数分第一章第九节上确界和下确界

1、第一章实数和数列极限第九节上确界和下确界一、数集的界设E是一个由一些实数组成 的集合。定义设E是一数集。(1)如果存在一个实数 A ,使得 对任何xs E ,有x之A,则称A 是E的一个下界；(2)如果存在一个实数B, 使得对任何xw E ,有x< B ,则 称B是E的一个上界；(3)如果存在实数A和B, 使得对任何xs E ,有AxB , 那么E称为有界集。如果E不是有界集，则 称E为无界集。2*例如(1)E = n : n= N 显然A= 1是E的一个下界；一 2* E = - n : n" N ,B = -1是E的一个上界；(3) E = sin x: x£ R

2、,显然A= -1是E的一个下界；B= 1是E的一个上界；E是一个有界集。(4) E = x(1 - x):0< x< 1, 显然，A =0是E的一个下界； B= 1,由B 4是£的一个上界；E是一个有界集。1(5) E = nn :n N 匕显然，显然A= 1是E的一个下1 C界；我们知道，（1+1）n<3,所以，1c当nz 3时,有。+?< n ,于是，（n+l'n"1, 11即得，（n +1严1 < nn , （ n 之 3）,1所以，当nz 3时，nn是严格递11减的，n=33, （n 至 3）, 1111又2万< 33 ,

3、 1 < 33 ,故3是E的一个上界。（6） E = （-1）nn2:nw N*, 显然，E是一个无界集。二、上确界和下确界的概念彳艮明显，当E中的元素个数 为有限时，E是一个有界集合， 这时E中既有最大的数，也有最 小的数。当E中的元素个数为无限 时，E中未必有最大的数或最小 的数。例如 E= (0,1) = x:0< x< 1, E是一个有界集，但E中既没 有最大的数也没有最小的数。设E是一个非空的且有上界 的集合，B是E的一个上界。 很明白：一切不小于 B的实数都 是E的上界。这说明，E的全 体上界组成的集合是一个无限集 合。这个无限集合中，有没有最小的数呢？回答是肯定

4、的，这就 是所谓的确界原理。这个原理同 样也是实数连续性的一种表现。定义1.10设E为一非空的且有上界的集合，实数p满足以 下两个条件：(1) 对任何xw E ,有x0 ；(2) 对于任意给定的 2>0, 必可找到一个 X E , 使得x一；这时，称口为集合E的上确界,记为 ° = SupE。上确界的性质：(1)上确界P是E的一个上界；事实上，由定义1.10中的条 件（1）,知道°是E的一个上 界；（2） E的上确界口是E 的最小上界。事实上，由定义1.10中的条 件（1）,知道。是E的一个上 界；设B是E的一个上界，我 们断言，必有° ' B。假若

5、，> B, 对& 0 = B - B > 0 ,存在 xs0 E ,使得 x80 P ' 0 - B , 而这与B是E的上界矛盾。 故必有° v B。（证毕）（3）若E的上确界存在，则上确界必是惟一的。事实上，设0 1和0 2是E的 两个上确界。一方面， 由 3是E的 上确界，是E的一个上 界，得2；另一方面，由、是£的 上确界，1是E的一个上界，得0 2E1；故 3 - 2。(4)若是E的最小上 界，则B是E的上确界。事实上，显然p是E的一个 上界；假若不是E的上确界， 则存在某0 > 0 ,使得对任何 xw e ,有x< 

6、6; - % ,这表明 一 0也是E的一个上界， 一,0'，这与'是E的最 小上界矛盾。故0是E的上确界。类似于上确界的定义,可给出定义1.11设E为一非空的且 有下界的集合，实数”满足以下 两个条件：(1) 对任何X* E ,有X' ° ；(2) 对于任意给定的，>0, 必可找到一个yr E,使Ct + z 这时，称“为集合E的下确界， 记为仪=inf E。同样可知，E的下确界是 E的一个 下界； E的下确界 是E的最大的下界；若E的下 确界存在，则下确界必是惟 一的；E的最大的下界必是E 的下确界。上确界与下确界统称为 确界。三、一些具体数集的上确界

7、或下确界 例子(1) inf N* = 1 ；(2) inf(0,1)= 0, sup(0,1)= 1 ； 1*，(3) inf : n N = 0,1*sup : n N = 1nJl(4)infarctan x: xR= 一2suparctanx: xR二从上面一些例子可见， 集合E的上确界或下确界可 能在E中，也可能不在E中。显然，若集合E中有最大(或 最小)的数a ,那么supE = a(或 inf E = a )。若数集E的上确界和下确界都存在，则有inf E M x * supE , 对任何xe E o四、上确界或下确界的 存在定理我们有下列重要定理。定理1.13 （确界原理）非空

8、的有上界的集合必有上确界；非空的有下界的集合必有下确界。（证明思想，看一个社会选拔 （选举）现象的过程，先设定一 定的条件（上限、下限），使一些 人作为侯选人，其它的人不作为 侯选人；对侯选人进行投票，得 票过半数者作为下一次的侯选 人，票数不过半数去掉；若都不 过半数票，则要对全体进行重新 投票；然后再进行下一轮超过半 票数当选或都不超过半数时的规 则，如此进行下去，最后就会使 一人当选。某种体育比赛的半决 赛竞赛过程。淘金沙的过程，用 网眼大小不等的筛子，一次次筛 选，最后淘出金子。） 证明 我们先证明第一个论断。设非空集合E有一个上界'。任取一点xe E ,很明白，E的最小上界应

9、该在X中寻找。我们记a1 = x, bl =oab用aih的中点寸把这个区 间一分为二，先看右边那个闭区 间中有没有E中的点，若有E中 的点，将这个区间记为白, 否则将左边那个区间记为 口222。接着再把但222】用其中 点一分为二，先看右边那个小闭 区间，若其中有E中的点，把它 记为a3,b3,否则把左边那个小区间记作a3,b3。如此这般地继 续下去，我们得出了一列闭区间 套 In = anh , NN*,Il 口 I2 口 I 3 n并且x .11n |2n-i , n = N 0这个一列闭区间套In = an,bn, n£ N的其它两个重要的特征是：(1)在In = an,bn

10、右端点的右边再也没有E中的点；(2) In = an，bn总包含着 E 中的点，一切ne N* o根据闭区间套定理(或者在 此用Cauchy收敛原理)，存在 惟一的实数° , 使得In=1°我们来证明：口 = supE。注意，lim an lim bn p o n n.二n二任取cw E,由第一条性质可知： 对一切nw N*有c± bn , 令 n t 8 ,便得到c v b。这表明 °是E的一个上界；由于 I c=P _1 i m ,故对任给* > 0, n二存在一个N N* , 使得° -< aN ,在区间 In = aN,bN

11、】 中，依据第二条性质，一定有E中 的一点，记为d。因此， P _ 8 < aN V d。故P是E的上 确界。第二个论断可以先通过第 一个论断来证明。设E有下界m , 即对每一个xw E有 x之 m。今定义 F = -x:x£ E, 则因x± m ,所以-x* - m ,即 -m 是 F = - x: x E的一个上 界，根据第一个论断， F = x:x E有上确界,记 ° = supF ,现在很容易证 明 一0就是E的下确界。定理1.13也称为确界原 理，它也是实数连续性的一 种表现形式。这里的证明是利 闭区间套定理。其实单调有界原理，闭区间 套 定理，B

12、olzano Weierstass 定理（列紧性定理），Cauchy收敛原理，确界原理 都是等价的。确界原理是在理论上非常有 用，以后我们会多次用到。有了确界原理，我们很容易的 证明单调有界原理：“单调有界数 列必有极限”的定理。事实上，设%是一递增的数 列，且有上界，由 确界原理知 a = supan是存在的。一方面， an - a ,对一切n£ N*成立，另一 方面，对任给, > 0 , 一定有一个 aN (N w N )使得a < aN ,由数列 的递增性质，有a < aN < an ,对 n > N成立，即当n > N时，有 0。-烝一，这

13、正是 lim an = a。n二五、无界数集的上确界和 下确界的定义如果E是一个没有上界的 数集,我们定义supE= + 8 ;如果E是一个没有下界的数集，则规定 infE=-s 。当E是一个数列的时侯， supE= + 8等价于从这个数列中 可取出一个趋向于 +8的子列； inf E = - 8等价于从这个数列中 可取出一个趋向于- 8的子列。显然有sup- x : x三 Einf E , inf - x: xe E = 一 supE 。(上确界与下确界可以互相转换。)例1 利用Cauchy收敛原理证 明：单调有界数列必收敛。证明：设4单调有界，不妨设Xn单调增加。用反证法假定%不收 敛，则

14、由Cauchy收敛原理，4不是基本列，存在常数2 0 > 0 ,对任意正整数N (无论它多么大)，存在 mN En > N , (mN < nN),使得 XmN XnN ' * 0 ,于是令 N = 1,存在 mi,ni >1 (mi < n)满足 Xg - Xn,10 ,再令N = ni,存在 m2,n2 > ni(m2 V 1),Xm2 - XJz，0 ,一般地令N=nk.i,存在 mk,nk n-i (mk nJV - V 之名一xmk xnk 0 ,这样得到Xn的一个子列：X X X m2 , n2 , mk（它也是单增的）满足：Xmk -

15、9 ' , 0而有 Xnk 一 Xmk ' ' 0 ,nkXmk0 (k2,3，），21由此式递推可知:Xn-X0Xm<4-x k ； Xmi04- oo因而Xn无界，与条件矛盾，故xn收敛。例2设在数列an： N N*中， 既没有最大值，也没有最小值， 求证：数列an发散。（先直观想象出来。没大没小， 结果是乱套；群龙无首（官兵分 离，谁也控制不着，作鸟兽散）； 首尾不能相顾（乱成一团糟，构 不成战斗力；被各个歼灭。）证明 由于目既不是最大值， 也不是最小值，故存在正整数 mi,ni >1 ,满足 ami < ai < a' , an：n之叫中也没有最大值，存在 正整数电 > r ,满足 ai < am < an2, 这样继续选取下去， 于是存在子列%,满足 ai v an1 < an2<< ank < ank+<同理，由于an： n23中也没有最小值,存在子列amj满足< amk用 < amk<< am2 < ami < ai ；显然lim amk< ai Fim an"故数列 k 一-J 二a