高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法

1、2010届高考数学难点突破训练数列与数学归纳法1.如图，曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形OP1Q1，Q1P2Q2，Qn-1PnQn设正三角形的边长为,nN(记为),.（1）求的值; （2）求数列的通项公式。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 设都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有成等差数列，成等比数列（1）试问是否成等差数列？为什么？（2）如果，求数列的前项和3. 已知等差数列中，8，66.（）求数列的通项公式；（）设，求证：.4. 已知数列中，（n2，），数列，满足（）（1）求证数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记，求5.

2、 已知数列an中，a1>0, 且an+1=，()试求a1的值，使得数列an是一个常数数列； ()试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；()若a1=2，设bn=| an+1an|(n=1，2，3，)，并以Sn表示数列bn的前n项的和，求证：Sn<6. （1）已知：，求证；（2）已知：，求证：。7. 已知数列各项均不为0，其前n项和为，且对任意，都有（p为大于1的常数），并记 .（1）求；（2）比较与的大小；（3）求证：().8. 已知，各项为正的等差数列满足，又数列的前项和是。（1）求数列的通项公式；（2）求证数列是等比数列；（3）设，试问数列有没有最大项

3、？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。9. 设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m求证:是等比数列;若数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.10. 已知数列满足：且，（）求，的值及数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；11. 将等差数列所有项依次排列，并作如下分组：第一组1项，第二组2项，第三组4项，第n组项。记为第n组中各项的和。已知。（1）求数列的通项；（2）求的通项公式；（3）设的前n项的和为，求。12. 设各项为正数的等比数列的首项，前n项和为，且。（）求的通项；（）求的前n项和。13. 设数列是首项为0的递增数列，（）， 满足：对于任意的总有两个不同的根。

4、（1）试写出，并求出；（2）求，并求出的通项公式；（3）设，求。14. 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.()若，求；（）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ (所得的结论不必证明)15. 一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B ，按照某种运算程序：当从A口输入自然数1时，从B口得到 ，记为 ；当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍.（1）当从A口分别输入自然数

5、2 ，3 ，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想的关系式，并证明你的结论；（2）记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的的值.16. 已知数列，其前n项和Sn满足是大于0的常数），且a1=1，a3=4.（1）求的值；（2）求数列的通项公式an；（3）设数列的前n项和为Tn，试比较与Sn的大小.17. 定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”已知数列中，且，其中为正整数(1)设，证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列” 的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式；(3)记，求数列的前项之和，并求使的的最小值18. 在不等

6、边ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，依次成等差数列，给定数列，（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号：数列，（）A是等比数列而不是等差数列B是等差数列而不是等比数列C既是等比数列也是等差数列D既非等比数列也非等差数列（2）证明你的判断19. 已知是等差数列，其前n项和为Sn，已知a2=8，S10=185， （1）求数列的通项公式； （2）设，证明是等比数列，并求其前n项和Tn.20. 已知数列an中，（n2，3，4，）（I）求的值；（II）证明当n2，3，4，时，21. 已知等差数列中，是其前n项的和且（I）求数列的通项公式。（II）若从数列中依

7、次取出第2项，第4项，第8项，第项，按原来的顺序组成一个新数列，求数列的前n项和。22. 已知正项等比数列满足条件：；，求的通项公式23. 已知函数f（x）（axb）图象过点A（2，1）和B（5，2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）记，是否存在正数k，使得对一切均成立，若存在，求出k的最大值，若不存在，请说明理由24. 已知f(x)=log2(x+m),mR（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m的值；（2）如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论。25. 已知等差数列an的公差d>0.S

8、n是它的前n项和，又与的等比中项是，与的等差中项是6，求an。26.和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合，求证：27. 已知曲线C：， ： （）。从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设。 （I）求的坐标； （II）求数列的通项公式；（III）记数列的前项和为，求证：答案：1. 解：由条件可得,代入得 ；代入曲线并整理得,于是当时,即又当；,故 所以数列是首项为、公差为的等差数列, 。2. 由题意，得， （1） （2） （1）因为，所以由式（2）得，从而当时，代入式（1）得，即，故是等差数列（2）由及式（1）

9、，式（2），易得因此的公差，从而，得 （3）又也适合式（3），得，所以，从而3. 解：（）（）， =而是递增数列 ，. 4. （1），而，是首项为，公差为1的等差数列（2）依题意有，而，对于函数，在x3.5时，y0，在（3.5，）上为减函数故当n4时，取最大值3而函数在x3.5时，y0，在（，3.5）上也为减函数故当n3时，取最小值，-1（3），5. ()欲使数列an是一个常数数列，则an+1=an 又依a1>0，可得an>0并解出：an=，即a1=an=()研究an+1an= (n2)注意到>0因此，可以得出：an+1an，anan1，an1an2，a2a1有相同的符号7要

10、使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2a1>0即可.由>0，解得：0<a1<()用与()中相同的方法，可得当a1>时，an+1<an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时，an+1an<0Sn=b1+b2+bn=|a2a1|+|a3a2|+|an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1又：an+2=< an+1，可解得an+1>, 故Sn<2=6. （1）令，由x>0，t>1，原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt，当时，有，函数f(t)在递增f(t)>f(1)即t-1<

11、lnt另令，则有g(t)在上递增，g(t)>g(1)=0综上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得7. (1)易求得（2）作差比较易得：（3）当时，不等式组显然成立. 当由（2）知 再证而同理：，以上各式相加得：即 .8. （1），又 或 若，则，与矛盾； 若，则，显然，（2）， 当时，欧时，数列是以9为首项，为公比的等比数列。 （3），设是数列中的最大项，则 由 可得数列有最大项，最大项是。9. （1）由是等比数列。（2）10. （）经计算， 当为奇数时，即数列的奇数项成等差数列，； 当为偶数，即数列的偶数项成等比数列， 因此，数列的通项公式为 （）， （1）（2）（1）

12、、（2）两式相减，得 11. 设的公差为d，首项为，则 （1） （2）解得，则。（2）当时，在前n-1组中共有项数为：。故第n组中的第一项是数列中的第项，且第n组中共有项。所以当n=1时，也适合上式，故。（3）。即数列前8组元素之和，且这8组总共有项数。则12. （）由得即可得因为，所以解得，因而（）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和前两式相减，得即13. （1）,当时, 又对任意的,总有两个不同的根,， 由(1),对任意的,总有两个不同的根, 对任意的,总有两个不同的根, 由此可得， 当，当，14. （1）. （2），当时，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差

13、为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围 15. （1）由已知得当时， 1分同理可得 3分 猜想下面用数学归纳法证明成立当时，由上面的计算结果知成立 6分假设时，成立，即 ，那么当时，即当时，也成立 综合所述，对 ，成立。 （2）由（1）可得16. （I）解：由得， （II）由，数列是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，当n=1时a1=1满足 （III），得，则. 当n=1时，即当n=1或2时，当n>2时，17. （1）由条件an12an22an， 得2an114an24an1(2an1)2bn是“平方递推数列”lgbn

14、12lgbnlg(2a11)lg50，2lg(2an1)为等比数列（2）lg(2a11)lg5，lg(2an1)2n1×lg5，2an15，an(51)lgTnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg5Tn5（3）cn2，Sn2n12n2n212n22由Sn2008得2n222008，n1005，当n1004时，n1005，当n1005时，n1005，n的最小值为100518. （1）B（2）因为、成等差数列，所以，所以又，显然，即、成等差数列若其为等比数列，有，所以，与题设矛盾19. （1） 解得 （2）7分 是公比为8的等比数列10分20. （I）， 4分（

15、II）当k2，3，4，5，时，21. （I）设数列的公差为d，则，又由（1）（2）得数列的通项公式（II）数列的前n项和22. 设等比数列的公比为q，由已知条件，得÷得：，所以×，得，即或（舍去）由得：23. （1）由已知，得解得：（2）设存在正数k，使得对一切均成立，则记，则，F（n）是随n的增大而增大，当时，即k的最大值为24. （1）f(1),f(2),f(4)成等差数列，f(1)+f(4)=2f(2).即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2(m+1)(m+4)=(m+2)2即m2+5m+4=m2+4m+4m=0(2) f(a)+f(c)=lo

16、g2(a+m)+log2(c+m)=log2(a+m)(c+m),2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,a,b,c成等比数列，(a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2=ac+m(a+c)-b2-2bm=m(a+c)-2ma>0,c>0.a+c2m>0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2>0, log2(a+m)(c+m)>log2(b+m)2f(a)+f(c)>2f(b);m<0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,log2(a+m)(c+m)<log2(b+m)2f(a)+f(c)<2f(b);m=0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2=0log2(a+m