工科数学分析：4-1-3-4-一阶方程续

1、一阶线性微分方程的一般形式为： )()(xQyxPy 其中)( ),(xQxP为连续函数。 若0)( xQ，则称 0)(yxPy 为一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程；为一阶线线性性非非齐齐次次方方程程。若0)( xQ，则称 )()(xQyxPy 通常称方程为方程所对应的线性齐次方程。（一一）一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程的的解解法法, 0)(yxPy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,)(ln1CdxxPy,1)(CdxxPey即dxxPCeey)(1， 令1CeC，得方程的通解： dxxPCey)( 。 （二二）一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程的的解解法法)()(xQyxPy 所

2、对应的齐次微分方程为 0)(yxPy 1常数变易法常数变易法及其导数dxxPdxxPexPxCexCy)()()()()( 代入方程，则有 dxxPCey)(是方程的通解，将xC 变易为的 待定函数)(xC，猜想dxxPexCy)()(是的解。 将 dxxPexCy)()( ),()()()()()()()()(xQexCxPexPxCexCdxxPdxxPdxxP),()()(xQexCdxxP,)()()(dxxPexQxC)()()(CdxexQeydxxPdxxP CdxexQxCdxxP)()()(， 把代入中，即得方程的通解： 这种将对应的线性齐次方程通解中的任意C 常数变易 为待

3、定)(xC函数，再通过)( xC确定来求得线性非齐次 方程通解的方法，称为常常数数变变易易法法。 由上述通解公式知： 非齐次线性方程的通解非齐次线性方程的通解 齐次方程的通解非齐次方程的一个特解齐次方程的通解非齐次方程的一个特解。xxyxysin1， xxP1)(， xxxQsin)(， sin11Cdxexxeydxxdxx1sin1 cos.xxdxCxCxxx令xxCy)(，则得2)()(xxCxxCy，代入原方程得 xxxxCxxCxxCsin)()()(22， xxCsin)(，CxxC cos)(， 原方程的通解为)cos(1Cxxy。 例 3求方程0)(4ydxdyyx的通解。

4、其中 yyP1)(，3)(yyQ，代入通解公式，得 313131CyyCdyeyexdyydyy， 故原方程的通解为Cyyx431。 分析分析：若仍把当作自变量x，把当作y未知函数， 由于方程中4y含有，则它不是线性方程，为此， 可把yx当作是的函数。 解：dyyxydx)(4， 130( )( )(),( ).xf xxf xf xt dtxf x设设连连续续, ,且且求求例 ,)()( )(1110 xxxduufduuftxudttxf令令31)()(xduufxxfx则则23)()()(:xxfxf xxf求求导导得得xyxy3211xy且且43134222CxxCdxxeeydxxd

5、xx4111Cyx由由244241341431)(xxxxxf故故1 1齐齐次次微微分分方方程程的的一一般般形形式式： )(xydxdy 若当0t时，有),(),(yxftytxf 则称方程),(yxfdxdy为齐次方程。 在中令xt1，得)(), 1 (),(xyxyfyxf，故 齐次方程的形式为 )(xydxdy (1 lnln ) (1 ln) dyyyyyxdxxxx都是齐次方程。2 2齐次微分方程的解法齐次微分方程的解法在)(xydxdy中，令uxy， 则xuy，dxduxudxdy， 代入原方程得: )(udxduxu， 即 uudxdux)( ，为可分离变量方程。 yux求出通解

6、后再回带 2( ) ,1 2( )yydyxxydxx例 4求方程0)(22dyxyxdxy的通解。 令uxy，则 uxy，dxduxudxdy，代入原方程得 12uudxduxu， 例 5求yxyxy的通解。 解：xyxyy11， 令uxy，则 uxy，dxduxudxdy， 代入原方程得：uudxduxu11， 将xyu代入，得原方程的通解： xdxduuu211令nyz1，得 )()1 ()()1 (xQnzxPndxdz， 除用 ny方程两端，得到)()(1xQyxPdxdyynn， dxdyyndxydnn)1 ()(1， 有)()()(1111xQyxPdxydnnn， 求出通解后

7、，再用zyn代替1，便得伯努利方程的解。 解：把方程yxxydxdy4改写为 yxyxdxdy4，这是伯努利方程，且21n。 令yz或2zy，则有dxdzzdxdy2， 代入原方程，得zxxzdxdzz242， 即22xxzdxdz，这是线性方程。 例 5求方程yxxydxdy4的通解。 222Cdxexezdxxdxxln212Cxx， 即22xxzdxdz，这是一阶非齐次线性方程。 把2zy代入，得原方程的通解：24)ln21(Cxxy。 xxdttxftxdttf00)( )(，求)(xf。 解解：令utx，则方程化为 xxxduuufduufxxdttf000)()()(， 两边求导对

8、 x，得xduufxf0)(1)(， 再求导对 x，得)()(xfxf， 0( )1( )0(0)1xfxf u duxf在中令( )( )0(0)1 fxf xf于是得初值问题： ( )xf xe解：令yxu，则uxy，uy 1， 代入原方程得：uusin1，即udxdusin1， 其它换元法举例其它换元法举例Cxyxyx)sec()tan(。 uxy 回带 ，得原方程通解为（1）0) 1(2)22(22dyydxyxyx； 分分析析：观察方程，发现dy前的因子) 1(2y恰与 yy22有导数关系，故令yyz22。解：令yyz22，则dyydz) 1(2， 原方程改写为0)2(2dzdxzx

9、x， )2(2xxzz， )2(2Cdxexxezdxdx)2(2dxexxCexx222)2(xCeexCedxexxCexxxxx， 把yyz22代入，得原方程的通解： xCeyyx222。 （2）2lnxyyxyy. 解：将方程改写为21ln11xyxyy， 令zyln，dxdzdxdyy1， 则有211xzxz，这是一阶线性微分方程。 其通解为)ln(1xCxz， 将yzln代入，得原方程的通解：)ln(1lnxCxy。 分析分析：这个方程不是齐次方程，它与齐次方程的差别在于分子与分母多了常数项，为了消去常数项，通过一种变换，使新的表达式中不出现常数项，借用平面解析几何中坐标平移的思路可解决这个问题。解：令hux，kvy， 则1515kvhukvhuyxyx， 令230105khkhkh。 3ux，2vy， dudx，dvdy。 其解由例 5 可得22arctanvuCeuv ， 32 uxvy回带，得解：设跳伞员下落速度为)(tvv。 跳伞员所受的外力等于重力和阻力之和，重力 的大小mg 为，方向与速度的方向一致；阻力的大 小kv 为，方向与速度的方向相反，故所受外力为 kvmgF， 由牛顿第二定律可知， kvmg