2015清华大学自主招生试题(含答案)

1、2015清华大学自主招生试题（含 答案）一、选择题1.设复数z=cos| +isin |，则三 宀=()(A)0 (B)1 (C)|(D)32.设数列an为等差数列，p,q,k, l为正整数，贝“p+qk*”是apaqaka”的()条件(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充要(D)既不充分也不必要3.设A B是抛物线y=x2上两点，O是坐标原点，若OA丄OB,则()(A)|OA|OB|2(B)|OA|+|OB|22(C)直线AB过抛物线y=x2的焦点(D)O到直线AB的距离 小于等于12015清华大学自主招生第2页共18页4.设函数f(x)的定义域为(-1,1)，且满足：f(x)0,x(-1

2、,0):f(x)+f(y)=f(),x、y(-1,1)，则f(x)为1 xy(A)奇函数(B)偶函数(C)减函数(D)有界函数2015清华大学自主招生第3页共18页f(x)=b恰有三个不同实根，则0b2e8.已知A=(x,y)已知AnB=(A)0a2b2 (D)若方程2015清华大学自主招生第4页共18页9.已知非负实数x,y,z满足4x24y2Z2+2Z=3,则5x+4y+3z的最小值为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列an的前n项和为Sn，若对任意正整数n,总存在正整数m使得Sn=am，则()(A)a”可能为等差数列(B)an可能为等比数列(C)a”的任意一项均可写成a

3、n的两项之差(D)对任意 正整数n,总存在正整数m使得an=Sm11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜 测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道 的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手 中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手 都不可能获得第一名比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )(A)甲(B)乙(C)丙(D)丁12.长方体ABCDzcp中，AB=2 AD=AA1=1，则A到平面ABD的距离为()(A)3(B) | (C)手(D)于13.设不等式组|x|2|yk2d)所表示的区域为D其面积为S,y 2 k(x 1

4、)2015清华大学自主招生第5页共18页则()(A)若S=4,则k的值唯一(B)若S=1，则k的值有2个(C)若D为三角形，则0k414.ABC的三边长是2,3,4，其外心为O则uuu uuu uuu uuu uuur uun OA AB OB BC OC CA=(A)0(B)-15 (C) -21(D) -f15.设随机事件A与B互相独立，且P(B)=0.5，P(A-B)=0.2，则()(A)P(A)=0.4 (B)P(B -A)=0.3 (C)P(AB)=0.2(D)P(A+B)=0.916.过厶ABC的重心作直线将ABC分成两部分，则这两部分的面积之比的()(A)最小值为4(B)最小值为

5、半(C)最大值为3(D最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则 不同的选法有()(A)105种(B)225种(C)315种(D)420种18.已知存在实数r，使得圆周x2y2r2上恰好有n个整点,2015清华大学自主招生第6页共18页则n可以等于()(A)4(B)6 (C)8 (D)1219.设复数z满足2|z|z-1|，则()(A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为1(C)z的3虚部的最大值为？(D)z的实部的最大值为13320.设m,n是大于零的实数，a=(mcosa,msina),b=(ncosp,nsin卩)，其中a,卩0,2n)a,卩0,2n)定义向量

6、r1r1、a空=(.mcos,. msi n),b2=(n cos,、n si n)，记9=a-0，则()r1r1rr1r1r1r1(A)a2a2=a(B)a2b2=. mn cos?(C)| a2b2|24 . mnsin2：r1r1(D)| a2b2|24 . mn cos221.设数列a”满足：&=6，an 1，则()(A)? nN?,an(n 1)3(B)? nN?,a”半2015(C)? nN?,an为完全平方数(D)? nN?,即为完全立方数22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有2015清华大学自主招生第7页共18页( )(A)p=1 (Bipry1 (C)p=

7、(D)cos sin2 sin2 cos123.设函数f(x)，则()x x 1(A)f(x)4(B)|f(x)|cosB (B)tanAcotB (C)a2b2c2(D)a3b3c325.设函数f(x)的定义域是(-1,1)，若f(0)=f (0)=1，则存在 实数(0,1)，使得()(A)f(x)0，x(-,3)(B)f(x)在(-S,S)上单调递增(C)f(x)1，x (0,)(D)f(x)1，x(-,0)26.在直角坐标系中，已知A(-1,0)，B(1,0).若对于y轴上的任意n个不同的点Pk(k=1,2,n),总存在两个不同的点P,P，使得|sinZAPB-SInZAPJB| -，则

8、3n的最小值为()(A)3 (B)4(C)5(D)627.设非负实数x,y满足2x+y=1,则x+x2y2的()2015清华大学自主招生第8页共18页(A)最小值为4(B)最小值为2(C)最大值为155(D)最大值为唁28.对于50个黑球和49个白球的任意排列(从左到右排成一行)，则()(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多(B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个(D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从123,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不 同的五位数有()(A)300个

9、(B)450个(C)900个(D)1800个30.设曲线L的方程为y4(2x22)y2(x42x2)=0，贝( )(A)L是轴对称图形(B)L是中心对称图形(C)L? (x,y)Ix2y2c1 (D)L ? (x,y)I-jy2J#An swer#2015清华大学自主招生第9页共18页1.【解析】号有关，答 案(A),|OAI |OB|=、X12(1 X12) 12(1 12)=*1xj121AVX1X1vX1J2 21X11=2,正确；答案(B),|OA|+|OB|A2 .|OA| |OB|A2222,正确；答案(C),直线AB的斜率为J=X2X1=X1丄X2XX-I方程为y-xi2=(xi

10、丄)(X- xj,焦点(0, )不满足方程，错X|4误；答案(D)，原点到直线AB(为丄)x-y+仁0的距离xid= 1f (X2)f(x)J,(C)正2015清华大学自主招生第11页共18页面积为2、3。选BCD3第12页共18页2015清华大学自主招生7.【简解】f(x)=(x+3)(x-1)e,f极大(x) f ( 3)3,f极小(X)f-2e,作出其大致图象，如图选BD8.【解析】已知即半径相等的两圆。O：x2y2r2与OC：(x a)2(y b)2r2交于相异的两点酥,力)、卩2区小)。0|OC|2|r|0a2b20 x2y24,d=5x+4y+3z=5x+4y+61 x2y2-3,

11、设x=rcos0,y=rsin0,第13页共18页0, -,r0,子2015清华大学自主招生第14页共18页d=r(5cos0+4sin0)+6rv-3=r29sin(0+arctan5)+6，厂7-344叶6 rv-3=2(2叶3 TV)-3,设；=(2,3)=(r, TV)d2：b-3=2i；iibicos(a,b)-3=2J3cos(a,b)-3,作图知(a,b)最大值是b与OY夹角，此时d2333-3=3。选Cv1310.【解析】答案(A)，常数列0,0,0， 满足要求；答案(B),公比q=1时因na1工a1,结论假，q工1时，(C),anSnSm=am&,满足要求；答案(D)

12、,a”=Sm=a0时，S单调增，梯形P2ABC面积为284,故S=4只有5一解，(A)正确；RABAP3P4D的面积分别为4、1,5都比1大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为1的直线，(B)正确；k0时，围成的仍然是三角形，(C)错误；围成五边形， 斜率大于直线PC的斜率4,(D)正确。 选ABD14.【简解】取AB的中点D,则OA AB=OA,等号成立当且UUUUULTUULT1UUUX)xAB+XyAC,乂AG=丄AB1uuir+3A第19页共18页加设此点为A,从A逆时针方向的点依次记为第20页共18页2015清华大学自主招生Ak(k=1,2,3,7),顺时针方向的顶点依次记为Ak(

13、k=1,2,3,7)，AnAAm要构成以A为钝角的钝角 三角形，则n+mC7,有1+2+3+- +6=21个。于是共可 构成15X21=315个钝角三角形。选C18【简解】正数点关于x轴、y轴对称，故一定是4的 倍数。选ACD19.【简解】设x=x+yi(x,yR),代入化简得到(x $ y29,39表示以(-,0)为圆心，以|为半径的圆及其内部，根33据图形，选ACD1 120.【解析】A A 是一个数值，不是向量，(A)错;r1r1_ _ _a2b2=. mn cos cos+ .mn sin sin Jmn cos-2 2 2 2 2r1r1_ _| a2b2|2(imcosn cos)

14、2+(.ms inn sin )2=m + n-2mnCOS-2 2 2 2 2m+n-2而cos 2而(1-cos -) 4 .mnsin2：, (C)正确；同理(D)正确选BCD21.【简解】 也n 3,迭乘得到an(n+2)(n+1)n;ann、mn cos?, (B)正确;第21页共18页an(n 1)3n(n+2)(n 1)2,(A)正确；20155X13X31，不 可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数 积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)错误。选AB2015清华大学自主招生22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1,表示直线；(B)为p= 表示椭圆；

15、(C)为p12cos(2)i=表示椭圆；(D)为p=1表示双曲线。选1 2 cos1 2cos()BC23.【解 析】f(x)30,g极，小值(x)=g(1)=0,(A)正确；if(x)iW5|x| |sinnx| A-B sinAsin( -B)=cosB,tanAtan( -B )=cotB,(A)(B)正确；锐角三角形，一定有a2b2c2,(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角 形条件，但0.530.930.8540,存在50,当第22页共18页|x|5时，I 3迴-1|&x(1-&)+1f(x)0,知在02015清华大学自主招生附近存在区间，f(x

16、)0,(B)正确； 对于函数y=x+1,(D)不正确。总之，选ABC26.【解析】将所有的|sinZAPB-Sin/APB|，按从小到大排序，共有cn个，其中最小者不大于1，最大为2,3于是fc；2,n的最小值为4.选B327.【解析】设x=rcos0,y=rsin0,0 E0, -.2x+y=1r=，x+C =rcos0+r=竺1,记作T;去分母得到Tsin0+(2T-1)cos2cos sin0=1,T2(2T 1)2sin(0+arctan辛)=14,等号成立当且仅当0+arctan=05T+arctan寸=孑，(A)正确；当0=0时T=2，0=?时T=1, 最大值为2，(C)正确。选AC28.【简解】黑球先放好，放白球，选A29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来， 有C/种方