含参数二次函数分类讨论的办法总结

1、次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略，它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类然后逐类解决问题.一般地，对于二次函数y=a (x m)2+n, x£ t, s求最值的问题 解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类t + sia is 一表示对御轴在区间it, s内且靠近区 表关对称轴在区间t,： t ：2：表示对称轴布区间I 3 s的左侧间即左端点，：表示对称由在区间内且靠遮区间的右端L悬s的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小

2、、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例1、求函数f(x) X2 2ax 3在x 0,4上的最值。分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值解：f(x) X2 2ax 3 (x a)2 3 a2.此函数图像开口向上，对称轴x=a、当a< 0时，0距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远,-x=0 时，ymin=3, x=4 时，ymax=19-8a、当0w a<2时，a距对称轴x=a最近，4距对

3、称轴x=a最远,- x=a 时，ymin =3-a2 , x=4 时，ymax=19-8a、当2w a<4时，a距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远,：x=a 时，ymin=3-a2 , x=0 时，ymax=3、当4Wa时，4距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远，-x=4 时，ymin=19-8a , x=0 时，ymax=3例2、已知函数f(x) ax2 (2a 1)x 3在区间3,2上最大值为1,求实数a的值2分析:取a=0,a为，分别化为一次函数与二次函数，根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.解:1)若 a=0,则 f(x)=-x-3,而询在 N上取不到最大值为1,.近

4、02)若a，则f (x)ax2(2a 1)x 3的对称轴为xo詈若f(2) 1,解得a m此时“ "za<0,f(x(o)为最大值，但f(空)120(II)若 f(2) 1 解得 a 3 此时 x0- 3,24323 0,x01距右端点2较远，f (2)最大值符合条件4 3(田)若f(x0) 1解得a 3 2衣 2当 a 3 2 - 0 时 x0272 4 -,222当 a 3 2衣 0 时 x0 2V2 4 3,2 22综收所述a 9或a3上直42评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。题型二：

5、“动区间定轴”型的二次函数最值例3.求函数f(x) x2 2x 3在x6 a,a+2上的最值。解：f (x) x2 2x 3 (x 1)2 2.此函数图像开口向上，对称轴x=1当a>1时，a距对称轴x=1最近，a+2距x=1最远, 当x=a 时，ymin =- a 2+3 ,x=a+2 时，ymax= a 2 +2a+3当0< awl时，1距对称轴x=1最近，a+2距离x=1最远,当x=1 时，ymin =2 ,x=a+2 时，ymax= a 2 +2a+3当-1 < a<O0t, 1距对称轴x=1最近，a距x=1最远,当 x=1 时，ymin =2 ,x=a 时，ym

6、ax =a 2 -2a+3当a1时，a+2距对称轴x=1最近，a距x=1最远，二当 x=a+2 时，ymin = a 2 +2a+3 ,x=a 时，ymax= a 2 -2a+3题型三：“动轴动区间”型的二次函数最值1例5、已知函数f(x) 9x 6ax a 10a 6在-,b上怛大于或等于0 ,其中头数3a 3,),求实数b的范围.分析：找出函数的对称轴：x a结合区间1,3讨论刍b或1旦b的情况3333 3a 21解：.f (x) 9(x -)10a 6,x -,b33若刍b时，f(x)在b上是减函数33.ymin= f(b) 9(b a)210a 6 即 9(b a)2 10a 6 m0

7、 则条件成立33令 u g(a) a2 (6b 10)a 9b2 6,a 3,)(I )当3b+5 <3时.即b 2则函数g(x)在上是增函数3Umin g(3) 9 18b 30 9b2 6即 9b2 18b 27 0 解得 b A3 或 b <-12 .,.b -,/b<-13，L、xfz一 c trn2(H)当 3b+5>3 即 b - ,Umin g(3b 5)30b 313若-30b-31 >0解得b 31与b Z矛盾； 303若 1 a b 时，yminf(-)10a 6 即-10a-6 >03 33解得a 3与a 3,)矛盾；5综上述：b<

8、;-1评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。最后，我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行.二次函数分类讨论补充习题1 .已知函数f x x2 2x 2,若x a, a 2,a R,求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。2 .已知函数f(x) x2 3,若f(x) 2kx 6在区间1,2上恒成立，求实数k的取值范 围。3 .已知k为非零实数，求二次函数y kx2 2kx 1, x ( ,2的最小值。4 .已知a 3,若函数f x x

9、2 2ax 1在1,3上的最大值为M a ,最小值为m a ,又已 知函数g a M a ma,求ga的表达式。含参数的二次函数问题练习题1、当1 x 4时，求函数yx2 4x 2的最小值。2、已知函数f x ax2 ax 1 ,若f x 0恒成立，求实数a的取值范围。3、当0 x 2时，函数f x ax2 4 a 1 x 3在x 2时，取得最大值，求实数a的取值范围。4、已知函数y x2 2x 3,在0 x m时有最大值3,最小值2,求实数m的取值范围。5、已知函数f x x2 2px 1 ,当x 0时，有f x 0恒成立，求实数p的取值范围。6、方程ax2 2x 1 0至少的一个负数根，求

10、实数a的取值范围。7、方程x2 ax a2 3 0的两根都在0,2内，求实数a的取值范围。、一238、万程x x k在1,1上有实根，求实数k的取值范围。9、已知f x 3x2 2tx t2,当1 x 3时，有f x 0恒成立，求实数t的取值范围。10、已知f x3x2 2x t ,当1 x 1时，有f x 0恒成立，求实数t的取值范围。11、已知f xx24ax 3a2,当 1 x 2 时，有 fx0恒成立，求实数a的取值范围12、已知f x 3x2 bx b ,当2 x 1时，有f x0恒成立，求实数b的取值范围。13、函数f(x) ax2 bx c(a 0)的图象关于直线x B对称。据此

11、可推测，对任意的2a非零实数a, b, c, m, n, p,关于x的方程mf(x)2 nf (x) p 0的解集不可能是A. 1,2B 1,4C 1,2,3,4D 1,4,16,64含参数的二次函数问题练习题答案：11、 ymin 2;2、4 a 0;3、a ；4、1 m 2; 5、 p 126、a 1; 7、百 a 2; 8、 k 5; 9、t 3或 t 9;16210、t 5; 11、2 a 1 ; 12、b 0;313、D13解析:设f x t则方程m f (x) 2 nf (x) p 0 ,可化为mt2 nt p 0 ,若此方程有两 个等根t0 ,则有f x t0 ,可以有选项A,

12、B,若mt2 nt p 0有两个不等根L2 ,则有 f xt1，f x1 642，t2 ；如图若f xt1的两根为Xi,X2, f x t2的两根为x3,x4,应有Xi,X2的中点与x3,x4中点应相同,即选项C符合要求，而选项D中节则不满足。故选D二次函数在闭区间上的最值、知识要点:一元二次函数的区间最值问题, 间的左边，中间，右边三种情况核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。般分为:对称轴在区设 f (x) ax2 bxc(a 0),求 f (x)在 x mn上的最大值与最小值。2,分析：将f(x)配方，得顶点为之等*、对称轴为x谭当a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合

13、可得在m, n上f(x)的最值：2(1)当 m, n时，f(x)的最小值是f -b-4ac b , f(x)的最大值是f(m)、f(n)2a2a 4a中的较大者(2)当-b m, n 时2a若 m ,由f (x)在m, n上是增函数则f(x)的最小值是f (m),最大值是f (n) 2a若n-b ,由f (x)在m, n上是减函数则f (x)的最大值是f (m),最小值是f (n)2a当a 0时，可类比得结论。二、例题分析归类：(一)、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(

14、2)轴定，区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数yx2 4x 2在区间0, 3上的最大值是 最小值是解：函数yx2 4x 2 (x 2)2 2是定义在区间0, 3上的二次函数，其对称轴方程是x 2,顶点坐标为(2, 2),且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0,3上，如图1所示。函数的最大值为f (2) 2,最小值为f(0)2。图1练习.已知2x2 3x,求函数f (x) x2 x 1的最值。解：由已知2x2 3x,可得0 x 3,即函数f(x)是定义在区间0, &#

15、176;上的二次函222数。将二次函数配方得f(x) x 13,其对称轴方程x 1,顶点坐标 1,0,24224且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间0,-内，如图2所示。函数f(x)的2最小值为f(0) 1,最大值为f - 更。242、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2.如果函数f(x) (x 1)2 1定义在区间t, t 1上，求f(x)的最小值。解：函数f(x) (x 1)2 1,其对称轴方程为x 1,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。如图1所示，若顶点横坐标在区间t, t 1左侧时，有1 t ,此时，当x

16、t时，函 数取得最小值f(x)minf(t) (t 1)2 1。图1如图2所示，若顶点横坐标在区间t, t 1上时，有t 1 t 1,即0 t 1。当x 1 时，函数取得最小值f (x)min f (1) 1。图2如图3所示，若顶点横坐标在区间t, t 1右侧时，有t 1 1,即t 0。当x t 1 时，函数取得最小值f (x)min f(t 1) t2 1(t 1)2 1,t 1综上讨论，f(x)min 1, 0 t 1t2 1t 0图82例3.已知f(x) x 2x 3,当x t，t 1(t R)时，求f(x)的最大值.解：由已知可求对称轴为x 1.2_f(x)min当 * 2忖3, f(

17、x)max f (t 1) t 2(2)当 t01wt 1,即 0&t01 时，.1根据对称性，若t"。即°a豚2时f(x)max f(t) t2 2t 3. 22t t 111若 22 即 20时，f(x)max f(t 1)召 2.(3)当t 1 体“ 0时，f(x)maxf(t) t2 2t 3综上，f(X)maxt2 2,t21t 2t 3,t 2观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情 况讨论呢这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的 的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函

18、数 是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有 可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的 顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当 然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 bf(n), n(如图3)2abbf ( ), m n(如图4)2a2ab f (m), 一 m(如图5)2a对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：b 1f(m), 一 (m n)(如图 1)当 a 。时 f(x)max2a 2f(x)minb 1f(n)(m n)(如

19、图2)2a 2b 1f(m),-(m n)(如图9) 2a 2.b1f(n)，一 一(m n)(如图 10)2a 2f(n), n(如图 6)2abb当 a 0 日寸 f (x)maxf( ), m n(如图7) f (x)min2a2af(m), m(如图 8) 2a3、轴变区间二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例4.已知x2 1,且a 2 0,求函数f(x) x2 ax 3的最值。解：由已知有1 x 1, a 2,于是函数f(x)是定义在区间1, 1上的二次函数,22将 f(x)配方得：f(x) x a 3

20、 42二次函数f(x)的对称轴方程是x羡顶点坐标为a, 3 4 ,图象开口向上由a 2可得x 21,显然其顶点横坐标在区间1, 1的左侧或左端点上。函数的最小值是f ( 1) 4 a,最大值是f (1) 4 a。图3例5. (1)求f(x) x函数y (x 2)2图象的对称轴方程为xr应分11号 1,11即2 a 2, a 2和a 2这三种情形讨论，下列三图分别为(1) a 2;由图可知 f(x)max f( 1)(2)2 a 2;由图可知 f(x)max f(2)(3)a 2 时；由图可知 f (x)max f (1)f( 1) , a 2(a 1) , a 22y最大f(二), 2 a 2

21、;即 y最大;，2 a 224f(1) , a 2a 1, a 24.轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二 次函数在动区间上的最值”。 2ax 1在区间-1,2上的最大值(2)求函数y x(x a)在x 1,1上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为x a,11 一当 a 3即 a 2 时，f(x)max f (2) 4a 5;1212当 a 1即 a 。时，f(x)max f( 1) 2a 2。 222a 2,a综上所述：f ( x )max4a 5,a例6.已知，求的最小值解：将代入u中，得，即时，即时，所以(二)、逆向型是指已知二次函数在某

22、区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。2例7.已知函数f(x) ax 2ax 1在区间3,2上的最大值为4,求实数a的值。解：f(x) a(x 1)2 1 a,x 3,2(1)若a 0, f(x) 1,不符合题意。(2)若 a 0,则 f(x)max f(2) 8a 1由 8a 1 4 ,得 a 38(3)若 a 0时，则 f(x)maxf( 1) 1 a332 x一 x在区间m,n上的最小值是3 m最大值是3 n ,求m, n的值。 2解法1 :讨论对称轴中1与m,m,n的位置关系。2f (n) 3nf (m) 3mm f(x)max f(1) 3n 中铲则，无解f (x) min f (

23、m) 3m3 , 综上知a 一或a8例8.已知函数f (x)若，则f (x)max f (x)min解得m若2若m 1S,则 f(X) 2 f(x)maxminf f(n)3n,无解3m若，则f(x)f(x)maxminf (m) 3n，无解f (n) 3m综上，m 4,n 0解析2 :由f (x)1 . 21 一 11 一 一-(x 1)不，知 3n -,n k ,则m,n(2226,1,又在m,n上当x增大时f(x)也增大所以f (x)max f (n) 3nf (x)min f(m) 3m解得m 4, n 0评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了 m, n的取值

24、范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。例9.已知二次函数f(x) ax1 ,综上，a 金或a解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能 (2a 1)x 1在区间 3,2上的最大值为3 ,求实数a的2值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分 a 0与a 0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了具体解法为：, 2a 1广(1)令 f( ) 3,得 a2a此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2,且 2(2)令 f(2) 3 ,得 a -2此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故432(3)若 f( -) 3,得 a 一23此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故-,2 ，故不合题意;221 “人 一a 一符合题意;22- a2符合题意。3在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。三、巩固训练1 .函数y x2 x 1在1,1上的最小值和最大值分别是()3 11(A)1 ,3(B)3 ,3(C)1