极坐标和参数方程基础知识及重点题型

1、高中数学回归课本校本教材24(一)基础知识参数极坐标1极坐标定义：M是平面上一点，q表示0M的长度，。是za他,则有序实数实数对S&), p叫极径，&叫极角；一般地，处0,2兀),P>0 O2. 常见的曲线的极坐标方程(1) 直线过点M(久厲)，倾斜角为a常见的等量关系:正弦定理OPOMsn ZOMP = sin ZOPMZOMP =龙一a + q 乙OPM=a_8 ；(2) 圆心P(q°4)半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理;(3) 圆锥曲线极坐标：p= 旦 ，当>1时，方程表示双曲线；当£ = 1 1 一 “COS&时

2、，方程表示抛物线；当Ovevl时，方程表示椭圆.提醒：极点是焦点， 一般不是直角坐标下的坐标原点。极坐标方程"3.参数方程：(1)圆(x-a)2+(x-b)2=r的参数方程:(2)椭圆二+匚=1的参数方程：x = a8s&,x = bsin0(3)直线过点M(心儿)，倾斜角为&的参数方程:taim = 2A即匕=匕匹=，a -.¥0 cos& sin®即严儿+5。注：c°s& = q, sin& = q 据锐角三角函数定义，T几何意义是有向 y=yn+rsma/线段丽的数量其中/表示直线/上以定点为起点，任意一点M

3、(x,刃为终点的有向线段M()厉的数量M°M,. 当点M在M。的上方时，/ >0；当点M在M。的下方时，t<0.9(4)抛物线)，=2/x(>0)的参数方程为广x = 2pt2y = 2/”(f为参数).山于2 = 1,因此参数旳勺儿何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.如：将参数方程“2 +曲&(&为参数)化为普通方程为v = x-2(2<.v<3)将v = sin代入y = sinPA = 2+sin2即可，但是0<sin2<l ；4. 极坐标和直角坐标互化公式：?=pcosf或(7丁 , 8的象限由点(x,

4、y)所在y = psin 0)tan = -(a # 0)象限确定.(1 )它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与X轴正半轴重合.(2)将点(Q.&)变成直角坐标(QCOS&QSin8),也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。5. 极坐标的几个注意点：(1) 极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点(极点)如：已知 圆C的参数方程为(2書+2COS&为参数)，若p是圆c与y轴正半轴的交点，以y = 2sin0圆心C为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆C的切线的极坐 标方程 o QCOS(&- ) = 26如：已知抛物线/=4x,以

5、焦点F为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 抛物线的极坐标方程。即厂1-COS&(2) 对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足如：已知椭圆的长轴长为6,焦距F乱=4忑,过椭圆左焦点Fl作一直线，交椭圆于两 点M、N,设"；斤M=a(0Sa</r)，当Cl为何值时，MN与椭圆短轴长相等& =兰或也6 6(3) 直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：已知某曲线的极坐标方程为”-2妁知(& +彳)-2 = 0。(D将上述曲线方程化为普通方程；(2)若点P(x,y)是该曲线上任意点，求x + y的取值范围o 2-2屈.2 + 2返（二）基本计

6、算 仁求点的极坐标：有序实数实数对SO）, Q叫极径，&叫极角；如：点M的直角坐标是（-1“），则点M的极坐标为（2,兰）提示：（2.2krr + =-）,keZ都是点M的极坐标.2.求曲线轨迹的方程步骤： （1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P（q.&）；（3）写出等式；（4）根据处几何意义用Q.e表示上述等式，并化简（注意：2Q.y"）；（5）验证。如：长为2。的线段，其端点在Ox轴和6轴正方向上滑动，从原点作 这条线段的垂线，垂足为M,求点M的轨迹的极坐标方程（Ox轴为极轴），再化 为直角坐标方程.则乙 OBM=ZAOM = 8 ,且 ICZ4l=2usinO

7、B37m切由p = “sin28可得GA解：设点M的极坐标为(p.0), p=AOAcosO = 2</sincos& = “sin2O ,，点、M的轨迹的极坐标方程为p = «sin20(0 <6<). = 2upr sincos ,/ (.r + rv =2diy 其直角坐标方程为(x2 + y2)5 =2oy(x>0,y >0) 3. 求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x,y） = 0,是求轨迹最基本 的方法.待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回方程代入法（相关点法或转移法

8、）.如：从极点作圆的弦，求各弦中点的轨迹 方程.解：设所求曲线上的动点M的极坐标为（Q.&）,圆Q = Z,cosO上的动点的极坐标为 （必）由题设可知，/号，将其代入圆的方程得卑.Px =2p22定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义，则可由曲线定义直 接写出方程.交轨法(参数法):当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将尤、，均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去 参数得普通方程.4. 参数和极径的几何意义的运用：p表示0M的长度；T几何意义是有向线段丽的数量；如：已知过点p(9“)的直线/与大轴正半轴、y轴正半轴分别交于A B两

9、点，则AB最小值为8少提示：设=倾斜角为a,则= 或AB二山1 + 1人1,(y = V3+rsina-丄厶"迺,则 他“丄+主,伽“啤+迺豎f 辰航 令 畑=0 ,cos a * sin acos a sin acos'a sin" acos'a sin* atan5 a = 一 = 一一=；戶斤 以，tana = = 150 , “血=/(150 ) = - + =8& 7主 意：本可"以9(*f3cos 150 sin 150取倾斜角的补角为a如 过抛物线宀8、的焦点F作倾斜角为兰的直线，交抛物线于AB 4两点，求线段皿的长度.解：对

10、此抛物线有e = Lp=4 ,所以抛物线的极坐标方程为 p = - , A.B两 点的极坐标分 别为仝和工，|Ml=4/(l-cos,r4)=4<2+72) ,1皿匕4/(1-曲册4)=4(2-近),1 - cos &44ABFA+FBi6. /.线段M 的长度为 16.5.参数方程的应用求最值：如:已知点曲旳是圆.r + r=2y±的动点，(1)求2中， 的取值范围；(2)若x+y + a>0恒成立，求实数"的取值范围。卜适+1.逅+1(2) .T+y+“=cos& + sin&+l + “nO -渥一1.4<®)如：在

11、椭圆養+召=1上找一点，使这一点到直线x-2v-12 = 0的距离的最小值.解：设 椭圆的参数方程为二：囂訂八时上磐凹=竽|辭一屈觸一3| =琴帆(&+彳)彳当 C°s(&+£)= 1,即& = ¥时,俎=乎，此时所求点为(2-3)C.选修4 - 4参数方程与极坐标已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与X轴的正半轴重合。若曲线G的方程为p2=8psin-15,曲线C2的方程为 “ 2羽cos a,匕为参数几 y = y/2sina(1)将G的方程化为直角坐标方程;若C2上的点Q对应的参数为“苧，P为G上的动点，求PQ的最小值。提示

12、：(1) W + y2-8y + 5 = 0>/n_i ¥时，得Q(-2,1)，点0到G的圆心的距离为肩,在极坐标系中，求经过三点0(0, 0), A2, p, BE却的圆的极坐标方程.解：设P(p.O)是所求圆上的任意一点，则OP = OB cos(e-丄)，故所求的圆的极坐标方程 4为 p = 2>/5cos(&-£)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与X轴的正半轴重合若直线/的 极坐标方程为Qsin(&-f) = 3、d.(1) 把直线/的极坐标方程化为直角坐标系方程；(2) 已知P为椭圆c ：匸+二=1上一点(已知曲线C的参数

13、方程为产f曲仏为参数),)169ly = 3sma '求P到直线/的距离的最大值.解：(1)直线/的极坐标方程Qsin| 0-扌卜3>/1,则琴-琴pcose = 3迈,即psin8-/?cos& = 6 ,所以直线/的直角坐标方程为x-y + 6 = 0 ；2 2(2) P 为椭圆 C: + = 1 J1 一点，设 P(4cosa, 3 sin a),其中 a e0,2n),169则P到直线/的距离dJ4cosIhm + 65cos(罕0 + 61其中co 4x/2近5所以当cos(a + °) = l时，d的最大值为耳血在极坐标系中，圆C的方程为p = 2V

14、2sin( + -),以极点为坐标原点，极轴为，轴的正半4轴建立平面直角坐标系，直线/的参数方程为)(为参数)，判断直线/和圆C的 y = 1 + 2/位置关系.解：消去参数/ 9得直线/的直角坐标方程为y = 2x +1 ； /? = 2(sin + )即Q = 2(sin& + cos&), 4两边同乘以q得/=2(psin8 + pcos8),得O C的直角坐标方程为：(x-1)2 +(x-l)2 =2, 圆心Q到直线/的距离(1 = '甲空=迈,所以直线/和0Q相交.V22+l25已知曲线C的极坐标方程是p = 2sin&,直线/的参数方程是1(1)将曲

15、线C的极坐标方程化为直角坐标方程；2+3-54-5=ya为参数).(2)设直线/与X轴的交点是M, N是曲线C上一动点，求的最大值.解:(1)曲线C的极坐标方程可化为p2=2/?sin(9又 + y2 = p2, x = pcosO , y = psinO,所以曲线c的直角坐标方程为x2+y2-2y = 0(2)将直线/的参数方程化为直角坐标方程，得y = -|(x-2)令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2, 0).又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(1,0),半径r = l, MC = y/5所以 |M|MC| + r = 75 + l在极坐标系中，己知点A(Qo)到直线厶 阿(。-彳)=加(

16、也>0)的距离为3.求实数加的值;设P是直线/上的动点，0在线段OP上，且满足|丽R苑| = 1, 求点0的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.解析：(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则点A的直角坐标为(72,0),直线/的直角坐标方程为x- y + d = 0.因为4到直线/的距离d = '亚羊川=1 +加=3,所以加=2.= 1(=丄(2)由得直线/的方程为psin(8-兰)=2.设P(Po，%),Q(p,8),则 了。=> Pop.®4E b"因为点P(Po, %)在直线?上，所以sin«9()-) = 2.®

17、将代入，得丄sin«9-) = 2,4p4即p = lsin(-J).这就是点。的轨迹方程.化为直角坐标方程为(X + d)2+(y_返)2=丄冈此点0的轨迹是以(丄，竺)为圆心丄为半径的圆.88164 44变式训练(2010.浙江卷)如图，在极坐标系O兀中，己知曲线：7171C：p = 4sin0(-<0<-)；42jrjr3”cp = 4cos&( <e< 一或一 <e< 2龙)；-42271C3: p 4(0 W 0 W )(1) 求由曲线G，c2, C3围成的区域的面积；(2) 设 M(4,|), N(2,0),射线 0 二冷 VG

18、 V 彳)与曲线G，C?分别交于A, B(不同于极点O)两点.若线段 AB的中点恰好落在直线MN上，求tana的值.解析：(1)由已知,S弓形osp = -xx22-ix22=/r-2.m以讪膨部分=丄x/rx22-2(-2) = 4,2 2故所求面积S =丄龙x4 +丄x/rx2 一4 = 6龙一442(2)设AB的中点为G(q a乙ONG = ®由题意知，° =心一。"=2sina + 2cosz21盘汕 ONOG45y/5sin ZOGN sin ZONG即 22sintz + 2coscrsin(龙 _a_0)r-r-Ki sin(p2所以 sm a + cos a =,sin(cr + <p) sin a + 2 cos a化简得 sin