勾股定理笔记要点

1、勾股定理基础知识汇总一、已经学过的有关直角三角形中的边角关系1 两锐角之间的关系：.A . B = 90°2边与高的关系： ab=ch3边与角之间的特殊关系：在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。二、勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。即a2亠b2 =c2三、勾股定理逆定理如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。四、勾股数组2 2 21如果三个正整数 a, b,c满足关系a b =c ,那么a, b,c叫做勾股数。2勾股数的性质如果a,b,c是勾股数，k为正整数

2、，那么ka, kb, kc也是勾股数思考：勾股数的定义中有何限制？3常用勾股数：3,4,5; 5, 12,13; 7,24,25; 8,15,17;4勾股数的几种表达方式(1).2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 (毕达哥拉斯) n2 一1,2n,n2 1 (柏拉图)(3)m2 一 n2,2mn,m2 n2 (丢番图)请探究上述三个表达式，思考下列问题(1)你能从勾股数 3,4,5; 5, 12,13; 7,24,25;归纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组勾股数有何特征？(2) 柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系? 与你已经学过的哪些公式有关联？五、勾股定理应用(1) 学习过勾股定理之后

3、三角形的特殊关系 如果 A =30°，那么 a: b:c=1:3: 2 如果.a =45°，那么 a: b:c = 1:1: 2 如果a, b,c是直角三角形的三条直角边，那么以a+ b, c + h, h的长为边的三条线段能组成直角三角形 如果a, b,c是直角三角形的三条直角边，那么以111,的长为边的三条线段能组成直角三角形abh(2) 藤绕树问题的解法我国古代有这样一道数学问题：枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周 而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示， 把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱 的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤

4、自点A处缠 绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处则问题中葛藤的最短长度是 尺.ffHaAGDF（3）长方体盒子对角线的长度公式六、典型例题例1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，仓U制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）,图（2）由弦图变化得到，它是由八 个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分 别为5、S3若正方形EFGH的边长为2, 贝V Si+S2+S3=【答案】12fflME（4）蚂蚁最短路径问题公式2如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,直角边长分别是a, b，斜边长为c和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能

5、证明勾股定理的 图形.（1）画出拼成的这个图形的示意图.（2 ）证明勾股定理.方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法 进行了证明著名数学家华罗庚曾提出把“数形关 系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他 星球“人”进行第一次“谈话”的语言.定理表述请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）：（3分）（图1）尝试证明以图1中的直角三角形为基础， 为底，以a - b为高的直角梯形 图2,验证勾股定理；（4分）知识拓展可以构造出以a、b（如图2） 请你利用3. （1）如图1是一个重要公式的几何解释请你写 出这个公式；（2 ）女口图 2 , Rt ABC 也 RtCDE

6、B = D =90，且B, C, D三点共线.利用图2中的直角梯形，我们可以证明a - - b其证明步骤如下：c:BC 二 a b , AD 二又；在直角梯形 ABCD中有BCAD（填大小关系），即:：'.2 （3 分）试证明 ACE =90：；ba图2（3）伽菲尔德（Garfield, 1881年任美国第20届 总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876 年4月1日，发表在新英格兰教育日志上），现 请你尝试该证明过程.4. r问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明5给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边 形.

7、(1) 在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2) 如图，将 ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60。得到 DBE，连接 AD ,DC,CE,已知/ DCB=30 ° 求证： BCE是等边三角形； 求证：DC2+BC2=AC2，即四边形 ABCD是勾股四边形.E &厂&) & ，如 3 图，建立平面直角坐标系，点P x,0是x轴上一点，则J( x 0)2 +12可以看成点P与点A( 0,)的距离， J(x3)2 +22可以看成点P与点B(3,2 )的距离， 所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是 PA PB的最小值.设点A关于

8、x轴的对称点为 A ,则FA=PA ',因此， 求PA PB的最小值，只需求 PA' FB的最小值， 而点A、B间的直线段距离最短，所以PA' + PB的最小值为线段 A'B的长度为此，构造直角三角形A'CB，因为 A C=3，CB=3，所以 A'B =3、一°，即原式的最小值为 3 、迈根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)代数式 x -1 2129的值可以看成平面直角坐标系中点P x,0与点A 1,1 、点B的距离之和.(填写点B的坐标)(2)代数式'、x24 X2 - 12x 37的最小值为6在 ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边.当 a2+b2=c2时， ABC是直角三角形；当 a2+b2 c2时， 利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究 ABC的形 状(按角分类)(1) 当厶ABC三边长分别为 6,8,9时， ABC为c2；当厶ABC三边长分别为 6,8,11时， ABC 为三角形.(4分)(2) 猜想：当a2+ b2