高中数学选修2-1综合测试卷带答案

1、C.2 D .看解析：因为椭圆常+方=1的离心率。1=生， b2 3所以1一/=0彳=不力 21/ y2即宗=不 而在双曲线滔一"=1中，设离心率为则 ei=l +，= 1 +；=5，所以 02=坐.答案：B7 .下列选项中，p是g的必要不充分条件的是（）A. p： a+c>力+d, q：力且 c>dB. p： a>l9 b>l, q： /（x）=一伏。>0且Wl）的图象不过第二象限C. pz x=l, q： x2=xD. p： a>l9 qt /（x）=logox（a>0 且。HI）在（0,+8）上为增函数解析：由于。>力，c>

2、d=a+c>b+d9而+c>力+d却不一定推出。>力，且c>d.故A 中p是<7的必要不充分条件.B中，当。>1, 时，函数/U）=。'一力不过第二象限，当 /口）=炉一不过第二象限时，有。>1,力21.故B中p是q的充分不必要条件.C中，因为 x=l时有/=% 但12=工时不一定有x=i,故C中p是0的充分不必要条件.D中p是0 的充要条件.答案：A8 .四棱锥PA3CD中，底面43CD为直角梯形，AB±AD9 BC/AD9且A5=5C= 2, AD=3,"，平面A3CD且Rl=2,则尸3与平面PCO所成角的正弦值为（）解

3、析：建立如图所示的空间直角坐标系,则尸(0,02), 3(2,0,0), C(22,0), D(0,3,0).尸3=(2,0, -2), CD=(-2,l,0), PD=(03 -2). 设平面PCD的一个法向量为fi=(x9 yf z),2r+j=0,财3y2z=0.i 、 PBn cos (PB9 n)=-42取又小i=可得PB与平面PC。所成角的正弦值为兴答案：B9.正A8C与正BCO所在平面垂直，则二面角A-5O-C的正弦值为（）A.当B里c¥ D坐解析：取BC中点O,连接AO, DO.建立如图所示坐标系，设BC=1,（0, 0, f）, BA由于O4=（0, 0, 里为面B

4、CD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量=（1,一小，1）, f 代/.cos* OA）= >2后Asin </, OA）=-.答案：C10 .设双曲线白玉=1（。>0">0）的渐近线与抛物线），=9+1相切，则该双曲线的离 心率等于（）A.小 B. 2C.y6 D.5解析：双曲线的一条渐近线为y=%,bV =xA（t ' 浦 J 得 /孑+1=0. ji+1,由题意，知=卷24=0：.b2=4a2.又 c2=a2+b2f .c2=a2+4a2=5a2.答案：D 2211 .已知椭圆力>°b M为椭圆上一动点，尸I为椭圆的左焦点，

5、则线段的中点P的轨迹是（）A.椭圆B.圆c.双曲线的一支D线段解析：尸为MF】中点，。为尸产2的中点，：.OP=MF2f又:PFi+尸。=输尸1+输户2 =。.，尸的轨迹是以尸1, O为焦点的椭圆.答案：A12 .如图所示，在直三棱柱A3C-A山Ci中，AAi=AB=AC9 A3_LAC, M是CG的 中点，。是8c的中点，尸是人的中点，则直线尸。与4M所成的角为（）A匹B-a-6W D.y解析：以A为坐标原点，A3、AC、4A所在直线为八八Z轴建立如图所示的空间直>角坐标系，设 4A】=43=4C=2,则AM=(O2,1), 0(1,1,0),尸(1,0,2),。尸=(0, 12),所

6、以 QPAM=0,所以QP与AM所成角为*答案：D二、填空题：七大题共4小题，每小题5分，共20分.13 .双曲线W记一击=1的焦距是.解析：依题意。2=j2+i2, b2=4ni29 所以。2=屏+振=16, c=4,2c=8.答案：814 .命题P：若AWR,则曲=0是。=0的充分条件，命题0：函数3的定 义域是3, +8),则“pVq” "Aq" 嗨P”中是真命题的有.解析：依题意可知p假，q其,所以«pVq"为真，"pAq”为假，“p”为真.答案：pVc，15 .已知A(0, -4), 3(32),抛物线产="上的点到直线从5

7、的最短距离为.12/1241 02/+4解析：直线A3为2xy4=0,设抛物线户=上的点P(f, F), d= 不 =一忑一 (1)2+3、3 3 世= 书匹=5 -答案：.16 .在棱长为1的正方体A5CO - A'GQ中，M和N分别是人和的中点，那 么直线AM与CN所成角的余弦值为.解析：建系如图，则1, 1, 1), N(l, 1, 1), 4(1,0,0), C(0,l,0),/. cosAM, CN)=AMCN 2 2一 一 g14MlicM 45-即直线AM与CN所成角的余弦值为刍-2答案：5三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17

8、 .(本小题满分1()分)命题p： /-4mx+1 =。有实数解，命题q： 3x0GR,使得旭元 -2t<l1>0 成立.(1)若命题P为真命题，求实数，的取值范围；(2)若命题q为真命题，求实数，的取值范围；(3)若命题为真命题，且命题pVq为真命题，求实数6的取值范围.解析：(1).32一4机r+l=0有实根；AJ = 16w24>0,；或加2小:刖的取值范围是一8, Tu|J +8)(2)设/(x)=/nx22x i.当 1=0时，/(x)=2r1, q为真命题；当w/>0时，q为真命题；当IV0时，需有4=4+4m>0, 综上 /?!> 1.(3);

9、为真，pYq为其,，p、°为一真一假.p、g为真时m的范围在数轴上表示为 g >l2-2p真，。假时，p假，真时，2<m<r满足条件的机的取值范围是运一1或一;VY；.18 .(本小题满分12分)如图，在平行六面体A5CD-A出心。】中，E、尸、G分别是AiDi、 QG的中点.求证：EG/AC；(2)求证：平面EFG平面45c证明：把44，AB, AD作为空间的一个基底.(1)因为EG=EDi+OG=%D+143, AC=AB+AD9所以AC=2EG.所以EGAC.(2)由(1)知 EG4C,又 ACU 平面 A5C, EGQ平面 A3C, 所以EG平面ABC. J

10、 > > 因为尸G=FDi+0iG=yAi+145, ABx=ABAAi9所以A5i=2尸G.所以FG/ABX.又AbiU平面ABC,尸GQ平面A&C,所以尸G平面A51c.叉EGCFG=G,所以平面EFG平面ABC.19 .(本小题满分12分)已知直线Z：尸一x+1与椭圆白相交于A、B 两点，且线段A8的中点为修，(1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线/的对称点在圆/+"=5上，求此椭圆的方程.(y=x+l解析：由(出+叱=得(b2-a2)x22a2x+a2a2b2=(i.J=4a44(a2+b2)(a2a2b2)>0a2+b2>l9设

11、A(xi, ji), 3(X2, yi)f2a2则刈+必=户工？;线段AB的中点为G，；), la2 4西万=?于是得：a2=2b2.又。2=炉+，2, j,a2=2c2,(2)设椭圆的右焦点为尸(c,0),则点尸关于直线/：=一丫+1的对称点为尸(1,1 一c), 由已知点尸在圆x2+y2=5上，/. 1+(1c)2=5, c22c3=0.Vc>0,，c=3,又。2=勿2, 42=18, a=y/2.b=39:,椭圆方程为裔+三=1. io y20 .(本小题满分12分)已知抛物线尸=一工与直线j=A(x+i)相交于4, B两点,点。 是坐标原点.(1)求证：QAJ_03；(2)当04

12、3的面积等于回时，求上的值.解析：(1)证明：当=0时直线与抛物线仅一个交点，不合题意，；kr()由=%(x+i)得x=%1代入俨=大整理得：y2+ry-1=0设 A(Xl, J1), 5(X2, 丁2)则 yi+2=£ J1J2= 1.VA, 3 在 V=-x 上，：.A(-yi9 yi)9 B(yi9 y2)f.-力 力 _1_ i.必次“一(_疥(_免厂缈2-1,：.OA±OB.设直线与x轴交于旦 则E( 1,0), ：.OE = 19Sa"A8=；IOEI(IW+灿=拼>=h/p+4=*解得女=±|.21 .(本小题满分12分)如图，已知A

13、3,平面AC。，DE_L平面AC。，AC。为等边三 角形，AD=DE=2AB9 F为CO的中点.求证：AF平面3CE；(2)求证：平面3CEJL平面CDE；在DE上是否存在一点尸，使直线BP和平面BCE所成的角为30。.解析：设4D=DE=243=2/7,建立如图所示的空间直角坐标系A一孙z,则 4(0,0,0), 5(0,0, a), C(2a,0,0), D(af g,0), Eg g,2a),尸为CD的中点，F仔,泽，0)(1)证明：AF=BE=(a, 3a9 a), BC=(2a,09 a), f 1 f f -af=2(be+bc)9AFQ平面 BCE,平面 3CE.(2)证明：./

14、1产=住，坐a, 0),CD=(af V，。)，ED=(0,0, 2a), -> >" ：.AFCD=0f AFED=0f - -* -*:.af±cd9 af±ed.A尸，平面CDE.又TA尸平面BCE, 二平面BCE J.平面CDE.设平面5CE的一个法向量为=(x, j, z),*由/r5E=0, 3C=0 可得： x+a/3j+z=0,2xz=0, 取=(1, -<3, 2), 不妨取=1,则3(0,0)，设存在P（l,小，f）满足题意,则8尸=（1,小，1一1）（0这FW2）, 设5尸和平面BCE所成的角为6,则 sin6=BPnBPnll-3+2(/-l)l1一<§41+3+(/_1)2一，解得 f=3±V,取 f=3水£0,2,，存在P（% 小明 （3木四），使直线3P和平面3CE所成的角为30。.22.（本小题满分12分）已知椭圆C 务£=1（。力0）的离心率为坐，直线/：=*+ 2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆。相切.（1）求椭圆。的方程；（2）设椭圆C与曲线ljl=Ax（A0）的交点为A, B,求Q45面积的最大值.解析：（1）由题设可算,圆。的方程为/+户=炉，因为直线/： x-y+2=o与圄o相