坐标系与参数方程知识点总结与题型归纳

1、坐标系与参数方程知识点总结与题型归纳知识总结一、平面直角坐标系1. 平面直角坐标系(1) 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴.数轴上的点与实 数之间可以建立对应关系.(2) 平面直角坐标系： 定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐 标系，简称为直角坐标系； 数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置， 取向右与向上的 方向分别为两条数轴的正方向； 坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴， x轴或y轴统称为坐标轴； 坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； 对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对 (x，y)之间可以建

2、立对应关系.(3) 距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点Pi(xi，yi)，P2(x2,y2)，线段P1P2的中点为P,填表：两点间的距离公式中点P的坐标公式|PiP2| =寸(xi x2) 2+(yi y2)2xi + x2x= 2yi + y2尸22. 平面直角坐标系中的伸缩变换x'=入 x( »0)设点P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换©:,的y =卩 y (p>0)作用下，点P(x, y)对应到点P'x(, y',)称©为平面直角坐标系中的坐标伸缩变 换，简称伸缩变换.二、极坐标系1极坐标系定义：在平

3、面内取一个定点 0,叫做极点；自极点0引一条射线 Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位 (通常取弧度)及其正方向(通 常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.2极坐标：(1) 极坐标的定义：设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M 的极径，记为p;以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角xOM叫做点M的极 角，记为有序数对(p, 0)叫做点M的极坐标，记作M(p, 0).(2) 极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点 0的极坐标是(0, 0 , (0 R)，若点M的极坐标是M( p, 0，则点M的极坐标也可写成 M( p,9+ 2kn, (k Z).若规

4、定p>0, 0<9<2 n则除极点外极坐标系内的点与有序数对(p, 9之间才 是一一对应关系.3. 极坐标与直角坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同， 设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x, y), (p, 0).x= pcos 9,p = x + y，(1)极坐标化直角坐标；(2)直角坐标化极坐标yy= pin 0W.tan 9=(x0 .x、简单曲线的极坐标方程1 曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(p, 0)=o,并且坐标适合方程f(p 9 = 0的点都在曲线C上，那

5、么 方程f(p, 9=o叫做曲线C的极坐标方程.2.圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(o, o)p=r（o 司<2 n）圆心在点(r, o)p= 2rcos_0nn（2匹）t,0s圆心在点(r, np= 2rsin_0（o n）ai圆心在点(r, n)p= 2rcos_0n 3 n（2=92）1¥、亠-3 n圆心在点(r,刁)p= 2rsin_0（n<= o）ICTI(2)般情形:设圆心C( p, 0),半径为r, M( P 0)为圆上任意一点,则|CM|= r,/ COM=| 9- 0o|,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p2 2

6、po pcos( A 9)+ pr2 = 0 即o 2 o COS（ o）3.直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为 0= o( p R)或 0= a+ ( p R)/a 0= o( p> 0)和 0= n+ a( p> 0)/& *过点(a，0),且与nnJ V-J V-pos_ = a 2<极轴垂直0”土n过点a，2，且与pin 0= a2极轴平行(0< 0< n)0 *过点(a，0)倾斜角pi n( a 0= asin a为a(0< 0< n)0 *(2)般情形，设直线I过点P(p,町，倾斜角为a,

7、M( p 9为直线I上的动点，则在 OPM中利用正弦定理可得直线I的极坐标方程为pin( a- 9)=psin( a 9).四、曲线的参数方程1. 参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, yx=f (t)都是某个变数t的函数：，并且对于t的每一个允许值，由方程组y=g (t)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给 出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.(2)参数的意义：参数是联系变数 x, y的桥梁，可以是有物理意义或几何意 义的变数，也可以是没有明

8、显实际意义的变数.2 参数方程与普通方程的区别与联系(1) 区别：普通方程F(x, y) = 0,直接给出了曲线上点的坐标 x，y之间的关x=f (t)系，它含有x, y两个变量；参数方程(t为参数)间接给出了曲线上点y= g (t)的坐标x, y之间的关系，它含有三个变量t, x, y,其中x和y都是参数t的函 数.(2) 联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t的一个值，就可以求出唯一对应的x, y的值.这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程， 而通过引入参数，也可把普通方程化

9、为参数方程.3.圆的参数方程(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程设M(x, y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为9,则以B为参数的x= rcos 0圆O的参数方程是(0为参数).y= rs in 0其中参数0的几何意义是OMo绕O点逆时针旋转到OM的位置时转过的角度(2)设动点M在圆上从Mo点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为3,x= rcos 3t 则OMo经过时间t转过的角0=3$则以t为参数的圆O的参数方程为y= rsin 3t(t 为参数)其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间.(2)圆心为C(a, b)，半径为r的圆的参数方程圆心为(a, b),半径为r的圆的

10、参数方程可以看成将圆心在原点，半径为 rx= arcos 0， 的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为(0为参数).y= brsin 04. 参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程 的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化.(2) 将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型.参数方程通过消去参数就可得到普通方程.(3) 普通方程化参数方程，首先确定变数x， y 中的一个与参数 t 的关系，例x= f( t)如x= f(t),其次将x= f(t)代入普通方程解出y= g(t),则(t为参数)就是y=

11、 g( t)曲线的参数方程.(4) 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致.五、圆锥曲线的参数方程1 椭圆的参数方程2 2中心在原点，焦点在x= acos ©(©是参数)，规定参数y= bsin ©(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆 a + b2 = 1(a>b>0)的参数方程是©的取值范围是0, 2n)2 2轴上的椭圆+器=1(a>b>0)的参数方程是x= bcos ©(©是参数)，规定参数©的取值范围是0, 2 n )y= asin ©(x h) 2(y k)

12、2中心在(h，k)的椭圆普通方程为孑 +b2= 1,则其参数方程x= h + acos ©为(©是参数).y= k+ bsi n ©2. 双曲线的参数方程x2 y2x= asec ©(1) 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线子一1的参数方程是(©y= bta n ©n 3 n 为参数)，规定参数©的取值范围为© 0，2 n且©空，©右.y2 x2x= bta n ©(2) 中心在原点，焦点在y轴上的双曲线字一1的参数方程是(©y= asec ©为参数).3. 抛物线的

13、参数方程2 x= 2pt2(1) 抛物线y2 = 2px的参数方程为(t为参数).y= 2pt(2) 参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的 倒数.六、直线的参数方程1. 直线的参数方程X = xo+ tcos a 经过点Mo（xo, yo）,倾斜角为a的直线I的参数方程为（t为参y=yo+ tsin a数）2. 直线的参数方程中参数t的几何意义参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点Mo的距离.（2）当 M0M与e（直线的单位方向向量）同向时，t取正数.当M0M与e反向时，t取负数，当M与Mo重合时，t = 0.3. 直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，

14、选取的参数不同，会得到不同的参数方程.我们把过点Mo（xo，yo），倾斜角为a的直线，选取参数t= MoM得到的参数方程X= xo + tcos a（t为参数）称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t有明确的几 y= yo + tsin a何意义.bx=xo+ at一般地，过点Mo（xo,yo）,斜率k=a（a,b为常数）的直线，参数方程为ay=yo+ bt（t为参数）,称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义.题型归纳题型一：极坐标与直角坐标的互化。互化原理（三角函数定义）、数形结合。x 3 t1 .在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为（t为参数），以O为极y

15、 1 t点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为2cos 0 .（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程;（2）求直线I与曲线C的交点的极坐标（0,0试题解析：（1 ）由 2cos 0得 2 cos，两边同乘以 ，得x2 y2 2x ; （2 ）由直线1的参数方程为；i3tt（ t为参数）'得直线的普通方程为x1x2x y 2 0，联立曲线C与直线I的方程得，或，化为极坐标为y1y 0（、2，L）或 （2,）.4考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化 考点： cos x, sin2 .在极坐标系中，设圆C经过

16、点J3,，圆心是直线 sin 63与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.试题解析:转化为直角坐标为:2仝的直角坐标方程为:2.3x y .30它与x轴的交点也就是圆心为1,0 所以2 2所以圆的方程为x 1y21，得 x2y22x 0所以，圆的极坐标方程为:2cos法二：因为圆心为直线 sin.2sin 一3与极轴的交点，所以令0,得即圆心是1,0又圆C经过点气，圆的半径r圆过原点，圆C的极坐标方程是2cos .考点：(1 )转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；(2)先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标 方程题型二：曲线(圆与椭圆)的参数方程。(1)普通方程互

17、化和最值问题。“ 1 ”的代换(cossin21)、三角解决x 2cos3 .已知曲线C的参数方程是 2cos ,(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的 y sin正半轴为极轴建立极坐标系，A,B的极坐标分别为A(2, ),B(2,).3(I)求直线AB的直角坐标方程；(U)设M为曲线C上的点，求点M到直线AB距离的最大值.试题解析：(I)将 A、B 化为直角坐标为 A(2cos ,2sin ), B(2cos,2si n )， 33即 A( 2,0), B( 1,3)，kAB 3 -3，1 2 直线AB 的方程为 y 02)，即 3x y 2 3 0 .(U)设M(2cos ,sin )，它到

18、直线AB的距离为2 3cos sin 2 3213sin() 2 3(其中 tan2,3 )，d max13 2 32考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值.x|t 2,45( t 为5参数）.设直线I与x轴的交点是M , N是曲线C上一动点，求MN的最大值.试题解析：曲线C的极坐标方程可化为2 sin2 2 2又 x y , x cos , ysin.已知曲线C的极坐标方程是 2sin ，直线I的参数方程是xx2 2所以曲线C的直角坐标方程为x y 2y将直线1的参数方程化为直角坐标方程，得y 4(x 2)xx令y 0，得x 56、5 1考点：极坐标化为直角坐标

19、，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系t 5 .已知在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程是 L（t是参y 虫 t 42数），以原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2cos. （1 ）判断直线I与曲线C的位置关系；（2）设M为曲线C上任意一点，求x y的取值范围.试题解析：（1）直线I的普通方程为x y 4、2 0，即M点的坐标为（2，又曲线C的圆心坐标为（1，0）， 半径r 1，则MC 屁，所以MN w MC法二：设N的坐标为cos ,1 sin2所以 |MN| J cos 2(1 sin )2曲线c的直角坐标系下的方程为x#2 y乎因为圆心子，子到直线

20、 2y 1 y 4 2 0的距离为d所以直线I与曲线C的的位置关系为相离.(2)设点 M 2 cos ,2 sin ，2 2则 x y cos sin 2sin 7.2.2 .考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程6 已知平面直角坐标系xOy，以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，p点的极坐标为x 2cos2- 3,），曲线C的参数方程为一6yV3 2sin（为参数）.（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线I :cos 2 sin距离的最小值.试题解析：（1）点P的直角坐标（3, 3），由yx 2cos3 2sin，得 x2 (

21、y所以曲线C的直角坐标方程为x2(y 3)24.（2）曲线C的参数方程为2cos、3 2sin（为参数），直线I的普通方程为设 Q(2cos3则 m(3 cos，sin），那么点M到直线I的距离|3 cos d -22s in 1|J5所以点M到直线I的最小距离为 1.2考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到 直线的距离.(2)公共点问题。联立求解判别式，直线与圆d与r。x - 3 cos sin7 .在直角坐标系中曲线M的参数方程为厂2 (为y 2 3sin cos 2sin 2参数)若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线N的

22、极坐标方程为 sin()-t .42(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;试题解析：(1)由x3 cossin 得x 得辽 sin 2 cos 2， 2 2 2 2所以 sin cos t， 所以曲线N的直角坐标方程为x (2)当直线N过点(2,3)时，与曲线M有公共点，此时tx y t( . 3 cos2sin )22cos2、, 3 si n cos 1，又由 y 2、-3sincos2sin22 得 2 3sin cosy 2sin22(2)若曲线M与曲线N有公共点，求实数t的取值范围.1，所以曲线M的普通方程为x2y 1，即 y x2又易知x 2,2，二曲线M的普通方程为yx

23、21， x2,2 .由sin(匸)5，从该位置向左下1 4(1 t)，令 1 4(1 t) 0 ,解得 t打5，所求实数t的取值5范围是 ,5 .4考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化;3、直线与抛物线的位置关系.xOy取相同的8.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为xa 3t,（t为参数）.在极坐标系（以原点0为极点，以x轴非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位）中，圆c的方程为4cos（I）求圆C的直角坐标方程;（U）若直线I与圆C相切，求实数a的值.55试题解析:（I）由 4cos24 cosx2y2 4x (x 2)2 y2圆C的直角坐标方程为（X

24、 2）2 2.y 42 2(或x y 4x 0);（U）直线l的参数方程为xya 、3t,t55圆C的圆心为C（2，°），半径r 由直线l与圆C相切，得詔考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.9 .在极坐标系中，直线I的极坐标方程为'-2 sin- mm4R ，以极点为原点极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为x 、'3cos（为参数，且0,）.y sin（1）写出直线I的直角坐标方程和曲线C的普通方程;（2）若直线I与曲线C有两个公共点，求m的取值范围.题型三：直线参数方程t的几何意义）。定点到动点的距离试题解析：（1）由直线l的极坐标

25、方程得：、2 sin cos cos sin- m，44即直线1的直角坐标方程为:yxm，由曲线C的参数方程 xa/3 cos (为参数，且0,).ysin2 2得：x得: 32 x2yy31,y0,1(2 )设曲线C上任意一点为J . 3 cos,sin，则m sin.3 cos2sin370,Q直线l与曲线C有两个公共点，m、3,2 .考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换.定标图号联、韦达三定理x-ix2x1x2x(x210 .在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为1 222（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆

26、C的极坐标方程为2.5sin .（1）求圆C的直角坐标方程；（2） 设圆C与直线I交于点A,B，若点P的坐标为（1,75），求|PA |PB .试题解析：（1）由 2-、5sin ，得 x2 y2 2 5y 0，即 x2 （y ；5）25.(2)将I的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得(1 t)2 ( 2t)25,2 2即 t2 、,2t 4 0.由于 0，故可设右花，是上述方程的两实根,所以tl t2tl t2又直线I过点p(i,、5)，故由上式及t的几何意义得PA| |PB| 材 |ti t2考点：1曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2直线的参数方程的应用.11 在直角坐标系xoy中，过点

27、P(i, 2)的直线I的斜率为1，以坐标原点为极 点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 sin2 2cos 直线I和曲线C的交点为A, B (1) 求直线I的参数方程；(2) 求 |PA|PB|J2试题解析：(I)由条件知，直线I的倾斜角 45，所以cos sin -.2设点M (x,y)是直线I上的任意一点，点P到点M的有向向量为t，2(“)曲线C的直角坐标方程为/ 2x,由此得(2子t)2 2(1 l2t),即 t2 6 2t 4 0.设t1,t2为此方程的两个根，因为I和C的交点为A, B ,所以Lt分别是点代B所对应的参数，由韦达定理得 PA PB = |tit4考

28、点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程12 在直角坐标系xOy中，以原点为0极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为4-.2cos( ).4(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;11PB的值.试题解析：(1)由 4-、2sin(3)，可得 4cos 4sin42 2 24 cos 4 sin ，二x y 4x 4y，即(x22)(y22)(2)过点P(0,2)作斜率为.3的直线I的参数方程为(t为参数).2 2 2代入(x 2) (y 2)8得t 2t 40，设点代B对应的参数分别为t1,t2，则t1t24.由t的几何意义可得tit2ti |t2t1 t2|t1t2(2)过点P(2,0)作斜率为1直线I与圆C交于代B两点，试求-pAPA, PB .)(注：此题也可直接求A, B两点坐标，再用两点间的距离公式求出考点：1.曲线的极坐标方程、参数方程和普通方程的转化；2.直线与圆的位置关系.x 1 t cos13 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极y 2 tsin坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点