行列式的例题

1、行列式的例题 一直接用行列式的性质计算行列式1 试证明bccaababcbiCiCiaiaibi2aibiCib2C2C2a2a2b2a2b2C2再用初等变换化简得证明：先用行列式的加法性质拆第一列,bc aac aa bbiciaaCiaia bb2C2a：a：C2 a2a2b2b c aca bbjciaicabb?C2a?c?a?b?GCiQC2C2a2bcaabbiciaiaibib2C2a2a2b2a bai bia2 b22 计算n阶行列式a1 b ai b2 a? b( a? b?aiDnbn a2bnan D anb2anbnb c ab c ab c ab c ab c a2

2、b c ab?C2a?b?c?a?b?c?a?=右解：当 n=i 时，Di=ai+bi ,当 n=2 时，D2= (ai+bi) (a2+b2)- (ai+b2) (a2+bi)=(ai-a2) (bi-b2)当n3寸，将第一行乘(-i)加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即abaib2aibna?aa?aia?aiDna3aia3aia3ai0anaanaianai综上所述q b,n 1Dn(aia2)(bb2),n 2。0,n33. n阶行列式D中每一个元素aj分别用数bi-j(b丰去乘得到另一个行列式Di , 试证明Di=D o证明：首先将行列式D的每行分别提出bb2,出,再由每列分别

3、提出b-1,b-2,bn 可得.1 1anb.1 2a12b.1 namb.2 1a21b.2 2a22b.2 na2nbJ 1ab.n 2an2b n nannbDi2a)1b1b 1a12b1ba1nb1b na21b2b 1a22b2b 2an1bnb 1(b1b2(b1b2a11b 1aba21b 1a22bamb 1an 2bbn)an2bnb 2bn)(b1b/3nnbnb n2 n amb2 n a2nb2 n annba11a12a1 na21a22a2nan1an2annbn)a2nb2b na11a12a21a22an1an2a2nann4已知A1 235553 252 2

4、 24 654 53 34 2,求1 1(1) A51+2A52+3A53+4A54+5A55;三角形行列式计算(2) A31+A32+A33 及 A34+A35 解：由行列式的性质可知1234555533(1) A51+2A 52+3A53+4A54+5A55=325422221112345012345555335A31+5A32+5A33+3A34+3A 35 =555332221146523012345555332A31+2A32+A 33+A 34+A 35 =222112221146523解出 A31+A32+A 33=0, A34+A35 =C。0二禾I用行列式的性质化为上(下)1

5、.计算n阶行列式Dnanan 1a2解：(解法1)依次按第 依次换到第一行得a1xi列的x倍加到第i-1列去(i=n,n-1,2),再将最后1行Dnana1x111xana1x(1)n=Xn+a1Xn-1 +a n .(解法2)直接按第n行展开Dn=an(-1)n+1(-1)n-1+an-1(-1) n+2X(-1) n-2+ +(-1)n+n(a1+x)xn-1n-1 , n =an+an-1x+ +a1x +x(解法3)递推法，按第一列展开得Dn =xD n-1 +a n(-1)n+1(-1)n-1 =xD n-1 +a n=x(Dn-2+an-1)+an=x n-1D1+a 2君2+an

6、=xn-1(a1+x)+a 2xn-2+annn-1n-2=xn+a1x +a2 x +an。2 计算n阶行列式1 2 3n2 3 41Dnn 1 n 1n 2n 1 2n 1解：依次将第i行乘(-1)加到第i+1行(i=n-1, n-2,1),再将第2, 3,，n 列全加到第1列。123n1111 nDn111 n11 1 n 11n(n 1)220 1n(n 1)2 1再将n-1阶行列式的第1行乘（-1）加到其余各行后，将第1, 2,，n-2列全 加到第n-1列，得1n(n 1)Fn1n(n 1)_2-=n(n+1)/2 (-1)(n-1)(n-2)/2(-n)n_2(-1) =n(n+1

7、)/2 (-1)(n-1)n/2 nn-2三利用递推法计算行列式1.计算n阶行列式a x a aa ayx 00 0Dn0y x0 00 0 0y x解：将行列式按第n列展开，可得y xy xDnxDn 1 a( 1)iXy =xD n-1 +ayn-1Dn= xDn-1+ayn -1=x(xD n-2+ayn-2)+ ayn-1= =xn-1D1+ayn -1 +ay n-2x+ +ayxn2 二xn+a(x n-1+xn-2y+ +xyn-2+yn-1) 注：此题可按第一行展开即得结果。2 计算n阶行列式0 00 00 01(a 1)n(a n)n(a 1)n1(ann)1Dn010 0

8、0解：将行列式按第一行展开，可得Dn=(a+ B)Dn-i - a BD-2-Dn-aDn-1 = B (Bl - aDn-2)=目(Dn-2 - aDn-3)= Bn-2(D2 -aDi)T Di=a+ B , D2 = (a+)B-Dn-aDn-1 = B , Dn-1 - aDn-2 = B ,D2 - aDi = B , 将上述n-1个子式分别乘1 , a , a2,，an-2后再相加得 Dn = an-1D1 + Bn +a Bn-1 + + an-2 B2=an+an-1 B+an-2 B2 + + a Bn-1+ Bn 四利用范德蒙行列式计算和证明1. 计算n阶行列式1Dn 1解

9、：把Dn+1的第n+1行换到第1行，第n行换到第2行，同时将Dn+1的 第n+1列换到第1列，第n列依次换到第2列，再有范德蒙行列式，得Dn 11 1an a n 1(a n)n (a n 1)n1an an!(n 1)!2!(i j)。1 j i n 12已知方程1 1 1 1 1 1 111111123141523XXX15120，求 X。解：由行列式的加法性质，原方程可化为11111111124812481141502512.23.231 x x x1 x x x1111111112481 23 x139271 49x2“234C亠一31 x x x1 827 x=(2-1)(3-1)(

10、3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0得 x=1 或 x=2 或 x=3。五行列式的应用点的充1.证明三条不同的直线 ax+by+c=0 , bx+cy+a=0 , cx+ay+b=0 相交于 分必要条件是a+b+c=0。证明先证“必要性”：设三直线交于一点，即方程组ax by cz 0bx cy az 0有一解(x0 ,y0 ,1)，即方程组有非零解，cx ay bz0ab c由克莱姆法则知bc a0ca ba b cabc ab c a b c即b c abcacabcab1111 11(a b c)bca(ab c)0 c ba bcab0 a cb c=(a+b+c)(c-b)(b-c)-(a-c)(a-b)=(a+b+c )(ab+ac+bc-a-b2-c2)=-(a+b+c )/ 2(a-b)2 +(b-c)2 +(a-c)2)=0当a=b=c时等号成立，这时与三直线互异矛盾 故只能a+b+c=0 .再证“充分性”：a b c当 a+b+c=0 时，b c a 0cabax by cz 0即bx cy az 0有非零解，不妨取(xo ,yo ,1),所以三直线有交点，而三直线ex ay bz 0互异，故必有唯一交点。2 求一个一元二次多项式 f(x)，使满足 f(1)=0,f(2)=3,f(-3)=28 解：设所求多项式为f(x