2014届一轮复习数学试题选编6：函数的应用问题解析

1、江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 6:函数的应用问题一、解答题1 .(江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013 届高三第三次调研测试数学试卷)某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图 1 是单层玻璃，厚度为 8 mm;图 2 是双层中空玻璃，厚度均为 4 mm,中间留有厚度 为x的空气隔层根据热传导知识，对于厚度为 d 的均匀介质，两侧的温度差为：T,单位时间内，在单位 面积上通过的热量 Q 二 kT，其中 k 为热传导系数.假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及 d空气隔层的热量相等.(注：玻璃的热传导系数为 4 1 03J m m/，(空气的热传导系数为2.5 10AJ

2、mm/ (.)(1) 设室内，室外温度均分别为 T1，T2，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为T2，且T1T/ -T/ T2.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量(结果用T1, T2及x表示);(2) 为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%,应如何设计 x 的大小？(第17题)【答案】解:(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为Q1, Q2,则 Q1=4 103 TT2=TT2,8 2 000FFFFQ2=4 10*T1=2.5 10T1 TL=4 10卫女24x4FffFT1T2T2_T24x44

3、102.5 104 10T1T；T1-T2T/ T24 X444 10-2.5 10-4 10-T T2=4 000 x 2 000(2)由知QQ 2x +1当14%寸,解得 x =12(mm).2x 1答：当 x =12 mm 寸,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%2. ( 2012-2013 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)数学试题)如图所示，有两条道路OM与ON,. MON =600,现要铺设三条下水管道OA,OB,AB(其中A,B分别在OM,ON上),若下 水管道的总长度为3km,设OA=a(km),OB =b(km).(1)求b关于a的函数表达式，并指出a的取值范围；已

4、知点P处有一个污水总管的接口，点P到OM的距离PH为3km,到点O的距离PO为4OaHAM【答案】km,问下水管道AB能否经过污水总管的接口点P?若能，求出a的值，若不能，请说明理由3 .(江苏省徐州市 2013 届高三上学期模底考试数学试题)在一个矩形体育馆的一角MAN内(如图所示),用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域，已知B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点.(1) 若BC=a=10,求储 存区域三角形ABC面积的最大值;(2) 若AB=AC=10,在折线MBC内选一点D使DBO(=a=20,求储存区域.四边形DBAC面积的最大值.(第17题图)1【答案】 因为三角形的面积为

5、倍 AB- AC,所以当 AB=AC 时其值才最大,可求得为 252(2)求四边形 DBAC 面积可分为 ABC 跟 BCDW个三角形来计算,而 ABC 为定值可先不考虑,进而只考虑三 角形 BCD 的面积变化,以 BC 为底边，故当 D 点 BC 的距离最长时面积取得最 大值.因为 DB+DC=a=2 总成 立,所以点 D 的轨迹是一个椭圆,B.C 是其两交点，结合椭圆的知识可以知道只有当D 点在 BC 的中垂线上时点 D 到 BC 的距离才能取得最大值,再结合题意四边形 DBAC 刚好是一个边长为10 的正方形，其面积为 1004 .(江苏省徐州市 2013 届高三考前模拟数学试题)某人

6、2002 年底花 100 万元买了一套住房，其中首付 30 万元，70 万元采用商业贷款.贷款的月利率为 5 %。,按复利计算，每月等额还贷一次，10 年还清，并从贷款 后的次月开始还贷这个人每月应还贷多少元？为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房150 万元卖出，并且差额税由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？(参考数据：(1 + 0.005)1201.8)【答案】设每月应还贷x元，共付款 12 10 -120 次，则有x1 + (1 + 0.005) + (1 + 0.005)2+11 + (1+ 0.005)119二 700000(1+

7、 0.005)120,120700000 0.005 (1 + 0.005)所以x7875(兀)(1 + 0.005)120-1答:每月应还贷 7875 元卖房人共付给银行 7875 120 =945000 元，利息 945000 700000 =245000 (元),缴纳差额税(1500000 -1000000) 0.2=100000(元),500000 -(245000 +100000) =155000(元).答:卖房人将获利约 155000 元5 .(江苏省无锡市 2013 届高三上学期期末考试数学试卷)要制作一个如图的框架(单位：米),要求所围成的213总面积为 19.5(米),其中

8、ABCD 是一个矩形,EFCD 是一个等腰梯形，梯形高 h=- AB, tan / FED=-,设24AB=x 米,BC=y 米.(I)求 y 关于 x 的表达式；(n)如何设计 x,y 的长度，才能使所用材料最少？1許-討丸.解 Sgt 咲阪.所倉韭iH产暑(0-K*rft时jr - *12x 6.片烟=3続EC=4然时.临仪搓牛姮银用甘斛豪:K .i斗命6 .（徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知一块半径为r的残缺的半圆形材料 ABC,01为半圆的圆心，0C =1r,残缺部分位于过点 C 的竖直线的右侧现要在这块材料上截出一个直角三角2形,有两种设计方案：如图甲,

9、以 BC 为斜边；如图乙,直角顶点E在线段 0C 上,且另一个顶点D在AB上.要使截出的直角三角形的面积最大积的最大值,应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面AB【答IXtiW址岛*【答案】如图甲，设 DBC =、,贝V BDcos:,DC sin :,2 2如图乙,设.EOD -V,则 OE =rcosr , DE =r si nr ,A所以SABDE=一r2(1 +cos日)sin H ,0轻n,十23 2、 1212设f (v) r (1 cos Rsin v,则f (v)r (1 cosv)(2cos v -1),2 2当日可上,n时，f 佝 o,所以e=n时，即点E与

10、点C重合时，3 233漿2 BDE 的面积最大值为r83、3292因为r r,8 16所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为3r287 .(江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)如图，在海岸线丨一侧 C 处有一个美丽的小岛某旅游公司为方便游客，在l上设立了 A、B 两个报名点，满足 A、B、C 中任意两点间的距离为10 千米.公司拟按以下思路运作：先将 A、B 两处游客分别乘车集中到AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A、B 两点),然后乘同一艘游轮前往C 岛.据统计，每批游客 A 处需发车 2 辆,B 处需发车 4 辆,每辆汽车每千米耗费 2 元，游

11、轮每千米耗费 12 元.设/CDA =：,每批游客从各自报名点到C 岛所需运输成本 S 元.所以SABDC92r sin 2:16?r216当且仅当.、二n时取等号4此时点D到 BC 的距离为3r,可以保证点D在半圆形材料 ABC 内部，因此按照图甲方案得到直角三4(第17题甲图)2写出 S 关于的函数表达式，并指出的取值范围；问中转点 D 距离 A 处多远时,S 最小？【答案】解：(1)由题在ACD中，.CADADC,AC=10,. ACD33360、r3 - 40sin i 3J.S =4AD 8BD 12CD =12CD -4AD 8080sin aL3 - cosaf兀2兀)=20 J

12、3-+60. v x sin a0,二当cos。= 时S取得最小值3332.25 x 3 cosJ15si nr、5；6此时sin,AD5,3sin a420 +5一.中转站距A处-:千米时，运输成本S最小48 .(江苏省泰州市 2012-2013 学年度第一学期期末考试高三数学试题)长方形的边 AD 为半圆的直径，0 为半圆的圆心，AB =1,BC = 2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN,其底边MN _ BC.(1) 设备.MOD =30,求三角形铁皮PMN的面积；(2) 求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值.13/MQD30。， MO,O(=(算出一个得 2 分)CD由正弦定理知-C

13、匕jisin 3AD2兀sin2二10sin |匹,得CD=,AD3sin：sin二sin如图,一个半圆和长方形组成的铁皮222&PMNZMN-AG1x3x(1 +2 2 26338设/MOQ0, 0, 一,MQsin0,OQ=cos0211.&PM=MN- AQ=(1+sin0)(1+cos0)221=(1+sin0cos0+sin0+cos0)2.如图所示，ABCD(AB . AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB 交DC于点P.当厶ADR的面积最大时最节能，凹多边形ACBPD的面积最大时制冷效果最好(1) 设ABx米,用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；(2) 若要求最节能，应怎

14、样设计薄板的长和宽？(3) 若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？【答案】解:(1)由题意，AB=x,BC =2-x.因x .2-x,故1：x：2设 DP =y ,贝 U PC =x - y .因厶 ADPCBP,故 PA =PC =x y .由PA2=AD2+DP2,得(x -y)2=(2 -x)2+y2n y=2(1-)，1cxc2X记厶 ADP 的面积为 S ,则S =(1 -丄)(2 -x)x=3 _(x2) _2_2 .2 ,x当且仅当x (1,2)时，S取得最大值故当薄板长为2米,宽为2-2米时,节能效果最好记厶 ADP 的面积为 ,则令 sin0+cos0=t1, , 2

15、,& PM=12(t+1 +t2-1匚J0=,当t= . 2 , &PMN的最大值为432、249 .(南通市 2013 届高三第一次调研测试数学试卷)某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板周长为 4 米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用S2=4(2 x) +(1 丄)(2 x) =3 1(x2+4),1vx 0, k 0.%=20k20乞20=10,当且仅当 k=1 时取等号.1卞1k2k炮的最大射程是 10 千米./ a 0 , 炮弹可以击中目标等价于存在k0,使ka -丄(1 + k2)a2=3 2成立,20即关于 k 的方程a2k2-20ak a264=0有正根.由上-20a2-4

16、a2a264 _0得 a.2a174 分11.（南京市、淮安市 2013 届高三第二次模拟考试数学试卷）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB 其中 0疔卞-2 2 2修建与 OB 平行的小路 CD 与 0A 平行的小路 CE，问 C 应选在何处，才能使得修建的道路 CD 与 CE 的总长 最大,并说明理由当a不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标为扇形所在圆的圆心,.AOB =60,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在AB上选一点 C,过 C【答解 由题恿知四边彫0氐是平行四边形.因 J3ZAOB = 6 疔,所以連结 OC. iSOC-r.方法一丄设0D -=在 ACQC 中由余弦定理 （X

17、：=OD2DC- 20D DCcosl；即/耳工十_/+巧解紂文+ygL 汁八自且仅当上=$二-沽F时取等号9/Tf所以工+的弟大 ffii 为宁和此时 t?为舟止的中点符:点 C的中点 it*才能使得醪建的道踣总怏坯大.拭分方袪二设 ZfOATHyX 砌所以 ZOCDKOJ 他.,.OD CDF一 .即臥而6=而-荷丽.?2.A所 Ui OD , - r5in(60aJ)CD 折以 CE4CQ =OD+(?D 迁 0*町十融町.(ginfiOosflcos tOsin t?+sin)39=-f (sin &CTn)si? -Feos 60*s iri(?)J*L-y-rIn(60P_H5)十

18、因为 0*?60 以 600*+i9 120*5dKr r所以当附 + gg*即心弭时,CE-CD 取得疑大值-yr.此时 f 为 4B 的中盘睿;点 Q 应选 4AB 的中点处,才能 AE 那修建的道略总长锻大.注分12.（江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研（一）数学试题）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O,半径为R（米）的球形灯泡该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA,EB,EC,ED所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是 二（弧度）;灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米）,且h R;灯脚FA,FBj,FC1,FD1是

19、正四棱锥F -A|B1C1D1的四条侧棱，正方形ABGD,的外接圆半径为R（米）,四条灯脚与灯杆所在直线的夹角 都为“弧度）.已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元）,灯托造价是每米a（元）,其中R,h,a都为常3数.设该灯架的总造价为y（元）.（1）求y关于二的函数关系式；在OPC 中.現据正弦定ODCDOC _阳药2議=而玄矿阪阪1。 分（2）当二取何值时，y取得最小值？n*R* A. vaf点AR 40R 丰（h- 十T）rt3lan0sinu（注 t 毎峙对一牛郁杵造阶命 2 分）404 - UH0、丄.八 1 融餌4sin1fi + J - I2ccrs（?-11 分* 1W丿.f I

20、t、軸-f当#丘 0 工）时$*（h 占菇亍寸设筋 g 黑舞中辭亍I何广费嘶丄叭灯规制曲用M313.（江苏省南京市四校 2013 届高三上学期期中联考数学试题）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人(1402a420,且a为偶数)，每人每年可创利b万元据评估，在经营条件不变的前提下,每裁员 1 人，则留岗职员每人每年.多创利 0.01b万元,但公司需付下岗职员每人3每年 0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的-,为获得最大的经济效4益,该公司应裁员多少人？【答案】解答：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则y =(2a -x)(b

21、0.01bx) -0.4bx丄x2-2(a -70)x 2ab1003a依题意2a -x 2a . 0：x -又140：2a：420, 70：a：210.42 a(1)当0：a -70 ,即70 : a岂140时，x = a一70, y取到最大值;2aa当a-70 ,即140 : a 210时，x,y取到最大值;22答:当 70a140 公司应裁员为a - 70,经济效益取到最大值5a当140 a 210,公司应裁员为，经济效益取到最大值214.(苏北三市(徐州、淮安、宿迁)2013 届高三第二次调研考试数学试卷)如图，两座建筑物 AB,CDAB,CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂

22、直，它们的高度分别是 9cm和 15cm,从建筑物AB的顶部A看建筑物CDCD 的视角.CADCAD =45=45 .(1) 求 BCBC 的长度；(2) 在线段 BCBC 上取一点 P(P(点P与点 B,CB,C 不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为 APBAPBDPCDPC 二 1,问点P在何处时，二-匸最小?【答案】作AE_CD ,垂足为E,则 CE =9, DE =6 ,设 BC =x,tan CAE + tan DAE1 -tan CAE tan DAE则tan CAD =tan( CAE + DAE)第17题图增效，有一家公司现有职员2a人(1402a420,且a为偶数)，每

23、人每年可创利b万元据评估，在经答：BC 的长度为 18m1-9 6x x=1,化简得x2-15x-54=0,解之得x =18 或 x = -3 (舍)设 BP =t,则CP =18 _t(0 : t：18),2设f(t)227 + t,f (t)J:54t2_23,令化)=0,因为 0 拭：18,得t =15 6-27,当-t2+ 18t135(t -18t +135)t (0,15.6-27)时，f (t)：0,f (t)是减函数；当t (16-27,18)时，f (t)0,f(t)是增函数，所以，当t =15.6 -27时，f(t)取得最小值，即tan(:+ )取得最小值，因为-t2+ 1

24、8t -135：0恒成立,所以f(t)：0,所以tan(+-) 0,S在（0，b】递增，故当x=b时，也当心宁1时，在冷呼1I 上，S0，S 递增，在 XE宁1时，宁|2.16.（苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且.ABC =120，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴 影部分所示，已知.ACD =60，路宽AD =24米，设灯柱高AB=h（米），ACB-：I（30）45）（1）求灯柱的高h（用 v 表示）;（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S,求S关于二的函数表达

25、式，并求出S的最小值.AD【答案】l，b 上，S0, S 递减，故当I2丿17.（南京市、 盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷）将一张长 8cm,宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕（线段）将纸片分成两部分,面积分别为Sen2, Scnf,其中S6,故当I=4 时,折痕必定是情形.2 2设Ah=xcm,AN=ycm,则x+y=16.22因为x+y2xy,当且仅当x=y时取等号，尺3-j魚妁.心厂超001那:冷卩賀dG沿乩恥。 宀八 :】 越逋詡主詁匸1；2JliM ” StP.：. n弃心 :”-r H；：.LZACD疋蚩2电例电斜冷匚.八:亠.：；：_ AB巒 嵌辽A

26、fi厂中 sm凉W伯丄鯉-“血妙卿萨俺汕1对“f票:細血杯：吏氐叱中! 丁_K卑益亡八;iiC ZD.4C至n 5五敲二底虫豐二曼n J2就减谢朋:-硏-确谆戡艮血刃毎知ibM.茫：於罰如潭 s “.剧渤匡葩云甬神砧啸站场往亀/斑癇越細士納二懑披蠢朋W2黔 财豹炯【编号】125【难度】 较难fCsj-ii（情形）（情形）NB1所以 Sxy0.故f (X)0wxw8,由 c 16 c0w亍-xw8,所以I= 6? + (xy)2=6 + 4(x 8)2,0wxw136.2 訂 145所以I的范围为6,3；当折痕是情形时，设BN=xcm,AMfycm,则(x+y)x8=16,即丄 0wxw6,ZR由0w4-xw6,得0wxw4.所以I= 8 + (x-y) L 8 + 4(x-2)2, 0wxw4.所以I的取值范围为8,45.综上,I的取值范围为6,4 ,5(2013 届江