教材高考·审题答题（四）立体几何热点问题

1、本文格式为word版，下载可任意编辑教材高考·审题答题（四）立体几何热点问题 教材高考审题答题（四） 立体几何热点问题 核心热点 真题印证 核心素养 线、面位置关系的证明与线面角 2021文，19；2021文，17；2021，18；2021，20；2021天津，17；2021北京16 数学运算、规律推理、直观想象 线、面位置关系的证明与二面角 2021，19；2021，17；2021，19；2021，19；2021，19；2021，18；2021，19 数学运算、规律推理、直观想象 教材链接高考线面位置关系与空间角 教材探究(选修 21p109 例 4) 如图，在四棱锥 pabcd

2、中，底面 abcd 是正方形，侧棱 pd底面 abcd，pddc，点e 是 pc 的中点，作 efpb 交 pb 于点 f. (1)求证：pa平面 edb； (2)求证：pb平面 efd； (3)求二面角 cpbd 的大小 试题评析 1.本例包括了空间向量在立体几何中最主要的两个应用：(1)证明或判定空间中的线面位置关系，(2)求空间角 2教材给出的解法虽然都用到了向量，但第(1)(2)题仍旧没有脱离线面平行、线面垂直的判定定理，第(3)题是先找到二面角的平面角，然后利用向量求解 3除了教材给出的解法外，我们还可以利用相关平面的法向量解答本题，其优点是可以使几何问题代数化 【教材拓展】 已知四

3、棱锥 pabcd，底面 abcd 为正方形，且 pa平面 abcd，tan pba63，f 为 pc 的中点，求二面角 cafd 的余弦值 探究提高 1.本题与教材选修21p109例4相比其难点在于不易找到二面角cafd的平面角，或者说找到二面角的平面角对同学来说是一个难点，而利用空间向量，即找到相关平面的法向量来求二面角，就可化解这个难点，这也是向量法的优势所在 2利用向量法解决问题时，要留意运算的正确性 【链接高考】 (2021全国卷) 如图，直四棱柱1 1 1 1abcd abc d - 的底面是菱形，14 aa = ，2 ab= ， 60 bad Ð = ° ， e

4、 ， m ， n 分别是 bc ，1bb ，1ad 的中点 (1)证明： / / mn 平面1c de ； (2)求二面角1a ma n - - 的正弦值 教你如何审题立体几何中的折叠问题 【例题】 (2021全国卷)如图，四边形 abcd 为正方形， e，f 分别为 ad，bc 的中点，以 df 为折痕把dfc 折起，使点 c 到达点 p 的位置，且 pfbf. (1)证明：平面 pef平面 abfd； (2)求 dp 与平面 abfd 所成角的正弦值 审题路线 自主解答 探究提高 立体几何中折叠问题的解决方法 解决立体几何中的折叠问题，关键是搞清晰翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化

5、状况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化 【尝试训练】 (20 19 全国卷 ) 图 1 是由矩形 adeb 、 rt abc d 和菱形 bfgc 组成的一个平面图形，其中 1 ab= ， 2 be bf = = ， 60 fbc Ð = ° 将其沿 ab ， bc 折起使得 be 与 bf 重合，连结 dg ，如图 2 （1）证明：图 2 中的 a ， c ， g ， d 四点共面，且平面 abc 平面 bcge ； （2）求图 2 中的二面角 b cg a - - 的大小 满分答题示范立体几何中的开放问题 【例题】 (12 分)

6、如图所示，在正四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 的边长为 2，侧棱长为 2 2. (1)若点 e 为 pd 上的点，且 pb平面 eac，试确定 e 点的位置； (2)在(1)的条件下，在线段 pa 上是否存在点 f，使平面 aec 和平面 bdf 所成的锐二面角的余弦值为114 ，若存在，求线段 pf 的长度，若不存在，请说明理由 规范解答 高考状元满分心得 得步骤分：抓住得分点的步骤，"步步为赢'，求得满分 如第(1)问中利用线面平行的性质证明线线平行 ，第(2)问中建系时证明 po，ac，bd 两两垂直 ，以及建系后得到各点的坐标 得关键分：解题过程不行忽视关键点，有则给分，无则没分如第(1)问中指出点 e 的位置，第(2)问中求两个平面的法向量 和 得计算分：解题过程中计算精确是得满分的根本保证如第(2)中计算 的值 以及计算线段 pf 的长度 等 构建模板 【规范训练】 (2021福州质检)如图，在四棱锥 p abcd - 中，底面 abcd 为正方形， pa 底 面 abcd ， pa ab = ， e 为