微积分基本定理与应用

1、§3.4定积分与微积分基本定理一、明确复习目标i. 直观了解微积分基本定理的含义.2 .会求简单的定积分.3. 会用定积分的知识解决一些简单的应用问题.二. 建构知识网络1. 定积分的定义如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a = Xq ： % ：:：:：Xi：备：:：Xn = b将区间a,b等分成个小区间，在每个小区间l.xiJL,xi 1 上任取一点(i=1,2,，n)作和式当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做b函数f (x)在区间a,b上的定积分，记作，在f(x)dx中，和分别叫做积分下限和积分上限， 叫做被积函数，叫做积分变量， 叫做被积式.2. 定积分的性

2、质b(L) k f (x)dx =(为常数)；? ab(2) .afi(x)f2(x)dx 二；b(3) f (x)dx =(其中 a ： c ： b). a3 .微积分基本定理*b一般地，如果f (x)是闭区间a,b上的连续函数，并且 F (x) = f(x)，那么 f(x)dx =a ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一一莱布尼兹公式，可b以把 F(b) -F(a)记作，即 f(x)dx =.a0.4. 通过定积分的运算可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是(1) 当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于(2) 当对应的曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取负

3、值，且等于(3) 当位于轴上方的曲边梯形的面积等于当位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为定积分的值等于位于轴上方的曲边梯形的面积 位于轴下方的曲边梯形的面积.4. 定积分求曲边梯形面积如右图所示，由三条直线：x =a, x = b a . b , x轴及一条曲线y二f x f x > 0围成的曲边梯形的面积为 S二若在区间l.a,b上，f x < 0,则S =若在区间l.a,c 1上，f x > 0 ,在区间l.c,b 1上，f x < 0,则S二5. 匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数v=v(t) v(t) > 0在时间

4、区间l-a,b 上的定积分，即6. 变力作功公式：一物体在变力 F x (单位：N)的作用下作直线运动，如果物体沿着F x与相同的方向从x =a移动x = b a : b (单位：m )，则力所做的功为 W =三、双基题目练练手1 1 101dxD. 02dx1下列值等于1的积分是()1 1A. xdx B. I I：x 1 dx C.* 0*0fn2. 2二 sinx cosx dx 的值 (2兀B.C. 2D. 424A.B. 1C.-D. 233.2 14 In xdx =( )1 xA 】ln22B ln .2Cln2223如图，直线y =1与抛物线y =x2相交，则阴影部分面积为（）

5、D a的值为a1口(2x )dx = 3 In2，且 a> 1,1 xB. 4C - g2B.已知自由落体运动的速率 v = gt，则落体运动从t = 0到t = to所走的路程为 A 血3x0 F' t dt -四、经典例题做一做【例2 21】(1)1 (x2 2x 1)dx(2)o(sin x-cosx)dx【例2 o 1（3）（xx2 ）dx1x2】求两曲线y2 =x和y =X2所围成图形的面积.0(4)(cosx ex)dx* -it【例3】一物体在做变速直线运动，其V -1曲线如图所示，求该1物体在一s间的运动路程.232D(JT1 -S_L)1111A7B1111o1

6、36;(s)【例4】如图，阴影部分的面积是B. 9-2.335D.332C.3293【例5】抛物线：y=x -2ax a 0 ,若过原点的直线I与抛物线所围成的图形面积为 -a , 求直线l的方程.五.提炼总结以为师1用定积分的定义求定积分的一般步骤：分割、近似代替、求和、取极限要借助于求曲边梯 形的面积和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想.2. 用微积分基本定理求定积分：关键是找到F，x二f x满足的函数F x，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本初等函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出F x .3 .利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积

7、分.4.在利用定积分求平面图形的面积时,般要先画出它的草图,再借助图形的直观地确定出被积函数以及积分的上、下限.5 .要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开,定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来，例如:当函数f x在区间l.a,b上恒为正时，定积分 b f (x)dx的几何意义是以曲线 f x为曲边梯 ab形的面积，一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于轴、函数* af x的图象以及之间各部分面积的代数和,轴下方和面积取负号.6 .体会定积分的

8、化归和逼近的思想方法.在轴上方的面积取正号,同步练习1.下列有定义的定积分为()1dx4xB.2 1 dx2 cosx4 dx0(x-2)2D . In xdx02. (2007 年山东潍坊) ° sin xdx 二()A . 0B .C .D .3.设 a>0,a 1,若亠 2 x ._ xf0a dx = -2a20，贝V a等于()A .B .1C . e于1D . e26 64. (2007年广东潮州)已知 f(x)为偶函数且 o f(x)dx=8，则.上f(x)dx二()A . 0B. 4C. 8D. 165. 4 exdx的值等于()£ 24_242424

9、_2A. e-e B . e e C . e e -2D . e e - 26. (2007年广东汕头)2 2o (4 -2x)(4 -3x2)dx 二7.使F(x)=xn_1成立的所有F(x)可以表示为F(x)= 8. (2006年山东潍坊)汽车从 A处起以速度v(t)二v0 -at(m/s)(其中v0,a均为正的常数)开始减速度行驶，至 B点停止，则A、B之间的距离s =(m).9.由y=x3及y=2x围成平面图形的面积，若选为积分变量，利用定积分应表达为；若选为积 分变量，利用定积分应表达为10 .求下列定积分的值.(1) 2|x2 -1| dx ； (2)l.9-x2dx ;5J011

10、1. 已知 f(a) (2ax2-a2x)dx，求 f (a)的最大值.212. 一质点在直线上从时刻t =0(s)开始以速度v=t -4t 3(m/s)运动.求(1 )在t =4s的位置；(2) 在t =4s内运动的路程.§ 3.3定积分自主学习匕基础自测1. 当n无限趋近于 k时，丄(sin二+sin +, +sin (n1)一：)写成定积分的形式，可记为n nnn答案 1 sin xdx512.1d x=.答案13. 由曲线y=ex,x=0,y=2所围成的曲边梯形的面积为(用定积分表示)答案 ln ydy 或(2-e x)d x4. 已知f (x)为偶函数且f (x) dx=8

11、，则f (x) dx=.答案165. 已知-1 w a w 1, f (a) = (2ax2- a2x) dx，求 f (a)的值域.解 f (a)=(2 ax2- a2x)dx+ 2a=-1(a-£)2+£一 一 9(a)故f (a)的值域为例1计算下列定积分(1) x(x+1)dx;典例剖析(2) (e2x+l)dx;x2(3) sin xdx.解(1 )v x (x + 1)=x2+x 且(x3) ' =x2,( x2)' =x22/ x(x+1)dx=(x +x)dx21312143=x dx+xdx= x |+ x | 2=(-X 23-0)+(

12、- X 22-0)=32/ (in x)'(e 2x)'x=e2x (2x) ' =2e2x,得 e2x=( 1 e2)'2所以(e2x+1 )d x=e2xdx+1 dx=1 e2x|+ln x| xx 2=e4- 1e2+ln2-ln1= 1e4- 1e2+ln2.2 2 2 2(3)由(sin2 x) ' =cos2x (2x) ' =2cos2x,得1cos2x= ( sin2 x)',2所以 sin 2xdx= ( 1- cos2x) dx2 21 1= dx- cos2xdx2 2111=丄 x|- (丄 sin2 x) |2

13、 2 2=c -0 ) - 1 ( - sin2 -1 sin0 )=二.2 2 2 2 2例2计算下列定积分(1) |sin x|dx;(2)| x2-1|d x.解(1) v( -cos x) ' =sin x,/ |sin x|d x=|sin x|d x+|sin x|d x=sin xdx-sin xdx=-cosx|+cos x|=-(cos-cosO ) + (cos2-cos ) =4.厂2/c、 cc 十冃 I 2x 1(1 <X 兰2)(2) v 0< x< 2,于是 | x2-1|=丿 ')1 _x2(0 Ex <1)2 2 2/.

14、 | x-1|d x=(1- x)dx+(x -1)d x =x x3 |+ ( 1 x3-x) |.3 3=(1-丄)+ ( 1 X 23-2 )-(丄-1 ) =2.x32 xx3例3求函数f (x)=x 0,1x E(1,2在区间0, 3上的积分x (2,3解由积分性质知f (x)d x=f (x)dx+f (x)dx+f (x)d x=x3dx+x2dx +2* dx4x=I+ 1 x3|+ |4 3 In 21丄81丄84= + + -.433 ln 2 ln 2431= + .In 212例 4 (14 分)求定积分.16 6x -x2 dx.解设 y= ,16 6x _x2 ,即

15、(x-3)2+y2=25 ( y > 0).5 分16 6x -x2 dx表示以5为半径的圆的四分之一面积.10分4.16 6x -x2dx=44知能迁移1. 求(cos x+ex)d x.解(cos x+ex)d x=cosxdx+exdx=sin x|+ex|=1-1 .eH2. 求(| x-1|+| x-3| ) dx.-2x 4(x 乞 1)解设 y=|x-1|+| x-3|=2(1 ：x : 3)2x 4(x _3)(I x-1|+| x-3|)d x=(-2 x+4)dx+2dx+(2x-4)d x2 2=(-x +4x)|+2 x|+( x -4x)| =-1+4+6-2+

16、16-16-9+12=10.2(x 北)(0 兰x <1)3. 已知函数:f (x)=, x(1 乞x：:2)C-2)xJ(2_x_3)求 f (x)d x.解 f (x)d x=2(x+1)-1 dx +dx+() x-1dx=2ln( x+1)|+ - /|+3In(2=2ln2+ 2 (2-1)+ 1(2_.2).3In 124. ( ： 1 _(x -1)2 -x)dx=.答案二-2活页作业、填空题1. 定积分 1 二cosx dx=.答案6x=a, x=b所围成的平面区域的2. 若y=f(x)与y=g(x)是a, b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 面积为(用定积分表

17、示).答案 | f(x)- g(x)|d x3. 定积分(32x+3)dx=.答案2 In 324. 设函数 f (x)= / 也,。兰x则 f( %)dx=.3 _x,1 <x <2,答案1765. 定积分 2(x3+5x5)dx=.答案06. 根据sin xdx=0推断，直线x=0，x=2，y=0和正弦曲线y=sin x所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在x轴上方的面积在x轴下方的面积.(用“大于”，“小于”，“等于”填空)答案等于7. 若 f (x)d x=1, f(x)dx=-1,则 f (x)d x=.答案-28. 定积分 x dx的值是.1 +x一1乞x乞00 : x

18、：:12/ f (x)dx=x dx+1dx答案-In22二、解答题9. 求下列定积分的值9 -x2 dx;f2 _已知f ( x)= <x一1兰X兰0，求f( x)d X的值.1 0 ex £1解(1)9 -x2 dx表示以y= . 9 -x2与x=0, x=3所围成图形的面积，而 y='. 9-x2与x=0,x=3围成的图形为圆x2+y2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为-.4=1 x3|+x|= 1 +1 = 4 .33310. 已知 f (x) =ax2+bx+c，且 f (-1 ) =2, f'( 0) =0, f (x) dx=-2，求 a、b

19、、c 的值.解由 f (-1 ) =2,得 a- b+c=2，又 f ' (x)=2ax+b,由 f ' (0)=0 得 b=0,2f (x)d x=(ax +bx+c)dx,13 b 2,.=( ax + x +cx)|32= la+1b+c.32即 1a+1b+c=-2，32由得：a=6, b=0, c=-4.11. 已知 f( a)=(2 ax2- a2x)dx,求 f (a)的最大值.解(2ax2- a2x)dx=( ax3- a2x2)|= a - 1a23232即 f (a)= a- 1 a2=-丄(a2- 4 a+4) + 322399-1 (a-2)所以当a=&

20、#163;时，f(a)有最大值.3912. (2009 青岛模拟)对于函数 f(x)=bx3+ax2-3x.22sin t cost -2cos t+,P的轨迹所围成的图(1 )若f(x)在x=1和x=3处取得极值，且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过试求实数t的取值范围；(2)若f(x)为实数集R上的单调函数，且 b>-1,设点P的坐标为(a, b)，试求出点 形的面积S.解(1 )由 f ( x)=bx3+ax2-3x,则 f ' (x)=3bx2+2ax-3,/f (x)在x=1和x=3处取得极值，x=1和x=3是f' ( x)=0的两个根且 b工0.丄-2

21、a1七二a =23b-3b =1X3 -l.3b f ' (x)=- x2+4x-3.1.3T f (x)的图象上每一点的切线的斜率不超过22sin t cost -2cos t +,/ f ' (x) < 2sin tcost-2cos 2t + 对 x R恒成立, 而f ' (x)=-( x-2) 2+1,其最大值为1.故 2sin t cost -2cos 2t +> 12sin(2 t-二)> 12k+二 <2t-匸 <2k+?, k Z3636k+二 < t < k+ 匕，k 乙412(2)当b=0时，由f(x)在R上

22、单调，知a=0.当b半0时，由f(x)在R上单调f' (x) >0恒成立，或者f' (x) < 0恒成立./f ' (x)=3 bx2+2ax-3,2 1 2- =4a +36b w 0 可得 bw - a .9从而知满足条件的点 P （a, b）在直角坐标平面aOb上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b=-丄a2与直线b=-19所围成的封闭图形，1 ,其面积为 S=( 1- - a )d a=4.9§ 3.4定积分的简单应用j*自主学习 1%由基础自测x=0, x=, y=0所围图形的面积写成定积分形式为答案 # cosxdx+| 耳 cosxdx|

23、22. 一物体沿直线以v=3t +2 （ t单位：s, v单位：m/s）的速度运动，则该物体在3 s 6 s间的运动路程为 m.答案46.53. 用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N，变力F做的功W为J.答案104.曲线y=cosx （ 0 w x w ）与坐标轴所围成的面积是2答案35.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（ x） =x3 （取细棒的一端为原点，所在直线为x轴），棒长为1，则棒的质量M为.答案14例1求抛物线y2=2x与直线面图形的面积.典例剖析y=4- x围成的平解由方程组汀2 =2x解出抛物线和直线的交点为（2，2）及（8,-4）.方法一选x作为

24、积分变量，由图可看出S=A+A2在A部分：由于抛物线的上半支方程为y =、2x ,下半支方程为y=-x，所以iS= : . 2x-(- y 2x ) dx=2x 2 dx3=2 2x2|=16,33S= :4- x-(-, 2x) dx=(4 x-丄 x2+ 2、2 x 2 )|= 38 ,233于是：S=16 +2® =18.33方法二选y作积分变量,2将曲线方程写为x=及x=4-y.22S= (4-y) - d y=(4y-2=30-12=18.解抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标xi=0,X2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积例2 （14分）如图所示，直线y=kx分抛物线

25、y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.23S=（x-x2）dx=（ x ）|2 33=6.6 分=丄2抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为Xi' =0,X2 =1-k,9 分所以 S = (x-x2-kx) dx2=-(1- k) ,12 分6又知S=,所以(1- k)=丄6 2于是七“沙分1 min内所行驶的路程例3 一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求此汽车在这解由速度一时间曲线易知，3tto,io)v( t)=J30t 可10,40)_1.5t90t 三40,60由变速直线运动的路程公式可得s=3t dt +30dt +(-1.5 t +90)dt= 2

26、t2|+30t |+( - 2t 2+90t)|2 4=1 350 (m).答此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.知能迁移1. 求抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围成的平面图形的面积S.2 _解方法一由"=x得抛物线与直线的交点为 P( 1，-1)，Q( 9, 3)(如图)x 2 y 3 =0 S= : -(-) dx+(- 土弓)d x2=2dx+(- - +-)dx2 2、.x3 |+兰+乙|=电+28=丝.42333方法二若选取积分变量为y，则两个函数分别为 x=y2, x=2y+3.由方法一知上限为 3,下限为-1.S=(2 y+3- y2) dy= (

27、y2+3y- 1 y3)|31 32=(9+9-9)-(1-3+1 )= 32 .3 32. 如图所示，阴影部分的面积是y=2xf -尸3-*答案3233. 一物体按规律x=bt3做直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物 体由x=0运动到x=a时，阻力做的功.解物体的速度 v=x ' (t)=(bt3) ' =3bt2,媒质阻力f E=kv2=k (3bt2) 2=9kb2t4.(其中k为比例常数，k>0)当 x=0 时，t=0，当 x=a 时，t =t 1 =1阻力做的功是：2W阻 =f 阻 dx=kv vdt =kv3dt =k (

28、3bt2) 3dt=号吩尹血=汁2. 口 活页作业一 = 一、填空题1.如图所示，阴影部分面积为答案:g(x)-f(x) dx+ :f(x)-g(x) dx 2j 2. 设 f (x) = / ,x0,1,则 f( x)dx=.2 -x,x 迂(1,2,答案563. 设 f (x)=sin t dt,则 f (f (丄)=.2答案1-C0S1r4. 一物体在力F(x)=°(0兰x兰2)(单位：N)的作用下沿与力f相同的方向，从x=0处运动到x=4?x+4(x>2)(单位：m)处，则力F (x)做的功为J.答案465. 一物体在变力F(x)=5- x2(力单位：N,位移单位:m)

29、作用下，沿与F( x)成30°方向作直线运动，则由x=1运动到 x=2时F(x)做的功为J.答案6. 函数F(x)=t(t-4)d t在-1,5 上的最大值为，最小值为答案0- 3237. 汽车以v=3t+2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是 m.答案6.58. 若f (x)是一次函数，且f (x)d x=5, xf (x)dx= H ,那么函数f (x)的解析式是.6答案 f (x)=4x+3二、解答题9. 证明：把质量为 m (单位：kg)的物体从地球的表面升高h(单位：m)处所做的功V=G- Mmh ，其中G是k(k+h)地球引力常

30、数，M是地球的质量，k是地球的半径.证明根扌居万有引力定律：知道对于两个距离为，质量分别为m、m的质点，它们之间的引力为(r8罩2， 其中G为引力常数.则当质量为m的物体距地面高度为 x(0 < x< h)时，地心对它的引力f (x) =G- Mm(k+x)2故该物体从地面升到 h高处所做的功为W (x) dx=G.皿需 dx (k x)2=GM _1d ( k+x)(k x)2=GMm_ |(kh丿=GMm L 1I k +h k 丿=G， Mmhk(k +h)10. 设函数f (x)=x3+ax2+bx在点x=1处有极值-2.(1) 求常数a, b的值；(2) 求曲线y=f (x)与x轴所围成的图形的面积解(1 )由题意知 f' (x)=3 x2+2ax+b,f(1)=-2 且 f' (1)=0,f1 +a b = 2即/丄丄 ，解得a=0, b=-3,3 +2a