2016_2017高中数学1.2.2.2组合的综合应用学案新人教B版选修2_

1、1组合的综合应用学习目标导航1. 学会运用组合的概念分析简单的实际问题.（重点）2. 能解决无限制条件的组合问题3. 掌握解决组合问题的常见的方法.（难点）基础初探教材整理组合的实际应用阅读教材 Pl9P21，完成下列问题1. 组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m（mKn）个元素.不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.2. 应用组合知识解决实际问题的四个步骤（1）判断：判断实际问题是否是组合问题（2）方法：选择利用直接法还是间接法解题.（3）计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算（4）结论：根据计算结果写出方案个数 .-歳弹验-1. 把三张游园票分给

2、10 个人中的 3 人，分法有 _种一310X9X8【解析】把三张票分给 10 个人中的 3 人，不同分法有 C?0= 120（种）.3X2X1【答案】1202. 甲、乙、丙三位同学选修课程，从4 门课程中，甲选修 2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有_种.【解析】甲选修 2 门，有 d= 6（种）不同方案.乙选修 3 门，有 C4= 4（种）不同选修方案.丙选修 3 门，有 C4= 4（种）不同选修方案.阶段1认知预习质疑2由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6X4X4= 96（种）.3【答案】963. 从 0,1,2,3, 2 这六个数字中，任取两个数字作为直线y=xtan

3、a+b的倾斜角和截距，可组成 _条平行于x轴的直线.【解析】要使得直线与x轴平行，则倾斜角为 0，截距在 0 以外的五个数字均可.故有 C5= 5 条满足条件.【答案】54. 将 7 名学生分配到甲、 乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排 2 名学生，那么互不相同的分配方案共有 _种.【导学号：62980019】【解析】每个宿舍至少 2 名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2 人，3 人，4 人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C+ G+ C7+ d= 112 种分配方案.【答案】112质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑： _疑问 2：_解惑：

4、_疑问 3：_解惑： _小组合作型IT无限制条件的组合问题沁？在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要从中选出 5 人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？(1) 任意选 5 人；(2) 甲、乙、丙三人必需参加；(3) 甲、乙、丙三人不能参加；(4) 甲、乙、丙三人只能有 1 人参加.【精彩点拨】 本题属于组合问题中的最基本的问题，可根据题意分别对不同问题中的阶段2合作探究通关4“含”与“不含”作出正确分析和判断，弄清每步从哪里选，选出多少等问题【自主解答】(1)从中任取 5 人是组合问题，共有 血=792 种不同的选法.(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外9

5、人中选 2 人，是组合问题，共有C2=36 种不同的选法.(3) 甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9 人中选 5 人，共有 d= 126 种不同的选法.(4) 甲、乙、丙三人只能有1 人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选 1 人，有C3=3种选法；再从另外 9 人中选 4 人，有 d 种选法.共有CC9=378 种不同的选法.解答简单的组合问题的思考方法1. 弄清要做的这件事是什么事.2. 选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题3. 结合两个计数原理，利用组合数公式求出结果再练一题1.现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名.(1) 现要从中选 2 名去参加会议

6、，有多少种不同的选法？(2) 选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少种？【解】(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从10 个不同元素中取出 2 个元素的组合数，即 C1o= 45.2X1(2)可把问题分两类：第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C 种方法；第 2 类，选出的 2 名 是女教师有 C2种方法，即 d+ &= 21(种).IE有限制条件的组合问题洌 高二(1)班共有 35 名同学，其中男生 20 名，女生 15 名，今从中选出 3 名同学 参加活动.(1) 其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2) 其中某一女生不能在内，不

7、同的取法有多少种？(3) 恰有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？(4) 至少有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？(5) 至多有 2 名女生在内，不同的取法有多少种？【精彩点拨】 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多” 等字眼.名师5使用两个计数原理解决.【自主解答】(1)从余下的 34 名学生中选取 2 名,有 C34= 561(种).不同的取法有 561 种.(2) 从 34 名可选学生中选取 3 名，有 宿4种.或者 C35 C4= C?4= 5 984 种.不同的取法有 5 984 种.(3) 从 20 名男生中选取 1 名，从 15 名女生中选取 2

8、名，有 C2o&5= 2 100 种.不同的取法有 2 100 种.选取 2 名女生有 6。氐种，选取 3 名女生有 5 种，共有选取方式 N= CLC + U = 2 100+ 455 = 2 555 种.不同的取法有 2 555 种.(5)选取 3 名的总数有 C35,因此选取方式共有N=宿5 C?5= 6 545 455 = 6 090 种.不同的取法有 6 090 种.喘、；*i常见的限制条件及解题方法1. 特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素， 特殊元素的多少作为分类依据2. 含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据

9、，或采用间接法求解3. 分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解.3选 4 名外科专家，共有 c4C6种选法根据分类加法计数原理，共有c4c4+c4c6+ c4c2= 185（种）抽调方法法二（间接法）不考虑是否有外科专家， 共有 Co种选法，考虑选取 1 名外科专家参加，有 dc5种选法; 没有外科专家参加，有 C 种选法，所以共有：c?o- ciC c6= 185（种）抽调方法（3） “至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况，分类解答.1没有外科专家参加，有 c6种选法；2有 1 名外科专家参加，有 C 种选法；3有 2 名外科

10、专家参加，有 c2种选法再练一题3.四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3 个点，使它们与点A在同一平6所以共有 C6+ C4cU115（种）抽调方法.III歩健奚组合在几何中的应用平面内有 12 个点，其中有 4 个点共线，此外再无任何3 点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？【精彩点拨】解答本题可以从共线的 4 个点中选取 2 个、1 个、0 个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数【自主解答】法一：以从共线的 4 个点中取点的多少作为分类标准第 1 类：共线的 4 个点中有 2 个点为三角形的顶点，共有C4c8= 48 个不同的三角形

11、；第 2 类：共线的 4 个点中有 1 个点为三角形的顶点，共有CiC8= 112 个不同的三角形；第 3 类：共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点，共有C8= 56 个不同的三角形由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48 + 112+ 56= 216（个）.法二（间接法）：从 12 个点中任意取 3 个点，有 C；2= 220 种取法，而在共线的 4 个点中 任意取 3 个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有止=4 种故这 12 个点能构成三角形的个数为C12 C4= 216 个1. 解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的

12、几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理2. 图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法【解】 如图所示，含顶点A的四面体的 3 个面上，除点A外每个面都有 5 个点，从中取出 3 点必与点A共面，共有 3C5种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的 棱的中点共面，共有 3 种取法.根据分类加法计数原理，不同的取法有3C5+ 3 = 33 种.探究共研型III软咲排列、组合的综合应用探究 1 从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？24X3【提示】共有厂=6(个)

13、不同结果完成的“这件事”是指：从集合 123,4中任取两个不同元素并相乘面上，有多少种不同的取法?探究点7探究 2 从集合1,2,3,4中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？【提示】共有血2 = 10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指：从集合123,4中任取两个不同元素并相除探究 3 完成“从集合0,123,4中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？【提示】 由于 0 不能排在百位，而个位必须是偶数 .0 是否排在个位影响百位与十位 的排法，所以完成这件事需按 0

14、 是否在个位分类进行第一类：0 在个位，则百位与十位共 A4种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从 2,4 中任选一个排个位再从剩下非零 数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C2C3C3= 18(种)不同的结果，由分类加法原理，完成“这件事”共有 A2+C；C3CU30(种)不同的结果.例 有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表，求分别符 合下列条件的选法数：(1) 有女生但人数必须少于男生；(2) 某女生一定担任语文课代表；(3) 某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4) 某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但

15、不担任数学课代表【精彩点拨】(1)按选中女生的人数多少分类选取.(2)采用先选后排的方法.(3)先安排该男生，再选出其他人担任 4 科课代表.(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表.【自主解答】(1)先选后排，先选可以是2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，共有 dd +C5C3种，后排有A5种，共(C3C3+ Cfc；)A5= 5 400 种.(2) 除去该女生后，先选后排，有C4A 4= 840 种.(3) 先选后排，但先安排该男生，有C4A：= 3 360 种.(4) 先从除去该男生、该女生的6 人中选 3 人有 C3种，再安排该男生有

16、 Ci种，其余 3 人全排有A3种，共 Cc 3AA=360 种.解决排列、组合综合问题要遵循两个原则1. 按事情发生的过程进行分步.2. 按元素的性质进行分类解决时通常从以下三个途径考虑：(1) 以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；8(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.I_I再练一题4.某班班会准备从甲、 乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有 一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A.360B.

17、520C.600D.720【解析】分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C2C5A4=2X10X24= 480 种选法第二类，甲、乙都参加时，则有C(A4AA= 10X(24 12) = 120 种选法.所以共有 480 + 120 = 600 种选法.【答案】 C构建体系91. 楼道里有 12 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏不相邻的灯，则关灯方案有（）A.72 种B.84 种C.120 种D.168 种【解析】 需关掉 3 盏不相邻的灯，即将这 3 盏灯插入 9 盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有 C1o= 120（种）.故选 C.【答案】 C2. 编号为 1,2,3,4,5,6,7

18、的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（）【导学号：62980020】A.60 种B.20 种C.10 种D.8 种【解析】 四盏熄灭的灯产生的5 个空档中放入三盏亮灯，即C = 10.【答案】 C3将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）.【解析】 有 C3C72= 36 种满足题意的分配方案其中 C3表示从 3 个乡镇中任选定 1 个乡镇，且其中某 2 名大学生去的方法数；C4表示从 4 名大学生中任选 2 名到上一步选定的 乡镇的方法数；A1表示将剩下的 2 名大学生分配到另 2 个乡镇去的方法数.

19、【答案】 364._在直角坐标平面xOy上，平行直线x=n（n=0,1,2，5）与平行直线y=n（n= 0,1,2，5）组成的图形中，矩形共有 个.阶股3组合的综用m炽際旧IN他 绡合在几何中的颐 一I卿iwg体验落实评价课堂回惨即时达榇I淀序除扶10【解析】 在垂直于x轴的 6 条直线中任取 2 条，在垂直于y轴的 6 条直线中任取 2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C6xc6= 15X15= 225 个.【答案】 2255.车间有 11 名工人，其中 5 名是钳工，4 名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能 当钳工，现在要在这 11 名工人里选派 4 名钳工，4 名车工修理一台

20、机床，问有多少种选派 方法【解】 法一：设A,B代表两名老师傅.A,B都不在内的选派方法有：U C=5（种）;A B都在内且当钳工的选派方法有：C2c 5 c 4= 10（种）；A, B都在内且当车工的选派方法有：C2= 30（种）；A, B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有:C2 A 2 C 5 c4= 80（种）；A, B有一人在内且当钳工的选派方法有:C2 c 5 c 4= 20（种）；A, B有一人在内且当车工的选派方法有:C2c 5 c 4=40（种）.所以共有C5c4+C2c2c4+C2c4c2+C2A2185（种）选派方法法二：5 名钳工有 4 名被选上的方法有：C4C

21、6= 75（种）;5 名钳工有 3 名被选上的方法有：C5 c 5 c 2= 100（种）；5 名钳工有 2 名被选上的方法有：C2Ccc=10（种）所以一共有 75 + 100+ 10= 185（种）选派方法我还有这些不足：_我的课下提升方案：_3c3+ d c5C2c411_学业分层测评（建议用时：45 分钟）学业达标12、选择题1.(2016 中山高二检测)圆上有 10 个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为 ()A.720C.240答案】4.(2016 青岛高二检测)将标号为 1,2，10 的 10 个球放入标号为 1,2，10 的10 个盒子里，每个盒内放一个

22、球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为 ()A.120C.360D.720【解析】 先选出 3 个球有 C130= 120 种方法， 不妨设为 1,2,3 号球， 则 1,2,3 号盒中能 放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种.这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2 种不同的方法，故 共有 120X2= 240种方法.【答案】 B5. 从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )A . C25C26B.C25A26C.C25A22C62A22D.A52A26B.360D.120解析】确定三角形的个数为Co=120.答案

23、】2. 某电视台连续播放 5 个广告，其中有 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运广告 .要求最后必须播放奥运广告，且2 个奥运广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A.120 种B.48 种C.36 种D.18 种【解析】最后必须播放奥运广告有 C；种，2 个奥运广告不能连续播放，倒数第告有2 个广答案】 C3.若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A.60 种B.63C.65 种D.66解析】均为奇数时，有C5=5 种；均为偶数时，有 d= 1 种；两奇两偶时，有 CiC= 60 种，共有66 种 .B.24013【解析】 分两步

24、进行：第一步，选出两名男选手，有C2种方法；第二步，从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对，有A2种.故有 C5A2种.【答案】 B二、填空题6. 某单位有 15 名成员， 其中男性 10 人，女性 5 人，现需要从中选出 6 名成员组成考察团外出参观学习， 如果按性别分层， 并在各层按比例随机抽样， 则此考察团的组成方法种数是.【导学号： 62980021 】【解析】 按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从 10 名男性中抽取 4 人， 5 名女性中抽取 2 人，共有C1OC2=2 100 种抽法.【答案】 2 1007. 某球队有 2 名队长和 10 名队员，现选派 6 人上

25、场参加比赛，如果场上最少有 1 名队长，那么共有 _ 种不同的选法 .【解析】 若只有 1 名队长入选，则选法种数为 C2 Cw；若两名队长均入选， 则选法种数为 Clo,故不同选法有 C2 C 1o+ Clo= 714(种).【答案】 7148. 现有 6 张风景区门票分配给 6 位游客，若其中 A,B风景区门票各 2 张，C,D风景区门票各 1 张，则不同的分配方案共有 _种.【解析】 6 位游客选 2 人去A风景区，有 &种，余下 4 位游客选 2 人去B风景区，有C4种，余下 2 人去C, D风景区，有 A2种，所以分配方案共有 CGA2= 180(种).【答案】 180三、解

26、答题9.a，3是两个平行平面，在a内取四个点，在3内取五个点(1) 这些点最多能确定几条直线，几个平面？(2) 以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？【解】(1) 在 9 个点中，除了a内的四点共面和3内的五点共面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定直线才能达到最多，此时，最多能确定直线C92= 36 条.在此条件下，只有两直线平行时，所确定的平面才最多 面，故最多可确定 C24C15 C41C52 2 = 72个平面 .(2) 同理，在 9 个点中，除了a内的四点共面和 个三棱锥 . 又因为三个不共线的点确定一个平3内的五点共面外，其余任意四点不1410. 按照下列要求，分别求有多

27、少种不同的方法？(1) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子；(2) 6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（3）6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球【解】（1）每个小球都有 4 种方法，根据分步乘法计数原理，共有46= 4 096 种不同放法（2）分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入 盒中，共有 C6ciA3+ C6A4=1 560（种）不同放法（3）法一 按 3,1,1,1 放入有 C4种方法，按 2,2,1,1 ，放入有 C 种方法，共有 C4+ G = 10（种）不同

28、放法法二（挡板法）在 6 个球之间的 5 个空中插入三个挡板，将 6 个球分成四位，共有 C3=10（种）不同放法能力提升1. （2015 四川高考）用数字 0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有（）A.144 个B.120 个C.96 个D.72 个【解析】 分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为 0,2 ;第二类是万位数字为 5,个位数字分别为 0,2,4.当万位数字为 4 时， 个位数字从 0,2 中任选一个， 共 有 2A4个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4 中任选一个，共有 CA3个偶数.故符合 条件的偶数共有 2A4+ C3A4=120（个）.【答案】 B2. 如图 1-2-1 ,A,B, C, D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有 _种.图 1-2-1【解析】 四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC BC BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC CD DA不符合要求，故共有 C 4=