有限字长效应和量化误差-哈工大

1、有限字长效应和量化误差2目录数字运算的有限字长效应A/D采样的量化效应数字滤波器的系数量化效应定点运算的有限字长效应23数字滤波器的系数量化效应数字滤波器系统函数中的系数量化影响零极点位置，从而影响系统稳定性34数字滤波器的系数量化效应滤波器系统函数：滤波器系统函数： 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z 理论设计出的理论设计出的理想理想数字滤波器系统函数各系数数字滤波器系统函数各系数均为均为无限精度无限精度；但在实际实现时，滤波器的所有系数；但在实际实现时，滤波器的所有系数是以是以有限长有限长的的二进制码二进制码形式存放在存储器中。因此，必

2、须形式存放在存储器中。因此，必须对理想的系数加以对理想的系数加以量化量化。,kka b必须对必须对 进行量化处理进行量化处理,kka b4背景知识5数字滤波器的系数量化效应系统函数： 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z 系数量化后，得到,kkab ,kkab kkkkkkaaabbb 系数量化误差 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z 量化后的系统函数：系统的零极点受到影响系统的稳定性受到影响5背景知识6数字滤波器的系数量化效应系统的零极点受到影响系统的零极点受到影响系统的稳定性受到影响系

3、统的稳定性受到影响系数量化系数量化系统的结构系统的结构直直接接 型型直直接接 型型级级联联结结构构并并联联结结构构III6背景知识7数字滤波器的系数量化效应1、系数量化对滤波器稳定性的影响、系数量化对滤波器稳定性的影响2、系统零极点位置对系数量化的灵敏度、系统零极点位置对系数量化的灵敏度78数字滤波器的系数量化效应1、系数量化对滤波器稳定性的影响、系数量化对滤波器稳定性的影响稳定性稳定性极点极点FIR滤波器在z=0处有高阶极点系数量化误差影响零点位置不影响滤波器的稳定性IIR滤波器可能存在多个极点系数量化误差影响极点位置影响滤波器的稳定性89数字滤波器的系数量化效应1、系数量化对滤波器稳定性的

4、影响、系数量化对滤波器稳定性的影响IIR滤波器假设：稳定的因果的IIR数字滤波器，具有窄带低通频率特性极点都在单位圆内且聚集在z=1附近ka存在于系统函数的 中，假设某系数 由于量化引入误差 后变为 。 A zrara ra“舍入舍入”量化量化 rrraaa系统函数的分母多项式变为： 101( )1( )1NNkrrkrrikiA za za zA za zp z判断：系数量化后的系统极点是否在单位圆上或单位圆外。？9第 个极点 ，它与点 的距离用 表示，有 ，其中，i1iipp 1z 1ipipip10只要有一个系数发生很微小的变化，系统就可能失去稳定。只要有一个系数发生很微小的变化，系统就

5、可能失去稳定。1rai1 1ipp 或或数字滤波器的系数量化效应1、系数量化对滤波器稳定性的影响、系数量化对滤波器稳定性的影响IIR滤波器0( )1( )NkrrkrrkA za za zA za z 反推：反推： 假设有一个极点移到单位圆上，即假设有一个极点移到单位圆上，即 z=1(1)(1)0rAAa101111(1)111NNNrkiikiizzaAap zp 极点聚集极点聚集在在z=1z=1附近附近结论：结论： 反馈回路的反馈回路的阶次阶次N N越高，滤波器的系数量化误差的绝对值越小，越高，滤波器的系数量化误差的绝对值越小，滤波器越容易变得不稳定。滤波器越容易变得不稳定。1011当系数

6、用b位定点二进制小数表示，若b选为19，则系数的舍入误差绝对值将不会超过 ，从而保证滤波器工作稳定。202 为维持级联结构的稳定，只需维持3个一阶节稳定，b只需要用6个二进制数表示0.99即可。数字滤波器的系数量化效应1、系数量化对滤波器稳定性的影响、系数量化对滤波器稳定性的影响IIR滤波器系统结构不同，系数量化又是如何影响滤波器的稳定性。？举例举例说明：说明：三阶三阶IIR数字滤波器，为使滤波器保持稳定，对滤波器系数进行舍数字滤波器，为使滤波器保持稳定，对滤波器系数进行舍入量化处理时，至少应采用几位字长？：入量化处理时，至少应采用几位字长？：131( )(10.99)H zz 直接型：级联型

7、：在在z=0.99处有一个三阶处有一个三阶极点，且在极点，且在z=1附近。附近。结论：结论： A.A. 系数量化对滤波器的影响，不仅与字长有关，还与滤波器的结构有关。系数量化对滤波器的影响，不仅与字长有关，还与滤波器的结构有关。B.B. 与直接型相比，系统级联时，系数量化对滤波器的稳定性影响较小。与直接型相比，系统级联时，系数量化对滤波器的稳定性影响较小。11 x k1b2b y k1z 1z 3b1z x k y k1b2b3b1z 1z 1z 122、系统零极点位置对系数量化的灵敏度、系统零极点位置对系数量化的灵敏度数字滤波器的系数量化效应极点（零点）位置灵敏度极点（零点）位置灵敏度指每个

8、极点（零点）指每个极点（零点）位置位置对各对各系数偏差系数偏差的的敏感程度。敏感程度。极点灵敏度分析方法同样适用于极点灵敏度分析方法同样适用于零点零点，但是，但是极点极点对系统影响更大，直接影响对系统影响更大，直接影响到系统的到系统的稳定性稳定性。零点作用只是用来调整极点所引起的滤波器特性，且取决于它。零点作用只是用来调整极点所引起的滤波器特性，且取决于它与极点的与极点的相对位置相对位置。因此，主要分析。因此，主要分析极点变化极点变化的影响。的影响。 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z 系统的极点是系统的极点是 , 1,2, ipiN ,

9、1,2,iiipppiN为极点位置的偏差值，是由各系数偏差为极点位置的偏差值，是由各系数偏差 引起的。引起的。kaip1 , 1,2,NiikkkppaiNa 关系式中，关系式中， 表示极点表示极点 对系数对系数 变化的灵敏度。变化的灵敏度。ikpa ipka12132、系统零极点位置对系数量化的灵敏度、系统零极点位置对系数量化的灵敏度数字滤波器的系数量化效应1 , 1,2,NiikkkppaiNa ikpa 决定系数 的偏差 对极点位置偏差 的影响程度。kaipka值越大， 对 的影响越大；kaip值越小， 对 的影响越小；kaip？复合函数的微分法则：( )( )iiiikkzpzppA

10、zA zpaa ( )( )iikkizppA zaaA zp 101101111MMkkikiNNkkikib zz zB zH zA za zp z ( )kkA zza 1( )()NNllil iA zzzpp 极点位置灵敏度：1()NkiiNkilll ippapp 11()NkNiikNkilll ippapp 极点 的偏差量：ip13142、系统零极点位置对系数量化的灵敏度、系统零极点位置对系数量化的灵敏度数字滤波器的系数量化效应分母中每个 是一个由 指向 的矢量，而整个分母为所有其他极点 指向该极点的矢量积。此矢量越长，即极点彼此间距越远时，极点位置灵敏度越低；矢量越短，即极点

11、彼此越密集时，极点位置灵敏度越高。ilpp lpip()lp li 对于高阶系统来说，应避免采用直接型结构，而应采用级联或并联结构。对于高阶系统来说，应避免采用直接型结构，而应采用级联或并联结构。极点数目极点密集程度系数量化误差敏感程度高阶直接型多密集敏感低阶直接型少较稀疏较敏感级联或并联少很稀疏不敏感表1 系统结构不同，影响不同结论：结论：11()NkNiikNkilll ippapp 1415数字滤波器的系数量化效应00.20.40.60.81-80-70-60-50-40-30-20-100 / 对数幅度，dB增益 原始量化后00.20.40.60.8100.20.40.60.81 /

12、幅度|H| 原始量化后直接型结构15实验：切比雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 ，阻带衰减 ，低通截止频率00.6w 0.5pR 50dBsR 16数字滤波器的系数量化效应-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part原始极零点分布图 零点极点-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的极零点

13、分布图 零点极点直接型结构16实验：切比雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 ，阻带衰减 ，低通截止频率00.6w 0.5pR 50dBsR 17数字滤波器的系数量化效应-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part原始极零点分布图 零点极点-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的极零点分布图

14、 零点极点直接型结构17实验：切比雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 ，阻带衰减 ，低通截止频率00.6w 0.5pR 50dBsR 极点量化前量化后1-0.2976+0.8808i-0.3047+0.8868i2-0.2976-0.8808i-0.3047-0.8868i3-0.0436+0.7522i0.0060+0.7322i4-0.0436-0.7522i0.0060-0.7322i50.3353+0.3550i0.2987+0.3311i60.3353-0.3

15、550i0.2987-0.3311i18数字滤波器的系数量化效应00.20.40.60.81-80-70-60-50-40-30-20-100 / 对数幅度，dB增益 原始量化后00.20.40.60.8100.20.40.60.81 / 幅度|H| 原始量化后级联型结构18实验：切比雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 ，阻带衰减 ，低通截止频率00.6w 0.5pR 50dBsR 19数字滤波器的系数量化效应-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1

16、-0.500.511.5Real PartImaginary Part原始极零点分布图 零点极点-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的极零点分布图 零点极点级联型结构19实验：切比雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 ，阻带衰减 ，低通截止频率00.6w 0.5pR 50dBsR 20-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Rea

17、l PartImaginary Part原始极零点分布图 零点极点-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的极零点分布图 零点极点数字滤波器的系数量化效应级联型结构-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part原始极零点分布图 零点极点-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5-1.5-1-0.500.511.5Real PartImaginary Part量化后的极零点分布图 零点极点直接型结构20实验：切比

18、雪夫IIR低通数字滤波器，验证系数量化效应对该滤波器的幅度特性和零 点、极点位置的影响。 截尾法进行量化，取b=5bit 。滤波器技术指标：阶次N=6，通带波纹 ，阻带衰减 ，低通截止频率00.6w 0.5pR 50dBsR 21定点运算的有限字长效应定点运算在滤波器中和FFT算法中的有限字长对输出误差造成影响21221、定点运算滤波器的有限字长效应、定点运算滤波器的有限字长效应2、定点运算、定点运算FFT算法的有限字长效应算法的有限字长效应定点运算的有限字长效应2223定点运算定点运算IIR滤波器滤波器定点运算定点运算FIR滤波器滤波器数字滤波器的基本运算数字滤波器的基本运算延时延时乘系数乘

19、系数相加相加由寄存器完成由寄存器完成定点二进制小数乘法定点二进制小数乘法定点二进制小数加法定点二进制小数加法 没有溢出问题，但没有溢出问题，但字长会增加字长会增加字长不会增加，会出字长不会增加，会出现溢出问题现溢出问题 每次相乘运算要后每次相乘运算要后截尾或截尾或舍入处理舍入处理两种类型滤波器两种类型滤波器定点运算的有限字长效应1、定点运算滤波器的有限字长效应、定点运算滤波器的有限字长效应IIR滤波器23 通过乘以适当的通过乘以适当的比例因子比例因子来解决来解决24（1） 所有误差是均值为零的平稳白噪声序列（2） 每个误差在它的量化范围内都是均匀分布的（3） 任何两个不同乘法器形成的误差互不相

20、关（4） 误差与输入及中间计算结果不相关误误差差作作出出假假设：设：定点运算的有限字长效应 ( )Q( )( )Q( )( )RRe nax nax ny ny n一次相乘运算后的舍入误差：理想输出 ,实际输出 ,总输出误差 : ( )( )( )y ny nr n( )y n ( )y n( )r n0( )reenmmh n 输出误差的均值：2220( )reenh n 输出误差的方差：结论：结论：A.A. 总的输出误差是所有输出误差的线性叠加。总的输出误差是所有输出误差的线性叠加。B.B. 总的输出误差的方差是每个输出误差方差之和。总的输出误差的方差是每个输出误差方差之和。1、定点运算滤

21、波器的有限字长效应、定点运算滤波器的有限字长效应IIR滤波器24输出端SNR25定点运算的有限字长效应2、定点运算、定点运算FFT算法的有限字长效应算法的有限字长效应DFT的定义式：的定义式： 10,0,1,1NnkNnX kx n WkN 总输出误差：总输出误差： 10,NnF ke n k nkNx n W nkRNQx n W 量化由四个实数乘法完成 nkNx n W一个复乘带来的舍入误差( , )e n k 12342Recos,2 Imsin,2 Imcos,2 Resin,nkRNQx n Wx nnken kNx nnken kNjx nnken kNjx nnken kN DF

22、T全为复数 , nkNx nW2jnknkNNWe 1234,e n ken ken ken ken k 其中：其中：2526定点运算的有限字长效应2、定点运算、定点运算FFT算法的有限字长效应算法的有限字长效应误差作出假设： 21122004,3bNNnnNEF kEe n kEe n k DFT ,1,2,3,4ien ki 1234,04en ken ken ken ke n k（1） 所有误差是均值为零，方差为 ，且为平稳白噪声序列（2） 每个误差在它的量化范围内都是均匀分布的（3） 任何两个误差互不相关（4） 所有误差与输入不相关，从而与输出也不想关412b 结果：结果： 244,4

23、123bbEe n k 误差均值：误差模的平方： 222221234,e n ken ken ken ken k 误差的方差：结论：结论：DFTDFT中的舍入量化影响输出误差的方差；误差的方差与中的舍入量化影响输出误差的方差；误差的方差与量化字长量化字长b b有关。有关。27定点运算的有限字长效应2、定点运算、定点运算FFT算法的有限字长效应算法的有限字长效应FFT 11rmmNmrmmNmXiXiW XjXjXiW Xj 蝶形计算蝶形计算( )mXi( )mXj1( )mXi ( )mXjrNW蝶形结构的定点舍入统计模型( )mXi( )mXj1( )mXi ( )mXjrNW(, )e m j基本蝶形结构蝶形计算加入舍入误差：蝶形计算加入舍入误差： 表示同一列中，一对蝶形节点在这一列中的位置。 , i j表示 与 相乘引起的舍入误差。( , )e m j( )mXjrNW 24,3bEe m j 2222,rrNNEe m j WWEe m jEe m j 一次复乘误差的方差：结论：结论： 误差通过所有蝶形运算其方差值不发生变化。误差通过所有蝶形运算其方