解几中过定点问题精编版

1、解析几何中过定点问题探究数学组冯立华 2015年10月一、直线过定点问题在直线方程中有一类含有一个参数，且该参数影响到直线的斜率，则要考虑直线过定点。一般有以下方式求出定点：1. 点斜式法：注意：将直线方程化成y-y°=k(x-xo)的形式，则定点坐标为(Xo,y°).例1 :已知直线ax -ky k = 0 ( a为常数，k = 0为参数)，不论k取何值，直线总过定点2. 分离系数法：注意：若已知方程是含有一个参数 m的直线系方程，则我们可以把系数中的mf(X y) 0分离出来，化为f (x, y)+mg(x, y) =0的形式.由丿 解出x和y的值，即 _g(x,y)

2、=0得定点坐标.例2 :无论m取何实数，直线(2m-1)x-(m 3) y-(m-11) = 0恒过定点，此定点坐标为3. 特殊值法：注意：取参数的两个特殊值可得两条直线的方程，求出它们的交点后，在验证交点坐标也适合所给直线方程.例3 :无论m取何实值，(3m4)x (2m) y，7m6 = 0所表示的直线恒过一定点，此定点坐标为、有关圆锥曲线中的直线过定点问题处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变 量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。例1： 设A、B是抛物线y2=2px (p>0) 上的两点，且 OA JOB,求证:(1) A、

3、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；(2) 直线AB经过一个定点。证明：(1)设 A (为，力)、B ( X2,y2)，则 yi =2pxi， y? "px?。y2 y?2 =2pxi 2px2=4p2XiX2 二-4p2yiy?，二丫2 二-4p2 为定值，2pyi y2X1X2 - -yiy4p2 也为定值。22 y(2)vy2 - yi=(y2yi)(y2yi)=2p(xiX2)，vx=X2，二-X2 Xi2pyiy2(x -2p)，二直线AB 过定点(2p，0)直线AB的方程为：2 22pyi 丄2p4py YiX-yiXyY2Yi + Y2Yi + y2 Yi +

4、目2错误！仅主文档A、B两点，点C在抛物线的准线上，且图2y =k(x 一)y2 =2pxy2-罕-p2"，例2:设抛物线y2 =2px (p> 0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于方法i:设直线方程为y二k (X-，-pA(xi, yi)，B (X2, y2)，。(寸,y?)，二 yiy2 一p2，t，匕土学，又V2yi2 =2pxi，：koc二出二k°A，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点0Xi当k不存在时，AB lx轴，同理可证koc二匕。方法2:如图2过A作AD l, D为垂足,则：AD EF /BC连结AC与EF相交于点N,则 |EN|_|CN|_

5、|BF| |NF | | AD| AC| AB |，|BC |他，由抛I AB| EN|AD| | BF |AB|AF|BC|AB|=|NF |.点评：该题的解答既可采用常规的坐标法,借助代数推理进行，又可采用圆物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理。 解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻性。练习:已知椭圆2 2十1上的两个动点P,Q及定点M1F为椭圆的左焦点,且PF , MF , QF成等差数列.（1 ）求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点 A ;（2段点A关于原点0的

6、对称点是B，求PB的最小值及相应的 P点坐标.补充：一种神奇的解法与高考试卷解析几何中的求过定点问题高考试卷解析几何中的求过定点或定值问题是高考重点考查内容，如2013年高考有陕西T20、江西T20等。解析几何的难点之一是运算量往往非常大，而且这个难点很不容易突破，是广大考生非常纠结的问题，本文给出一个神奇的方法，能非常简单解决这一类问题。 神奇之处有两点：（1 ）运算量少（从而出错机会少）。（2）联立方程不是消元，而化为齐次 式（亲，估计您从未见识过）。引理：过原点两直线与二次曲线一条直线与一个二次曲线交于两点A、B,如图；设直线AB方程为y = kx m 曲线方程为 ax2 by2 cxy

7、 dx e f =0（说明：此二次曲线甚至可以是“倾斜”的椭圆、即c屮0）V kx222将化为1, 化为ax by cxy dx 1 ey 1 f 1 =0m将1二红空代入（目的使将中所有项化为二次齐次式）得：mV -kxv - kx , y-kx 2ax by cxy dxeyf （）=0mmm显然是一个二次齐次式，且一定可化为Ay2 Bxy Cx 0即：A（V）2 B（-） C =0xx中丫的几何意义为 A、B两点（即AB直线与曲线的交点）与原点连线的斜率，即OA OBx的斜率，设为 k1,k2。由韦达定理知。从而，能通过最初的二次曲线和直线AB相交，得出OA OB的性质。倒过来，我们也可

8、以通过OA和OB的性质与二次曲线得出直线 AB的性质。下面谈一谈的这个引理的应用，先从简单的例1开始，因为简单的问题往往蕴含了最基 本的方法。二、应用举例2例1.抛物线V =2px,过原点的两条垂直的直线 OA OB交抛物线于 A B。求证：直 线AB过x轴上一定点。分析：知道OA与 OB的一个性质：垂直，从而可以从它得出AB的性质，进而得出定点。解：设AB: x = my n （:显然AB不能横着）2抛物线：V =2pxx -my化为1代入（目的化为二次齐次式）得nV2 =2px Sn2_2px S=0n可化为Ay2 Bxy Cx2 =0A（-）2 B（）C = 0xx其中A = 12pn2

9、pn又kOA kOB - -1 （因OA与OB垂直）-n =2p，- AB 恒过点（2p . 0）说明：没有必要求出 B值，因为目标与 B值无关，从而 减少了运算量!下面的这个例子是过一点引两直线，但此点不在原点的。怎么办呢。移轴！使该点为原 点，请看以下“分解”。例2。点P（x0, y0）是抛物线y2 =2px上任意一定点，PA, PB是抛物线的两条互相垂直的弦，求证：AB过定点。分析：注意到PA_PB，但可惜P不在原点，我们可以通过平移坐标轴，强行将其平移到原点，化为过原点的两直线与二次曲线相交问题。解：平移坐标系，使P为原点，则点P点0抛物线旧坐标系(x°,y。)(0,0)y2

10、 = 2px新坐标系(0,0)(-X0, -y0 )(y+ y°)2=2p(x + x0)在新坐标系下，设 AB： x = ny m2 2抛物线（y y0） = 2p（x x0）可化为 y 2y02p 0（注意常数项肯定为 0,因为抛物线过原点 P，故没有必要计算常数项）把化为1口X代入得寸.2yoy .口X 2PX UP =0mmm2y° nm ，2p。可化为 Ay2 Bxy Cx2 =0A(y)2 B(y) C =0其中 A =1xxPA_ PB. kPA kPB 二C1A m - 2 y0 n2p 2y0n = m。 AB： x = ny 2p 2y0n，即 x =

11、n( y 2y0) 2p-直线AB在新坐标系过点（2p,-2y°）在原坐标系过点（X0,2p,-y0）。说明：此题是例1的推广。此题若用常规法，运算量很大。略解如下：设直线AB： x二ny m代入抛物线方程 y2 =2px得：y2 = 2 p（ny m）整理得：y2-2p ny-2pm=0，设A、B两点坐标分别为 区畀），（x2, y2）则Y1、2=2 pn，屮 y2 =2pm又 PA PB= & -X0）（X2 -X。）（如 - y°）（y2 -y。）=0（丫2）2 （y1 y2）2 一2丫1丫2. 2 .（ . . 2 02X0 X0y1y2 y°（y

12、1 y2） y° =04p2p整理得：m =Xo 2 p ny°（亲，这一步写出容易，算出来还真不容易! AB： x=n（y y°） Xo 2p .直线AB恒过点（x° 2p,-y°）小结以上例题：过“原点”两直线与二次曲线相交问题，不管此点是真原点，还是假原 点，都可化为过原点的两直线，（假原点就强行平移坐标系）。注意此时点的坐标与曲线的方 程都会发生改变！其实质是平移公式。如例2旧P（Xo，y°），新p（o,o），所以移轴公式为X " = X x0y，=y yo其中（x；y）为新坐标，与之对应的（X, y）为同一点的旧坐

13、标，所以0新坐标为(-X。,-y°)。抛物线y2=2px；(yy。)2=2p(xx°)即(yy。)2=2p(xXo)直线AB在新系下过点（2p, -2yo），则在旧系下过点（Xo 2p,-y°）。下面我们用这个神奇的方法，小试牛刀地解高考压轴题。三、解析高考例3。（2oi3年高考江西卷理2X20）如图，椭圆C：-a2+-y-=1(a>b>o)经过点 b21e=-,直线l的方程为x=4 .2（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P）,设直线AB与直线l相交于点M，记PA, PB, PM的斜率分别为 k1 ,k2,k3 问：是否存

14、在常数,使得k1+k2=，k3.?若存在求的值；若不存在，说明理由.2 2X y解析：（1）略：椭圆C的方程为1. （2）:平移坐标系，使点P为原点，则43点P点0直线丨椭圆点F旧坐标系(1,32)（o,o）X=42 2X +y =14 3 /1(1,o)pA；z/V9丿1 "''X*新坐标系（o,o）(-详)X=3& + 1)2十(煜=143(O'T设在新系下，AB： y = kx m（显然直线AB不可能竖着），可化为1 = kx 椭圆方程可化为：3(x2 2x) 4(y2 3y0 把代入，化为齐次式：3x2 6x 士竺 4y2 12y .上竺=0m

15、m上式可化为：Ay2 Bxy Cx2 = 0 即 a(-)2 B(=) C = 0 xx33又直线AB过点F(0,_ ),故 m二-22注意到移轴过程中，所有直线的斜率的值不变!其中A=4B一坐mm m6-12km=4(2k -1) = 2,使得k,+k2= k3.恒成立。.k, k2 二-巴=2k -1.易求 yM = 3k m = 3k-3 = 3(2k-1)A221 _=-(2k -1)，故存在常数2例4。( 2013年高考陕西卷(理)已知动圆过定点 A(4,0),且在y轴上截得的弦 MN的长为8.(I )求动圆圆心的轨迹 C的方程；(n )已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线I与

16、轨迹C交于不同的两点 P, Q 若x轴是的角平分线，证明直线l过定点.(I)略，y2 =8x( n)分析：x轴为.PBQ平分线=kBP，kBQ=0.故可联想用过“原点”的两直线解决此问题。解析：平移坐标系，使点 B为原点，则点B点0抛物线旧坐标系(-1,0)(0,0)y2 = 2 px新坐标系(0,0)(1,0)y2=2p(x-1)在新坐标系下，设 PQ x = ny m (显然AB不能横着，故设成这种形式)可化为：1 二 _ny代入 y2 =2p(x-1)m2小 x_nyx_ny、2y -2 px2p ()=0mm可化为：Ay2 Bxy Cx2 = 02其中 A=1 药2L, B = 2pn

17、(nT2)mmx 轴为PBQ 平分线，b二 kBP + kBQ =0 即 B=0二 m = 2A题C20)图从而PQ恒过点(2, 0),在原坐标系下恒过点(1, 0)。说明：此种解法还得出，直线I恒过点(1,0)与P值的大小无关。例5。(2012高考真题重庆理 20)如图，设椭圆的中心为原点 O,长轴在x轴上，上顶 点为A,左右焦点分别为 £, F2，线段 的中点分别为Bi, B2，且 AB1B2是面积为4的直 角三角形求该椭圆的离心率和标准方程；(n)过 做直线I交椭圆于P, Q两点，使PB2 _ QB2，求直线I的方程2 2lxy2訂5十 =1解析：(I)离心率为 亠三，椭圆的标

18、准方程为 20 45(n)平移坐标系使点 B2为原点，则点b2点0点b2椭圆旧坐标系(2,0)(0, 0)(-2 , 0)2 2X八=1204新坐标系(0,0)(-2 , 0)(-4 , 0)2 2(x+2).+丄=1204设直线PQ方程为y =kx m 可化为1 = y _ kx 了 m2 220椭圆方程(x 2) L =1可化为x25y2 4x-16=04把代入到得:上式可化为Ay2x2 5y2 4x 4-16 (i)2=0mm2Bxy Cx2 =0 其中 a =5 -耳，C =1 -巡-mm m又PQ直线过点B-i，故0二-4k m二m = 4k1c _1A =52，C=1TT = -1,kPB2 Kqb21( PBq-QB?)kA 15Wk=丄，PQ:y二-(x 2)所以满足条件的直线有两条，其方程分别为2 2x 2y 2 =0和x -2y 2 =0.总结： 设直线AB方程为y=kx m或x=n y，m，即使AB过定点也是如