数学建模,高数,数值积分

1、基本的数值积分基本数值积分基本数值积分v主要内容：v一、 数值求积的基本思想数值求积的基本思想v二、二、 数值求积分的一般形式数值求积分的一般形式v三、三、 插值型的求积公式插值型的求积公式v四、四、 牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式v五、五、 代数精度问题代数精度问题主要内容主要内容法法传统的定积分原理与方传统的定积分原理与方的表达式未知)(xf公式：公式：莱布尼兹莱布尼兹牛顿牛顿)(LeibnizNewton数值分析面临的问题数值分析面临的问题 一、一、 数值求积的基本思想数值求积的基本思想).()()(aFbFdxxfbax12345f(x)44.5688.5，只有数表形式示的原函数

2、不能用初等表)(xf?)(的的近近似似值值如如何何求求 badxxf2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx 利用函数在有限个结点处的数值求积的基本思想数值求积的基本思想函数值去计算的积分! bankkkknkxxxfxxdxxfdxxfkk111),()()()(:1矩矩形形法法,: ,1210bxxxxxabann 分分割割区区间间 bankkkkkxfxfxxdxxf111)()()(21)(:梯梯形形法法作为积分 的近似值dxxfba )(二、二、 数值求积分的一般形式数值求积分的一般形式所有计算积分的近似公式都有共同的形式,)().(),(10nxfxfxf就是用

3、 的某种线性组合 bankkkxfAdxxf0),()(数值积分的一般形式数值积分的一般形式称称为为求求积积系系数数，称称为为求求积积节节点点；式式中中kkAx于被积函数于被积函数的选取有关，而不依赖的选取有关，而不依赖kkkxAx仅仅仅仅与与节节点点权权的的权权亦亦称称伴伴随随节节点点.)(的具体形式的具体形式xf,210bxxxxan 设设给给定定一一组组节节点点以所给节点作插值节点以所给节点作插值节点, ,插插值值多多项项式式的的作作函函数数 Lxf)( nkkknxfxlxL0)()()( nkkbakxfdxxl0)()( dxxlAbakk 插值求积公式插值求积公式 babandx

4、xLdxxf)()(代代入入求求积积公公式式： nkjjjkjkxxxxxl0)(其其中中： 三、三、 插值型的求积公式插值型的求积公式此求积公式的截断误差为：此求积公式的截断误差为： bannbanbandxxnfdxxLdxxffR)()!1()()()()(1)1( 事实上，插值型求积公式的求积系数当节点不等事实上，插值型求积公式的求积系数当节点不等距时很难求得。距时很难求得。插值型的求积公式插值型的求积公式代入求积公式得：代入求积公式得：将将thaxnabhkhaxk , bankjjjkjbakkdxxxxxdxxlA0)(注意到：注意到： bankjjthadjhakhajhath

5、a)(0 nnkjjnkjjnnkjjdtjtjkhhdtjkjt00000)( ,nabhnba 记记步步长长等等分分设设将将积积分分区区间间 四、四、 牛顿柯特斯求积公式牛顿柯特斯求积公式khaxk 选取等距节点选取等距节点 nkkbakxfdxxl0)()( babandxxLdxxf)()( nnkjjknnkdtjtnknkC00)()()!( !)1(令令：)()(nkkCabA )()(0knknkbaxfCabdxxf 称为称为牛顿牛顿- -柯特斯公式柯特斯公式. . .称称为为柯柯特特斯斯系系数数式式中中nkC nnkjjkndtjtknkh00)()!( !)1( nnkj

6、jkndtjtnknkab00)()!( !)()1(求求 积积 公公 式式 这这时时的的求求积积公公式式为为：时时当当,21,11110 CCn)()(2)(bfafabdxxfba 梯形公式梯形公式 y=P1()直 边 梯 形 代 替 曲 边 梯 形y=f()称 梯 形 公 式 y 0 求求 积积 公公 式式 bannbanbandxxnfdxxLdxxffR)()!1()()()()(1)1( bababadxxfdxxLdxxffR)(! 2)()()()(2)2(11 323)(12)( 2)(32)( abfabxxbaxfba 误误 差差 估估 计计 badxbxaxf)(! 2

7、)( bfbafafabS246这这时时的的求求积积公公式式为为：辛辛普普森森公公式式这这时时柯柯特特斯斯系系数数为为时时当当,2 n求求 积积 公公 式式 .61141,6422120222021 dtttCdtttC ,6121412020 dtttCdxbxbaxaxf !dxR(x)baba)()2)( )(412)4( )2()2(),2()2(),()(),()(3333bafbaHbafbaHbfbHafaH 取取)()2)(4)(2)4(3bxbaxax!f(x)Hf(x)R(x)Hermite 插插值值余余项项：根根据据)(2880)()()2)(4)()(),()4(52)

8、4( fabdxbxbaxax !ffRbaba 使使由积分中值定理知由积分中值定理知误误 差差 估估 计计 banbandxxHdxxffR)()()(误误 差差 估估 计计 bamnmndxxxmnf)()()!2()(11)2( y=P2() y=f() 称 Simpson 公式 a a+b/2 b )()2(4)(6)()(2bfbafafabdxxSfIba 432107321232790 xfxfxfxfxfabC 别别称称为为柯柯特特斯斯公公式式为为：的的牛牛顿顿柯柯特特斯斯公公式式则则特特而而4 n辛普森公式的几何意义：辛普森公式的几何意义：几几 何何 意意 义义CotesCo

9、tes系数表可用程序得到系数表可用程序得到84041359280910534280935984041628819962514425144259625288195907451615245169074818383813616461221211)(nkCn程程 序序解：由梯形公式解：由梯形公式85914. 1)(2110 eeI截断误差为：截断误差为：22652. 012)(1211 efR 由辛普森公式由辛普森公式71886. 1)4(611210 eeeI截断误差为：截断误差为：00095. 02880)(28801)4(2 efR 例例1 1 分别用梯形公式与辛普森公式计算积分分别用梯形公式与

10、辛普森公式计算积分 10dxeIx的近似值并估计误差。的近似值并估计误差。例例 题题 1 如果对于次数不超过如果对于次数不超过m m的多项式均能准确地的多项式均能准确地成立成立, ,但对于但对于m+1+1次多项式不准确成立次多项式不准确成立, ,则称该求则称该求积公式具有积公式具有m次代数精度次代数精度. .不难看出不难看出: :只要当只要当 分别为分别为 时时 求积公式求积公式精确成立精确成立而当而当 不能成立不能成立.)(xf,., 12mxxx bankkkxfAdxxf0),()(,)(1时时为为 mxxf bankkkxfAdxxf0),()(定义定义 bankkkxfAdxxf0)

11、()(:对一个一般的求积公式对一个一般的求积公式 五、五、 代数精度问题代数精度问题 这这就就要要求求都都能能准准确确成成立立只只要要令令它它等等于于次次精精度度要要使使求求积积公公式式具具有有一一般般地地, 1,:mxxxfm bammmnkmkkbankkkbankkdxxabmxAxdxabxAdxabA110220011211.,的的代代数数问问题题和和原原则则上上是是确确定定参参数数构构造造求求积积公公式式kkAx代数精度问题代数精度问题例例2 判断以下求积公式的代数精确度判断以下求积公式的代数精确度)1()0(2)1(21)()1(11fffdxxf 解解: :,1)(时时或或分分

12、别别为为常常数数当当xxf2)1 ()0(2) 1(21)(21)(111)( xfxffffdxxf0)1 () 0(2) 1(21)(0)(11)( xxfxxffffdxxf左右相等左右相等)31()31()()2(11ffdxxf 例例 题题 2,)(32时时或或分分别别为为常常数数当当xxxf1)1 () 0(2) 1(21)(3222)(11)(xxfxxffffdxxf0)1 () 0(2) 1(21)(2133)(11)(xxfxxffffdxxf1)1 ()0(2) 1(21)(. 1:11的的代代数数精精度度是是结结论论fffdxxf求求积积公公式式越越精精确确。式式的的次

13、次数数越越高高，使使公公式式精精确确成成立立的的多多项项代代数数精精确确度度越越高高,例例 题题 22)31()31()(21)(111)( xfxfffdxxf, 1)(32时时分分别别为为当当xxxxf0)31()31()(0)(11)(xxfxxfffdxxf32)31()31()(3222)(11)(xxfxxfffdxxf0)31()31()(033)(11)(xxfxxfffdxxf92)31()31()(5244)(11)(xxfxxfffdxxf. 3)31()31()(. 2:11的代数精度是结论ffdxxf例例 题题 2例例3 3 证明求积公式是证明求积公式是L-L-求积公

14、式，已知求积公式，已知: :)31()31()(11ffdxxf证明证明: :31,3110 xx已已知知1, 1:10 求求积积系系数数011111011101)31(43)(xdxxxxxdxxl111110101111)31(43)(xdxxxxxdxxl所以所以, ,所求的求积公式所求的求积公式, ,就是插值型求值求积分公式就是插值型求值求积分公式. .例例 题题 3 CotesNewton 求求积积公公式式有有误误差差次次代代数数精精确确度度。有有从从而而至至少少次次多多项项式式时时为为当当 n dx , xp I(f) (x) n xf bannf)(0)()1(代数精度问题代数精

15、度问题 ba xwnxpxffnn),()!1()()()()1(代代数数精精确确度度次次式式至至少少具具有有个个节节点点的的插插值值型型求求积积公公nn1nkkkabAA0:,总总有有数数插插值值求求积积公公式式的的求求积积系系.插插值值型型的的的的充充分分必必要要条条件件是是它它是是次次代代数数精精度度的的求求积积公公式式至至少少有有形形如如定定理理nnkkknkkbakbaxfAxfdxxldxxf00)()()()(重要结论重要结论n=n=偶数时偶数时Newton-Cotes Newton-Cotes 求积公式的代数精确度求积公式的代数精确度 定理定理:2n:2n阶牛顿阶牛顿- -科特

16、斯求积公式至少具有科特斯求积公式至少具有2n+12n+1次次 代数精确度代数精确度重要结论重要结论.梯梯形形公公式式N=1N=1时的牛时的牛- -柯公式柯公式余项为余项为: :.,)(12)( 3baabfRT.公公式式具具有有一一次次代代数数精精度度1)()()()(2213322因因此此代代数数精精确确度度是是时时，但但当当ba2abdxxp3abdxxdxxf xxf bababa是是一一次次多多项项式式时时，当当 xf )(重要结论重要结论 bfafabT2dxxpfI xp xf xfba)()()()(0)( 11.)(4公公式式具具有有三三次次代代数数精精度度通通常常是是不不准准确确的的而而对对 xxf.辛辛普普森森公公式式N=2N=2时的牛时的牛- -柯公式柯公式