抛物线的简单几何性质练习题

1、课时作业（十三）学业水平层次一、选择题1 .已知点R6, y）在抛物线y2=2px（p0）上，若点P到抛物线 焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于（）A. 2 B . 1 C . 4 D . 82 P 一， _【解析】 抛物线y =2px（p0）的准线为x=2,因为R6 , y） 为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所 以6+p= 8,所以p= 4,即焦点F到抛物线的距离等于4,故选C.【答案】C2. （2014 成都高二检测）抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛 物线上的动点，点M为其准线上的动点，当 FPMfe等边三角形时， 其面积为（）A. 2V3 B

2、 . 4 C . 6 D . 4V3【解析】据题意知，ZFP岫等边三角形，|PF=|PM=|FM,2.PML抛物线的准线.设 P：, m,则M 1, m,等边三角形边长2 2为 1 + ?,又由 F1,0） , |PM = |FM, 得 1+m=q1+12+ m,得 m= 2g3, .等边三角形的边长为4,其面积为4m，故选D.【答案】D3 .已知抛物线y2 = 2px（p0）,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为（）A. x= 1B.x= 1C. x= 2D.x= 2【解析】 设A(xi, yi) , B(x2y ，代入抛物线方程

3、得:2yi = 2pxiy2=2px2一得,(y1+y2)( y1一y2) = 2p( xi。).y1一y2 2p p又. y1 + y2=4，:必一x2 = 4 = 2 =k= 1,p= 2.所求抛物线的准线方程为x=-1.4. （2014 课标H ）设F为抛物线C: y2 = 3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A, B两点，则|AB=()B . 6 C . 12 D . 7v3【解析】 焦点F的坐标为4, 0 ,直线AB的斜率为坐，所以 43直线ab的方程为y=* x-4 ,3一 3即 y= 3x- 4/日 1 2 73信 3x2x+花=o,、一i21设 A(xi, yi) , B

4、(X2, y2),则 x + x2=2,.3 21 3.所以 | AB| =Xi + X2 + 2=2 + 2= 12,故选 C.【答案】C二、填空题5. .抛物线y2 = x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为【解析】 设抛物线上点的坐标为(x, 士亚,此点到准线的距 离为x + 1，到顶点的距离为 而工Vx2,由题意有 x+1 = /x2+6 2, ：x=8，：y=*，二止匕点坐标为 8，士乎.【答案】1, 土当6. (2014 临沂高二检测)直线y= kx+2与抛物线y2=8x有且 只有一个公共点，则k=.【解析】 当k=0时，直线与抛物线有唯一交点，当 k?0时， 联立方程消 y 得

5、k2x2 + 4(k 2)x+ 4 = 0,由题意 A = 16(k-2)2-16k2 =0, - k= 1.【答案】0或17. (2014 湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=1的距离相等.若机器人接触不到过点P( 1,0) 且斜率为k的直线，则k的取值范围是.【解析】设机器人为A(x, y),依题意得点A在以F(1,0)为焦点，x=1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2=4x.过点R 1,0),斜率为k的直线为y = k(x+1).t y2=4x,2由得 ky4y+4k= 0.y = kx+ k,当k=0时，显然不符合题意；2.当 kO 时，依题意得

6、 A =( -4) -4k - 4k0,解得k1或k0),设 A(x0, y(0,由题知 M0, p. IAF=3，.+,=3， | AM= 17,.X2+ y0+p2=17,.x0=8,代入方程x2 = 2py。得， p ，i8=2p3 2 ,解得 p=2或 p= 4.所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2 = 8y.9 .已知直线l经过抛物线y2 = 6x的焦点F,且与抛物线相交于A, B两点.若直线l的倾斜角为60。，求| AB的值;(2)若|AB=9,求线段AB的中点M到准线的距离.【解】(1)因为直线l= 3.的倾斜角为60 ,所以其斜率k=tan 603 3又f3, 0 ,所以直线

7、l的方程为y=V3 x-万.y2=6x,联立3y=#3x 2 ,09消去y得+70.设 A；Xi, y1)，B(x2, y2),则 xi + X2=5,一p p而 | AB = | AF| +1 BF =Xi + 2 + X2 + 2 = Xi + Xz+ p,所以 | AB =5+3=8.(2)设A, y。, B(X2, y2),由抛物线定义知| AB = | AF + | BF =Xi + X2+ p= Xi + X2 + 3,所以 Xi + X2 = 6,于 是线段AB的中点M的横坐标是3.3 3 9又准线方程是x= 3,所以M到准线的距离为3+3 = 9.能力提升层次1. (2014

8、湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线x2= 2py( p0) 的焦点为F,过F作倾斜角为30的直线与抛物线交于 A B两点， MAFAF右丽6(0/)，则丽=()【解析】因为抛物线的焦点为F0, p,故过点F且倾斜角为30的直线白方程为y=x + p,与抛物线方程联立得x2-2Ppx- 323p2=o,解方程得xa=一半p, xb= q3p,所以空=产|=；,故选c. 3| BFf | Xb| 3【答案】 C2. (2013 大纲卷)已知抛物线 C y2=8x与点M 2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A B两点，若MA MB= 0,则k =()D . 2【解析】 由题意可知抛物线的焦点

9、坐标为(2,0),则过焦点且 斜率为k的直线的方程为y=k(x2),与抛物线方程联立，消去 y 化简得 k2x2(4k2+8)x + 4k2=0,设点 A(x1，yi), B(x2, y?),则 xi+ x2=4 + , xx2 = 4, 所以 y + y2= k（x + x2） 4k=, yy2=k2xix2 kk-2(xi + x2) +4 =16,因为 MA MB= 0,所以(xi+2)( xz+2) + (yi2)( y22)=0(*),将上面各个量代入(*),化简得k2 4k + 4=0, 所以k= 2,故选D.【答案】D3 .抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x

10、y=1 3 3相交于A, B两点，若 ABF为等边三角形，则p=.【解析】 由于x2 = 2py( p0)的准线为y=p，由y=-px2y2=3,解得准线与双曲线x2 y2=3的交点为A - 13+4p2 , -p , B 3I4+P , 一 p 所以 AB= 2，3+4p2.由ABF为等边三角形，得 喙AB= p,解得p= 6.【答案】64 .已知抛物线x= y2与过点(1,0)且斜率为k的直线相交于 A, B两点，O为坐标原点，当 OAB勺面积等于 师时，求k的值.【解】过点( 1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),x= y2,2由方程组 1, 消去x,整理得ky2 + y-k=0,y=k x+1 ,设A(xi, y