圆内接四边形与四点共圆-教案(有答案)

1、圆内接四边形与四点共圆（选学）教案设计引言：圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切G联系，花是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形。实际上 ，在许多题目G已知条件中，并没有给出圆，这时就需要通过 证明四点共圆，把实际存在G圆找出来，然后再借助圆G性质得到要证明G结论。确定四点共圆G办法有哪些呢？思路一：用圆G定义：到某定点G距离相等G所有点共圆。若连在四边形G三边O中垂线相交于一点，那么这个四边形G四个顶点共圆。（这三边G中垂线G交点就是圆心）。产生原因：圆G定义：圆可以看作是到定点G距离等于定长G点G集合。AO=BO=CO=DO基本模型：A、B、C、D四点共圆（O为圆心）思路二：从被证共圆

2、G四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可证明这四点共圆。 要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再 证其他点也在这个圆上。思路三：运用有关性质和定理:对角互补，四点共圆：对角互补G四边形G四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形G对角互补。基本模型：A D 1800 (或 B D 1800)A、B、C、D四点共圆张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线G夹角相等，则这两个点和线段G两个端点共四个点共圆。产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对G圆周角相等。方法指导：把被证共圆G四个点连成共底边G两个三角形，且两三角形都在这底边G同侧，若能证明其顶角（即：张角）

3、相等 （同弧所对G圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆。-可编辑修改-CAB CDBA、B、C、D四点共圆同斜边G两个直角三角形G四个顶点共圆，其斜边为圆G直径。产生原因：直径所对G圆周角是直角。C D 900A、B、C、D四点共圆外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角G四边形G四个顶点共圆。产生原因：圆内接四边形G外角等于内对角。基本模型：ECD BA、B、C、D四点共圆用相交弦定理或切割线定理G逆定理：把被证共圆G四点两两连成相交G两条线段，若能证明它们各自被交点分成G两线段之积相等，即可肯定这四点共圆。（相交弦定理G逆定理）产生原因：相交弦定理。基本模型：AE?BE CE?DE

4、A、B、C、D 四点共圆把被证共圆G四点两两连结并延长相交G两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成G两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成G两线段之积，即可肯定这四点也共圆.(割线定理G逆定理)产生原因：割线定理。基本模型：EA?EB ED?ECA、 B、 C、 D四点共圆二、新课探究例1、如图，AD、BE、CF是锐角 ABCG三条高,(1)图中共有多少组四点共圆？(2)求证： ADF ADE oH为垂心。分析:解：C J J雪日的共有三蚂.如丸M/F i禺国人青斤的也由三短，IW K,r,£,C ： CD,F> t儿上以丹所也共宥白羽一C 2，/为UD,E&四直

5、共时馥惭匕1£1川为4,£/>, a四点共闻.掖JE比么"I L ZJ5/JF =上无仇,向爵阳的余角相写.如4门手=/月门上，由结论t 2 J知事保工4g给或心打为SE尸的内心，练习：锐角 ABC G三条高 AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七个点中,能组成四点共圆G组数是（）A、4组 B、5组 C、6组D、7组分析:解：如因，以蛆为斜边由两个直角三角垂，四个顶点共圆或R M> E） 以E讷斜边的两个直角三角祁四个顶点共同（艮加D）， 以CH为斜边的两个直角三角序.四个顶点共圆Cd 1k技EJ 以AE为斜边的两个直蔺三痢形，四个质点

6、其周t限£ 1 E）, 以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共同（乐艮E、） 以址为斜边的两个直角三角形,四个项点共同C'艮6CJ , 共曜.故选C .例2、已知4ABC为等腰直角三角形，/ C为直角，延长CA至D ,以AD为直径作圆，连 BD与圆O交于点E,连CE,，、一一 BD -CE G延长线交圆O于另一点 F,那么G值等于CF分析：.2理由：解：如雷连接AEAF , DF , ；仙为直径jP 杷片.此C-艮E四点共回，F必MF二 ZABD .又T乙ATC二乙加E，.*. AAfCM AADB,Y O jAC座2CF岖,/ZFAI=Zm= ZBEC=ZBJkC=4ED

7、 在耻W中*患二二%疝7口上二0 故答案为：痘，教师小结：在四点共圆G题目G已知条件中，通常没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把存在G圆找出来，然后再借助圆G性质进行相应G推导。练习：（2011湖北武汉中考题改编）如图，在菱形 ABCD中，AB=BD，点E, F分别在AB, AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点 G,连接CG与BD相交于点H,则四 边形BCDG G面积（记作：S四边形 BCDG ）与边CG G关系是o分析：S四边形BCD G= CG 2理由： / BGE= / BDG+ / DBF= / BDG+ / GDF=60 = / BCD ,点B、C、D、G四点共圆，/

8、BGC= / BDC=60 ' / DGC= / DBC=60/ BGC= / DGC=60 °。过点C作CM，GB于M , CN，GD于N .则 CBM 9 CDN ( HL )。S 四边形 C M G N =2S A CM G O二S 四边形 BCD G=S 四边形 CM GN ,/ CGM=60GM= 1 CG2二 S 四边形 C M GN =2S CM G=21 1 “3 ” 2x x - CGCG= CG o例3如图，锐角 ABC中,A 60° ,且O、I、H分别为 ABCG外心、内心和垂心。求证：OI=IH 。分析:连结 AO、AI、OC、IC、HC。因

9、为/为内心，所以4盘=/e切X MOB 为等腰三角形, 故 ZABO = -(-ZAOB =-(180;-2ZC = 90-ZC = /CRH,即 ZA3O = £CBH0由一得上.目=4 用由8J1JM.C五百底圆，得力、 火.练习：如图，四边形 AiA2 A3A4内接于一圆， AiA2A3G内心是I1， A2A3A4 G内心是I2, 4A3A4A©内心是 13。求证：（1） A2、Il、12、A3 四点共圆；（2） Z Ill 2I 3 =90易见 £8OC =2ZJ =12D3.Zfl/r = IROi - Z4 = 120= 9。:4=12T且0,目均在B

10、C的同额 故员0,用工五点共皿分析:狂明:to加困口连接工出也，工工工/刘4%, :I是也的内心 二二工1a七=/1内与=；与片内,延长a11交四边建川与与外接国于r j则。工A2A/工也可时/%与，-工与人产工工与勺、%与*工1%=£与F*Z1F1%=上工内/*£工也与*£工1%+£工1%=j（ £%+£%*上匕砧）§/*1%, 同理£%18,加"金上夕火又二叫直形、/看心内接于一国 "" N. AgA1 A.-,z此工儿|与，二与工内 >二修ir1厂/四点共同；C 2 ）又连

11、接工黑则由1L >知%、工?Iy人四点共lb二上工11内=1前.-2lI1A3A3=180' -jzAiAjAj同理乙工a工内=18口。_/1丛4*/18c1"4乙4心,二上中工;而 7 ZIJ内+ j工4冉+GQ%二9。三、反馈训练如图，O是RtABC斜边AB G中点，CHLAB于H,延长CH至D ,使得CH=DH ,F为CO上任意一点，过 B作BEX AF于E,连接DE交BC于G。求证：/ CAF= /CDE ;了杷匚是三鹿用 BE±AF分析:二人，B. C 口四点共固且AB是此其直役.又二CtkLkB，匚后皿，花此圆上二儿，Bj C> D/ E近点

12、共同，-ZCAICDE；四、课外拓展已知 ABC 中，/ACB=90,AB边上G高线CH与ABC G两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点，PM、QNG中点分别为E、F,求证：EF/ABo证明艮thj,EH里上期匚的平分螳,二乙题=/回又,JC1LL g，AZCCS=ZBQM=W -二期4卯口 -ZCBIT=2：CM j 二国二HC .如里谢中点，J，CF_L®.*-ZCFOD NMj .H F-胀E四百洪回.又HFB后亡FBC,J.FC=FH >二点唾中垂线上,同理可证，点E莅口1的中垂程上 .'.EF±CH,又 AB_LCN.-EF7AE .2、如图

13、所示，I为祥BC G内心，求证： BIC G外心。与A、B、C四点共圆。证明:连接QB，F工OCj 由口屋外心知/工吃. 由工昱内心知NASC=2/工鼠.从而乙工0匚二乙祝.同理/1口肚ZJO .而N妙二曲4:1日0" , 故/即匚#&二IMT ,于是0. B、h C四点共圆.3、如图，BD , CE是那BC G两条高，F和G分别是 DE和BC G中点，O是4ABC O外心.求证：AO /FGo逐咀：如I的1连接初泡晓， '/ZBBC=ZBECT j EG=BC j，*凶=3贰=窈又；DF=EF.+.DF±TE,延长口败口E于H 丁 ZBDC=ZBeC=O&

14、#39;.,历 C，E.n 四点共 /DEB=/DCE=a 上 AOE .史,.*0*=05,AZEAH=ZBAO=90' -ZA0B> ZEAH+ZAEH=90' 于是.JJ)±DEj 即口MLDE八地“FG题单1、若一个圆经过梯形 ABCD G四个顶点，则这个梯形是 悌形。分析:解：周经过梯形M的四个顶点FAZk*zc=i8aB .VAE/7EC,.ZktZB=180"，:赛形强是.等艘梯形.故答案为：寻要.2、如图，已知 ABC 中，/BAC 及0° ,AD ±BC, BEX AC,且 AD、BE 交于点 H,连接CH ,则/

15、ACH+ ZBAE= （提示：过 A作。O G切线交 BC G延长线于点F。）答案：90理由: 解二: ABC中,步式，ADXEC. IEXAC,.点M B、Ik E在以AB为直径的口上；过点也作由咖线AF交BC的延长端EC于点F.则APLAB.,点Mi三角龙AEC的垂心.A CH-LAB，“CH4AF ,，二乙KA二二CAF两直就平行内睛角相等1；兄=ZMF=1FA£+/CAS=9(T.,.ZBAC+ZJTA.=90* .故替案是：机T .3、如图，菱形 ABCD G对角线 AC和BD相交于。点，E, F, G, H分别是AB, BC,CD, DA G中点，求证：E, F, G,

16、H四个点在以 O为圆心G同一个圆上。分析:解：连接口如OF, OQj OH .:四边祸贴皿为疑 ."«AB=BC=CD=IAj 且即_Lm.昌G矽品的出BC. CD. 口侬中点， aoe=of=og=oh=1ab ,二EF.鼠H四点在以。为圆心,AE为半轻的回上.4、如图，正方形ABCD G中心为O,面积为1989cm 2°P为正方形内一点，且/OPB=45 0 ,PA: PB=5 : 14 .贝U PB=。（提示：连结 OA、OB）分析：42cm 。理由: 解：连接口人，08*.二正方龙kB皿的中心为山 rOFB=45D j Z0AS=ZCPB=45* f Z0

17、BA=45* > -Dj F，人，B四点共邮 AZm=ZAOB=iaOH -45-45" =90" 在A口中由勾股定理得：PA2+PB2=AB2=igag, 由于FA； FB=5 ； 14 J设凶=5x j rB=14i >C5«12+C。制，谢，解得：x=3 .".FB=14m=42 .故答案为；42cm、5、（2011山东济南中考压轴题） 如图，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合）, 分别以AC、BC为一腰在 AB G同侧作等腰 4ACD和ABCE, CA = CD,CB = CE, Z ACD 与/ BCE都是锐角，且/ ACD = / BCE,连接AE交CD于点M ,连接BD交CE于点N , AE与BD交于点P,连接CP。（1）求证：ACEDCB;（2）请你判断4ACM与4DPM G形状有何关系并说明理由；«3）求证：/APC = /BPC。分析:解：(1) 证：. /ACD =