工科数学分析习题课课件：8中值定理--等式的证明

1、等式证明等式证明 等式证明的基本定理等式证明的基本定理,)b,a(,b,aC)x(f可可导导且且在在、若若 2 ,)b(f)a(f,b,aC)x(f01 、0 )(f)b,a(使使则则)b(f)a(f 0 x| )x(f即即,)(f)b,a(0 使使则则,b,aC)x(f 、若若3 上上可可导导，在在、若若)b,a(,b,aC)x(g)x(f 4，则则)b,a( 可可导导，且且在在)b,a(ab)a(f)b(f)(f 使使)( g)( f)a(g)b(g)a(f)b(f)b,a( 使使，则则,)x( g),b,a(x0 且且, 01,x 例例: :求求证证: :对对一一.计算问题计算问题1.x

2、xee 使使得得)1)(0()(,xxxxxx2110 证明：证明：设设例例1.( )0,1(0,1),f xC例例设设，在在上上可可导导1( )1,2f(0)(1)0,ff:(0,1)()1f 求求证证使使二二.证明问题证明问题02 )x( g,b ,aD)x(g)x(f、例例)x(g)x(f)x(f )b(g)x(g)a(f)x(F )( g)( f)b(g)(g)(f)a(f)b ,a( ，使使求求证证)b(F)a(F 可可以以验验证证3( ) , ,( , )f xC a ba b例例在在上上可可导导）（xfxxab)a(fa)b(fb)x(F ( , )a b 求求证证使使( )(

3、)()()bf ba f affba )b(F)a(F 可可以以验验证证,b,a,b,a)x(f05 上上可可导导在在例例使使求求证证)b,a( )(f)( fba)b(f)a(fab 16() ,( ,)fxC a ba b例例， 在在上上 可可 导导( )( )()ln()lnlnf bf aFxxfxba令令( ,)a b 求求 证证 使使( )( )()lnbf bf afa (0)ab7()0,(0,),22f xC 例例，在在上上可可导导0 xtc)x(f)x( fo分分析析xsin)x(f)x(F 令令0 xcos)x(fxsin)x( f(0,)2 求求证证()0,2f ()(

4、) ctg0ff 使使)(fn)( f)( 求求证证例例18)( f)(kf)( f)( 求求证证203 )( g)(f)( f)(求求证证k)x)(x(f)x(F 1令令)x(fx)x(Fn 令令)x(ge )x(f)x(F 令令 9 .设函数)(xf在ba,上连续 ，证明在ba ,内至少存在一点,使),(ba内可导，在1)(f，且且babafabfaf)(,)()(2211004010)()(,)(ffxf上有二阶导数在设例有有根根需需证证析析分分31 )x( f)x( g0021 )( ,)( gg,cx)x( f)x( 131 g21261cxcx)x( f)x( g.c,c)(002

5、2 取取gxx)x( f)x(67612 g令令,)(,)(,)(040100 ggg314024 )(f),()(f使使。求求证证.c,)(67011 必必有有要要使使 g0 )( g,b,a)x(g)x(f上上有有二二阶阶导导数数在在、设设例例 11有有根根分分析析0 )x(f)x(g)x(g)x(f0 )x(g),b,a(x)(1求求证证)(g)(f)(g)(f),b,a( 使使）（2),x( f)x(g)x( g)x(f)x(F 令令0 )b(F)a(F可可以以验验证证：，0 )x(g0 )b(g)a(g)b(f)a(f上有二阶导数，上有二阶导数，在在设设例例,)x(f.1012，证明

6、：存在证明：存在),(10 ，且且001 )(f)(f.)(f)(f 12使使).()()()(gfgf13 .设函数)(),(xgxf在,ba上连续，证明在ba ,内至少存在一点,使,)(,)()(,)()(0020 xgbaxbafafbfaf且且),(ba内可导，在14.分析分析5.6.17.18.( )0, 1(1)1(0)0f xff设设在在上上可可导导，且且，),)(定定理理上上分分别别用用与与在在对对Lxf10，存存在在的的正正数数证证明明：对对所所有有满满足足,1.)()(),(110ff，使使，相相异异的的19.19. 设函数设函数)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(

7、ba内可导，内可导， 且且baf )(，abf )(. . 证明： （证明： （1 1）至少存在一点）至少存在一点),(bac ，使得，使得ccf )(； （2 2）至少存在互异的两点）至少存在互异的两点),( ,ba ，使得，使得 1)( )( ff. . 上可导，上可导，上连续，在上连续，在在在，设设b ,ab ,a)x(f.0ab 20。且且0 )x(f 使使试证明：试证明：b ,a, ba)(f)(f 2 上可导，上可导，上连续，在上连续，在在在设设101021,)x(f.)(f)(f1100，且且 使使试证明：试证明：10, 211 )(f)(f 110010，上连续，上连续，在在提

8、示：提示：)(f)(f,)x(f .)(f,21cc，使，使由介值定理知：由介值定理知：10 上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理，在在对对10,)x(fcc 上上可可导导，上上连连续续，在在在在设设101022,)x(f.)(f)(f1100，且且,b ,a正数正数试证明：对试证明：对 ba)(fb)(fa 使使10, 上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理，在在对对，使，使由介值定理知：由介值定理知：，上连续，上连续，在在提示：提示：1010110010,)x(f.)(f,)(f)(f,)x(fccbaacc 证明证明:22.23.)(),()()(,)(. 100fbabfafba

9、xf，使，使证明：存在证明：存在，上可导，且上可导，且在在设设练习练习.)()(),(),()()()()(,)(. 20000 ffbababfafbfafbaxf及及使使，和和证明：存在证明：存在，且且上具有二阶导数，上具有二阶导数，在在设设练习练习练习练习3*练习练习3 ,)x(f上连续上连续在在设函数设函数练习练习 40 x)x(flimx)x(flimxx且且.)(,:0f使使证明证明xxfxF)()(:提示提示)(lim)(limxxfxxFxx1且且0011)(,xFx使使 在在上可微，且上可微，且在在设设例例)x(fb ,a)x(f. 5Axfbax)(),(，恒有证明：对010)(,xf上上求证：在求证：在 可导，可导，上连续，上上连续，上在在设设例例)