丄 AB 于点 D , AB=13 , CD=6，贝U AC+BC 等Os如右上图中大、小正方形的面积分别为65和9,那么一个直角三角形的两直角边的类型五：勾股定理与等腰直角三角形综合应用在等腰直角佃C中.NB4C90。，点A在斜边BC上滑动，且印 是探究BM. A£V.亡、之间的数量关系.1.如图，在 ABC 中，AC=BC, ACB =90 , D、E 是边 AB 上的两点，AD=3,BE=4, DCE =45 求 ABC 的面积.a2. 如图，在ABC 中，/ACB=90 °,AC=BC , P 是ABC 内的一点，且 PB=1 , PC=2 ,PA=3，求ZBPC的度数.3. 如图，在四边形 ABCD中，AB=BC,/ ABC= / CDA=90