不等式的证明方法

1、i第二节 不等式的证明方法考纲传真通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.课刖知识全通关1. 基本不等式定理1:设a, b R，贝U a2+ b2>2ab,当且仅当a= b时，等号成立.a | b 定理2：如果a, b为正数，则一尹ab,当且仅当a= b时，等号成立.定理3：如果a，b，c为正数，则a+；+c答b，当且仅当a= b = c时，等号成立.定理4：(一般形式的算术 一几何平均不等式)如果ai，a2，an为n个正数，则a 冷打aia2an，当且仅当ai=a2=an时，等号成立.2. 柯西不等式(1) 柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d都是实数，则

2、(a2 + b2)(c2 + d2)> (ac+ bd)2(当且 仅当ad= bc时，等号成立).(2) 柯西不等式的向量形式：设 a，B是两个向量，则1如3|a 当且仅当a或B是零向量，或存在实数k,使 aa, B为非零向量)时，等号成立.柯西不等式的三角不等式：设 xi, yi, X2, y2, X3, y3 R,贝贝寸(xi X2+ (yi y2+p (X2X3(+ (y2曲p (xi X3 f + (yi y3 )2.2(4)柯西不等式的一般形式：设ai,a2,a3,，an,bi,b2,b3,，bn是实数，则(ai +£+ a?)(b2+ b2+ bin)>(ai

3、bi + a2b2+ anbn)2，当且仅当 bj = 0(i = i,2,n)或存在 一个数k,使得ai = kbi(i = i,2,，n)时，等号成立.3. 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.(I)比较法： 比差法的依据是：a b>0?步骤是：“作差一变形一判断差的符号”.变形是手段，变形的目的是判断差的符号. 比商法：若B>0,欲证A>B，只需证I.(2)综合法与分析法： 综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法即“由因导果”的方法. 分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条

4、件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.基础自测1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“/'，错误的打“X” )(1) 比较法最终要判断式子的符号得出结论.()(2) 综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.()(3) 分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.()(4) 使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.()答案X

5、 V (3)X X222ba2. (教材改编)不等式：x2 + 3>3x；a2 + b2>2(a-b-1):：+£>2,其中恒成立的 是()A .B .C .D .2233222D 由得 x + 3 3x= x 2 + 4>0，所以 x + 3>3x;对于，因为 a + b 2(a b-1) = (a 1)2+ (b+ 1)2>0,所以不等式成立；对于 ，因为当abv0时,b a0,即 a+ bV2,故选 D.3.若 a= 3 2, b= .6 5, c= .7 .6,则 a, b, c 的大小关系为（）a>b>cb>c>a

6、B. a>c>bD. c>a>b1 1 1“分子”有理化得 * 3+ 2，b= 6+ 5，c= .7+ 6，: a>b>c.1 14. 已知a>0, b>0且In(a+ b)= 0,则b的最小值是-4 由题意得，a+ b=1, a>0, b>0,1111b a“尹 b= a+1(a+ b)=2+a+a2+ 2，bb=4,1当且仅当a= b=时等号成立.课堂题型全突破考点全面'方法简洁用综合法与分析法证明不等式【例11 设a, b, c, d均为正数，且a+ b = c+ d.证明：(1) 若 ab>cd,贝U a+ b&

7、gt; c+ d；(2) ,a+ b> .c+ .d是 |a b|v|c d|的充要条件.证明 因为C.a+ b)2 = a+ b+ 2 ab,(c+ d)2 = c+ d + 2 cd,由题设 a+ b= c+ d, ab>cd,得(a+ b)2> ( ,c+ d)2.因此,a+ b> . c+ d.22必要性：若 |a b|v|c d|,则(a b) v(c d),99即(a+ b) 4abv (c+ d) 4cd.因为 a+ b = c+ d,所以 ab>cd.由(1), 得.a+ b> c + d.充分性：若,a+ b> c + _d,则(a+

8、 . b)2>(. c+ .d)2,即 a+ b + 2 . ab>c+ d + 2 , cd.因为 a+ b = c+ d,所以 ab>cd.于是(a b)2= (a+ b)2 4abv (c+ d)2 4cd = (c d)2.因为 |a b|v|c d|.综上， a+ .b>，.c+，d是|a b|v|c d|的充要条件.规律方法分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用 已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找 到解题思路，用综合法书写证题过程.111跟踪练习 设 x> 1， y> 1

9、，求证：x+ y+= - + -+ xy.xy x y 7证明由于x> 1，y> 1，1 1 1要证 x+ y+一=一+一+ xy，xy x y只需证 xy(x+ y) + 1 < y+ x+ (xy).22因为y+ x+ (xy) xy(x+ y) + 1 = (xy) 1 xy(x + y) (x + y) = (xy + 1)(xy 1) (x +y)(xy 1) = (xy 1)(xyx y+ 1)= (xy 1)(x 1)(y 1)，因为 x> 1, y> 1,所以(xy 1)(x 1)(y 1)>0，从而所要证明的不等式成立.用放缩法证明不等式【

10、例2】若a，b R，求证:|a+ b| v_JaL +|b|1 + |a+ b|v 1+ |a|+ 1 + |bf证明当|a+ b| = 0时，不等式显然成立.当 |a+ b|M 0 时,由 Ov|a+ b|v |a|+ |b|?1 1> 一 |a+ b| |a|+ |b|'所以|a+ b|1 + |a+ b|11+ 1 |a+ b|11 + |a|+ |b|a|+ |b|1+ |a|+ |b|bl=旦 +1+a+|b|1+|a| + |b |1 + |a|1 + |b |规律方法1在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：1变换分式的分子和分母，如1 1

11、 丈1、 1 1 .2 1 、 2*ew八yf ni)花=1上面不等式中k匕N , k>1；2利用函数的单调性；3真分数性质“若Ovavb, m>0,则一了 一亍'.2在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度1111跟踪塚习 设n是正整数，求证： + + v 1.2 n+1 n+ 22n证明由 2nn+ k>n(k= 1,2,，n)，得1 1 1< v ' 2n n+ k n.当k= 1时,1v 12n n+1 n；当k= 2时,1 1 1v _ -2n n + 2 n；当k= n时,丄 v12n n+ n n,1 n 111n2 2n n+

12、 1 + n + 2 十2n n原不等式成立.1題型3|；柯西不等式的应用2 2 2 2【例3】（2017江苏高考）已知a, b, c, d为实数，且a + b = 4, c + d = 16,证明:ac+ bdw 8.证明由柯西不等式，得(ac+ bd) (2017 全国卷 U)已知 a>0, b>0, a3 + b3 = 2.证明: 55 < (a2 + b2)(c2 + d2). 因为 a2 + b2 = 4, c2 + d2= 16,2所以(ac+ bd) < 64,因此 ac+ bd< 8.规律方法1使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形

13、式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明2利用柯西不等式求最值的一般结构为：2 2（q +勺+十了十十1+ 1+ 1） = n .在使用柯西不等式时，要注意'12H右边为常数且应注意等号成立的条件2 2跟踪练习 已知大于1的正数X, y, z满足x+ y+z= 3,3.求证：x+2y+3z + y+ 2z+ 3X+证明由柯西不等式及题意得,2 2 2xyz+ +x+ 2y+ 3z y+ 2z+ 3x z+ 2x+ 3y(x+ 2y+ 3z) + (y+ 2z102+ 3x) + (z+ 2x+ 3y)(x+ y+z) = 27.又(x + 2y

14、+ 3z) + (y+ 2z + 3为 + (z+ 2x + 3y) = 6(x+ y+ z) = 183,x2_+_y_+_z_ 二亘 卫 x+ 2y+ 3z y+ 2z+ 3x z+ 2x+ 3y 18.(1) (a+ b)(a5 + b5) > 4； (2) a+ b< 2.2 '当且仅当x= y= z= .3时，等号成立.真题自主验效果近年哮题感悟规律=(a3 + b3)2 2a3b3 + ab(a4 + b4) = 4+ ab(a2- b2)2> 4.33223因为(a+ b) = a + 3a b+ 3ab + b = 2+ 3ab(a+ b)233(a+ b)3(a+ b3w 2+4(a+ b) = 2+,所以(a+ b)3<8,因此 a+ b<2.2. (2016全国卷U)已知函数f(x)=1 1 、x 2 + x+2 , M为不等式f(x)v 2的解集.(1) 求 M ;(2) 证明：当 a, b M 时,|a+ b|v|1 + ab|. 12x, x< 2，1 1解(1)f(x)二 1, 2<xv2，c1i 2x, x>.1当 x< 2时，由 f(x) v2 得一2xv2,解得 x> 1;1 1当一2<xv 2时