几何证明—角平分线模型(中级)

1、几何证明一一角平分线模型（中级）【知识要点】1、角平分线：（1 ）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）；（2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一 条射线是一个角的角平分线）。2、角平分线常见用法（或辅助线作法）：垂两边：如图1，已知BP平分.ABC，过点P作PA _ AB，PC _ BC，贝U PA= PC。已知BP平分.ABC ,PA/ / AC，贝U AB 二 AP ;如图3,截两边：如图2，已知BP平分 MBN，点A BM上，在BN上截取BC二BA，则.：ABP CBP。+平行线t等腰三角

2、形:角平分线三线合一（利用角平分线 +垂线t等腰三角形）ABDC如图 5，已知 AD 平分 BAC，且 AD _ BC，贝U AB 二 AC , BD = CD。C(5)3、角平分线比例定理AB bd AB AC如图6, AD为 ABC的角平分线，则二竺 或AC CD BD CD(6)【经典例题】例 1、已知如图，：ABC 中，BC 二 AC , AD 平分.CAB，若.C=90求证：AB = AC CD ；C例 2、如图，在 Rt ABC 中，.ACB =90 , CD _ AB 于 D , AF 平分.CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F ,且EG / AB交CB于G。试求：CF与G

3、B的大小关系如何？B已知如图，-ABC 中，BC 二 AC，AD 平分 CAB，若.C =108，求证：A AC BD ；例4、如图：已知I是. ABC的内心，DI/AB交BC于点D，EI / /AC交BC于E。求证：. DIE的周长等于BC 。AD E例5、如图：已知在 ABC中，.ABC的平分线与 ACB的外角平分线交于点 D , DE / BC，交AB于 点E，交AC于点F，求证：EF二BE - FC 。M例6、如图，已知 ABC中.BAC =90 ：AB二AC,CD垂直于.ABC的平分线BD于D , BD交AC于E ,求证：BE =2CD 。【提升训练】1、如图，已知，ABC的周长是2

4、1,OB,OC分别平分 ABC和ACB，OD BC于D，且OD =3，求ABC的面积.2如图， ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则Sa ABO : SA BCO :Sa cao=3.如图，/ AOB=30° , OP 平分/ AOB , PC/ OB ,4 如图，AD是厶ABC的角平分线, EDF的面积.DF丄AB，垂足为 F, DE=DG , ADG和厶AED的面积分别为 50和39,求5.已知如图在 ABC中，/ ACB=90° , CD丄AB于D，/ A的平分线交 CD于F, BC于E,过点E作EH丄AB 于 H .求证：

5、EC=CF=EH .6已知：如图，平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E, F, G, H，求证：四边形 EFGH是矩形.DCBE 求证： ACD BCE ;延长BE至Q，P为BQ上一点，连接 CP、8如图，已知在 ABC中, 个距离是多少？7如图，等边 ABC中，AO是/ BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在 CD下方作等边 CDE , 连接(1)(2)Q/ B=90°，两直角边 AB=7，BC=24，在三角形内有一点 P到各边的距离都相等，则这9.已知：如图在 ABC 中，/ C=90，AD 平分/ BAC，交 BC 于 D，若 BC=32，且 BD : CD

6、=9 : 7,求：D 到AB边的距离.C10 如图， ABC中，点D在BC上，记 ABD的面积为Si， ACD的面积为S2，若Si:S2=AB : AC ,贝UAD是厶ABC的角平分线.请说明理由.11、如图，已知在=ABC中，分别以AC, BC为边向外作正=BCE、正二ACD， BD与AE交于M，求证:(1) AE=BDo( 2) MC 平分.DME。E12、已知：如图， AP、CP分别是；ABC外角.MAC和.NCA的平分线，它们交于点 P，求证：BP为 MBN的平分线。N13、如图， AB =2AC,. BAD =/DAC, DA =DB，求证：DC _ AC。C14、如图，已知 AC

7、/ BD、EA、EB分别平分 CAB和 DBA,CD过点E ,求证：AB = AC - BD 。D15、如图，ABC中，AD是.A的平分线，E,F分别为AB, AC上一点，且 EDF， BAF = 180 ,求证：DE = DF。16、已知：AC 平分.BAD , CE _ AB，乙 B ND =180，求证：AE = AD BE。17、已知，在 ；ABC中，BP、CP为角平分线，过 P点作EF/BC交AB于E，交AC于F。 求证：EF = BE CF。18、已知如图， AD平分 BAC，AC=AB BD，求证：B =2 C。119、如图，在四边形 ABCD中，AC平分.BAD，过C作CE _

8、 AB于E，并且AE (AB AD)，求2证： ABC ADC =180。DA20、已知.ABC中，AB = AC , GE过A且GE BC , £ B的平分线与 AC和GE分别交于D、E, £ C 的平分线与 AB和GE分别交于F、G。求证DE=FG 。121、如图，已知线段 AB / CD , AD与BC相交于点F , BE平分.ABC , AE二一AD，猜想线段 AB、2BC、CD三者之间有怎样的等量关系 ？请写出你的结论并予以证明。22、如图，已知 ABC 中，CE 平分 ACB，且 AE_CE , AED CAE =180，求证：DE/BC。23 .如图所示，在四

9、边形 ABCD中，/ A=90° AD=4，连接 BD , BD丄CD，/ ADB= / C.若P是BC边上一动 点，贝U DP长的最小值为 .24 如图所示，过线段 AB的两个端点作射线 AM、BN，使AM II BN，/ MAB和/ NBA的平分线交于点 E，过 点E作一直线垂直于 AM，垂足为点 D，交BN于点C (1) 观察DE、EC,你有什么发现？请证明你的结论；(2) 请你再研究 AD+BC与AB的关系，并给予证明.25 .已知:如图所示，AQ，BM，CN是厶ABC的三条角平分线试说明AQ，BM，CN交于一点.26 .如图， ABC 中，/ C=90，AD 是角平分线，

10、AC=8，AD= '，求/ B、BC、AB .27 如图，已知/ BAC=90°，AD 丄 BC 于点 D，/ 1 = / 2，EF II BC 交 AC 于点 F.试说明 AE=CF .28 .如图，已知点 B，C分别在射线 AN，AM 上，/ MCB与/ NBC的平分线交于点 P.(1)求证：AP 平分/ BAC ;(2)若/ ACB=90 ，PC=4 迈，PB=5，AB=7，求 AP 的长.29 .如图， ABC 中，AC=BC , AD 平分/ BAC，若 AC+CD=AB，求/ C 的度数.30 .如图，在 ABC中，/ C=90°，M为AB的中点，DM丄

11、AB，CD平分/ ACB，求证：MD=AM31 如图， ABC中，D为BC的中点,DE丄BC交/ BAC的平分线于E，EF丄 AB，交 AB 于 F，EG 丄 AC，交AC的延长线于 G,试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论.32 已知：点 P为/ EAF平分线上一点， PB丄AE于B，PC丄AF于C,点M、N分别是射线 AE、AF上的点，且 PM=PN .(1) 当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时(如图1)，求证：BM=CN ;(2) 在(1)的条件下， AM+AN= AC ;(3) 当点M在线段AB的延长线上时(如图 2),若AC : PC=2 : 1，PC=4，求四边形 ANPM的面积.33 .已知：/ DAB=120° , AC 平分/ DAB，/ B+ / D=180° .(1) 如图 1,当/ B= / D 时，求证： AB+AD=AC ;(2) 如图2,当/ BZ D时，猜想(1)中的结论是否发生改变并说明理由.34、如图，已知