2019年广州市高二数学竞赛试题

1、2019 年广州市高二数学竞赛试题考生注意：1用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上;2不准使用计算器；3.考试用时 120120 分钟，全卷满分 150150 分.、选择题：本大题共 4 4 小题，每小题 6 6 分，满分 2424 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 1 .已知函数f x= = x x3sinx 1x R，若 f f （a a） = = 2 2，则f （-a）的值为（）（）.A A.-2B B.-1C C.0D D.1n *2 2.已知数列an的通项公式a log2n N, ,设其前 n n 项和为& ,则使-4成n +1立的自然数门有

2、（ ）.A A .最大值 1515B B .最小值 1515C C.最大值 1616D D .最小值 1616a =sin(sin2011),b =sin(cos2011),c =cos(sin2011),) ).a :：: b : cc : b :：a、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题 6 6 分，满分 3636 分.5 5.若过定点 M M -1,0-1,0 且斜率为k的直线与圆x24x y2-5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是二_.6 6.在棱长为 1 1 的正方体 ABCDABCD - - ABCQABCQ 内任取一点P，则点P到点A的距离不大于 1 1 的概201

3、9.5.15a,b,c的大小关系是B B.b：a：c3 3 .如图所示的程序框图，若输入C C. -1-1D D . - - 3 3A A.3 3B B.1 1n =5,则输出的n值为（） .率为 * *7 7 .在iABC中，M是BC的中点，AM | =1,点P在AM上且满足 APAP = = 2PM2PM ,则PA PB PC等于二_ .&在 ABCABC 中，若tan Atan B =1，则sin C二_.I12丿9 9.在R上定义运算：:x ：y = x(1 - y).若不等式(x -a (x a) : 1对任意实数X成立，贝U a的取值范围是 _*_ .1010面积为S的平面

4、凸四边形的第i条边的边长记为 q qi =1,2,3,4，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h( =123,4)，若a=a_a=a=k，则(ih)空.类比以上性质，体1234 一 k k积为V三棱锥的第i个面的面积记为S(i =1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记 为Hi(i=1,2,3,4)，若 二色二=K，则J(比)=_ .1234y三、解答题：本大题共5 5 小题，满分 9090 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.1111 . ( 1515 分)已知向量a =sinx,cosx,b =6sin x cosx,7sin x -2cosx,设函数f f x x

5、二 a a b-b- 2 2 .(1 1)求函数f x的最大值，并求取得最大值时x的值；(2 2)在A为锐角的UABC中，A、B、C的对边分别为a、b、C，若f A =4且厶ABC的面积为3,b 2 3 2，求a的值.1212. ( 1515 分)如图，已知多面体 ABCDEABCDE 中，ABAB 丄平面 ACDACD , DEDE 丄平面 ACDACD ,ACAC = ADAD = CDCD = DEDE = 2a2a, ABAB = a a, F F 为 CECE 的中点.(1(1)求证 BFBF 丄平面 CDECDE ;(2 2)求多面体 ABCDEABCDE 的体积;(3(3)求平面

6、 BCEBCE 和平面 ACDACD 所成的锐二面角的大小.2 21313. ( 2020 分)已知椭圆 笃当=1=1 (a b 0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.a b(1) 若e二辽，求椭圆的方程；2(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点，M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点0在以MN为直径的圆上，且丄*e_亠，求k的取值范围.2 2 2 2B BA AC CD DE Ex x 亠 b bf f（x x）=2=2 上（a,bR R 且 a a = = 0 0）是奇函数，当X=1时，f（x）axax +1+1b的值；（2）设曲线y=f（x）在点（xo,f（x0）处的切线I与 y y 轴的交点为（0,t0,t），求实数t的取值范围.1414. （ 2020