2014年甘肃省兰州市中考数学试卷

1、第1页（共 24 页）2014年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分）1. （4 分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）Q2B矚D. 02. （4 分）下列说法中错误的是（）A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后6 点朝上是必然事件B. 了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式C若 a 为实数，则| a|v0 是不可能事件D.甲、乙两人各进行 10 次射击，两人射击成绩的方差分别为 S甲2=2,S乙2=4, 则甲的射击成绩更稳定3.（4 分）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（）A. x- 2B. x- 2C

2、.XM2D. x011. （4 分）把抛物线 y=- 2x2先向右平移度后，所得函数的表达式为（）A. y=- 2 （x+1）2+2C. y=- 2 （x- 1）2+2C.b2-4acv0 D.b2-4ac01 个单位长度，再向上平移 2 个单位长B. y=- 2 (x+1)2- 2第4页（共 24 页）13. （4 分）如图，CD 是。O 的直径，弦 AB 丄 CD 于 E,连接 BC BD,下列结论中不一定正确的是（）第5页（共 24 页）14. （4 分）二次函数 y=ax2+bx+c （a0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1,则下列四个结论错误的是（）2C.b 4ac0D. a- b

3、+c015. （4 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边长为 4 的正方形，平行于对角线 BD 的直线 I 从 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速 度运动，运动到直线 I 与正方形没有交点为止.设直线 I 扫过正方形 OBCD 的 面积为 S,直线 I 运动的时间为 t （秒），下列能反映 S 与 t 之间函数关系的图、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）16. （4 分）在四个完全相同的小球上分别写上 1, 2, 3, 4 四个数字，然后装入B.C. OE=DED.ZDBC=90A. AE=BE第6页（共 24 页）一个不透明的口袋内搅匀，从

4、口袋内取出一个球记下数字后作为点P 的横坐标 X,放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P 的纵坐标y,则点 P （x, y）落在直线 y=- x+5 上的概率是_ .17.（4 分）如果菱形的两条对角线的长为 a 和 b,且 a, b 满足（a - 1 ）2+=0,那么菱形的面积等于18. （4 分）如图， ABC 为。O 的内接三角形，AB 为。O 的直径，点 D 在。O 则/ BAC 的度数等于19.（4 分）如图，在一块长为 22 米、宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽 的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为 300 平

5、方米.若设道路宽为 x 米，则根据题意可列出方程20 . （ 4 分）为了求1+2+22+23+2100的值，可令2S=2+22+23+24+2101,因此 2S - S=201- 1 ,1+2+22+23+-+2100=2101- 1 ,仿照以上推理计算S=1+2+22+23+2100，则所以 s=201- 1，即1+3+32+33+-+32014的值、解答题（共 8 小题，共 70 分）21.（10 分）（1）计算：（-1）2-2cos30+ （- 2014）0；（2）当 x 为何值时，代数式 x2- x 的值等于 1.22.（5 分）如图，在 ABC 中，先作/ BAC 的角平分线 AD

6、 交 BC 于点 D,再以AC 边上的一点 O 为圆心，过 A、D 两点作。O （用尺规作图，不写作法，保为第7页（共 24 页）23.（6 分）兰州市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业的时间不超过 1.5 小时，该校数学课外兴趣小组对本校 初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表 和频数分布直方图（如图）的一部分.时间（小时）频数（人数）频率0tV0.540.10.5WtV1a0.3K tV1.5100.251.5tV28b2-时，x 的取值范围；(3) 计算线段 AB 的长.26.(10 分)如图，AB 是OO 的直径，点 E

7、 是 上的一点，/ DBC=/ BED.(1) 求证：BC 是。O 的切线；(2) 已知 AD=3, CD=2,求 BC 的长.27.(10 分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线 的平方，则称该四边形为勾股四边形.(1) 在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2) 如图， 将厶 ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60得到 DBE 连接 AD， DC, CE已知/ DCB=30.第9页(共 24 页)求证： BCE 是等边三角形;求证：DS+BCAC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形.28.(12 分)如图，抛物线 y=-x2+mx+ n 与 x 轴

8、交于 A、C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 D,已知 A (- 1, 0), C (0, 2).(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3) 点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F, 当点E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最2014年甘肃省兰州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分）B 两点，与 y 轴交于点第10页（共 24 页）1.

9、 （4 分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A.B.歸C.D.O【解答】解：A、是轴对称图形，故 A 符合题意；B、 不是轴对称图形，故 B 不符合题意；C、 不是轴对称图形，故 C 不符合题意；D、 不是轴对称图形，故 D 不符合题意.故选：A.2.（4 分）下列说法中错误的是（）A. 掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后 6 点朝上是必然事件B. 了解一批电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式C若 a 为实数，则| a|v0 是不可能事件D.甲、 乙两人各进行 10 次射击， 两人射击成绩的方差分别为 S甲2=2,S乙2=4, 则甲的射击成绩更稳定【解答】解：

10、A.掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后 6 点朝上是随机事件，故 本项错误；B. 了解一批电视机的使用寿命，具有破坏性，适合用抽样调查的方式，故本项 正确；C若 a 为实数，则|a| 0，|a|v0 是不可能事件，故本项正确；D.方差小的稳定，故本项正确.故选：A.3. （4 分）函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（）A. x 2B. x- 2C.XM2D. x 0,解得 x-2.故选：B.4.（4 分）期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：我们组成绩是 86 分的同学最多”小英说：我们组的 7 位同学成绩排 在最中间的恰好也是 86 分”上面两位同学的话能反映

11、出的统计量是 （）A.众数和平均数B.平均数和中位数第11页（共 24 页）C.众数和方差D.众数和中位数【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数， 排在中间位置的数是中位数，故选：D.5.（4 分）如图，在 RtAABC 中，/ C=90, BC=3AC=4,那么 cosA 的值等于（）A. -B. -C. -D.-【解答】 解：在 RtAABC 中，/ C=90, AC=4, BC=3 AB=.cosA= 一，故选：D.6.（4 分）抛物线 y= （x- 1）2- 3 的对称轴是（）A. y 轴B.直线 x=- 1C.直线 x=1D.直线 x=- 3【解答】解：抛物线 y=

12、 （x- 1）2- 3 的对称轴是直线 x=1.故选：C.7.（4 分）下列命题中正确的是（）A. 有一组邻边相等的四边形是菱形B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形C. 对角线垂直的平行四边形是正方形D. 组对边平行的四边形是平行四边形【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、 对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、 两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误.第12页（共 24 页）故选：B.8.（4 分）两圆的半径分别为 2cm, 3cm,圆心距为 2cm，则这两个圆的位置关 系是（）A.外切B.相交C内切D.内含【解答】解：两个圆的半径分别是

13、 3cm 和 2cm，圆心距为 2cm，又 3+2=5，3-2=1，1v2V5，这两个圆的位置关系是相交.故选：B.9.（4 分）若反比例函数 的图象位于第二、 四象限，贝 U k 的取值可以是 （ ）A. 0B. 1C. 2D.以上都不是【解答】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， k-1v0，即 kv1.故选：A.10.（4 分）一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等的实数根，则 b2- 4ac 满足的条件是（ ）A.b2-4ac=0B.b2-4ac0C. b2-4acv0D.b2-4ac0【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， =b2- 4ac 0.故选：B.1

14、1. （4 分）把抛物线 y=-2x2先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函数的表达式为（）A. y=- 2 （x+1）2+2B. y=- 2 （x+1）2- 2第13页（共 24 页）C. y=-2 （X- 1）2+2D. y=-2 （x1）2- 2【解答】解：把抛物线 y=-2x2先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位 长度后，所得函数的表达式为 y= - 2 （x- 1）2+2，故选：C.12. （4 分）如图，在 ABC 中，/ ACB=90, / ABC=30, AB=2 将厶 ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60得厶AB；则点 B 转过的路

15、径长为（）A. B. - C. D. n【解答】 解：在 ABC 中，/ ACB=90，ZABC=30，AB=2cos30 =，-BC=ABcos30=2X=，将 ABC 绕直角顶点 C 逆时针旋转 60 得厶AB，C/ BCB =60点 B 转过的路径长为：-=n故选：B.13. （4 分）如图，CD 是。O 的直径，弦 AB 丄 CD 于 E,连接 BC BD,下列结论第14页（共 24 页）【解答】解：CD 是。O 的直径，弦 AB 丄 CD 于 E，C. OE=DED.ZDBC=90第 13 页(共 24 页)二 AE=BE = ，故 A、B 正确;CD 是。O 的直径，/ DBC=9

16、0,故 D 正确.故选：C.14. （4 分）二次函数 y=ax2+bx+c （a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x=1,则下列四个结论错误的是（【解答】解：A、因为二次函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴的上方，所以 c0, 正确；B、由已知抛物线对称轴是直线 x=-=1,得 2a+b=0,正确；C、由图知二次函数图象与 x 轴有两个交点，故有 b2- 4ac 0，正确；D、直线 x=- 1 与抛物线交于 x 轴的下方，即当 x=- 1 时，yv0,即 y=ax2+bx+c=a -b+cv0,错误.故选：D.15. （4 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是边长为 4 的正方

17、形， 平行于对角线 BD 的直线 I 从 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速 度运动，运动到直线 I 与正方形没有交点为止.设直线 I 扫过正方形 OBCD 的 面积为 S,直线I 运动的时间为 t （秒），下列能反映 S 与 t 之间函数关系的图C. b2 4ac0D. a- b+c02a+b=0第16页（共 24 页）【解答】解：当 OWt4 时，S=xtxt 二一 t2,即卩 S=t2.该函数图象是开口向上的抛物线的一部分.故 B、C 错误；当 4vt8 时，S=16-x(8-t)x(8-t)=一 t2+8t-16.该函数图象是开口向下的抛物线的一部分.故 A 错误.二

18、、填空题(共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)16. (4 分)在四个完全相同的小球上分别写上 1, 2, 3, 4 四个数字，然后装入 一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P 的横坐标 x,放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点 P 的纵坐标 y，则点 P (x, y)落在直线 y=- x+5 上的概率是-.【解答】解：列表得:12341(1,1)(1 , 2)(1, 3)(1, 4)2(2, 1)(2, 2)(2, 3)(2, 4)3(3, 1)(3, 2)(3, 3)(3, 4)4(4, 1)(4, 2)(4, 3)(4, 4)共有 16 种等

19、可能的结果，数字 x、y 满足 y=-x+5 的有（1, 4）, （2, 3）, （3,c.2第 13 页(共 24 页)2）, （4, 1）,数字 x、y 满足 y=-x+5 的概率为：故答案为：17.（4分）如果菱形的两条对角线的长为 a 和 b,且 a,b 满足（a- 1）2+=0,那么菱形的面积等于2 .【解答】解：由题意得，a-仁 0, b-4=0,解得 a=1, b=4,菱形的两条对角线的长为 a 和 b,菱形的面积a X1X4=2.故答案为：2.18. （4 分）如图， ABC 为。O 的内接三角形，AB 为。O 的直径，点 D 在。O / ABC=/ ADC=54, AB 为。

20、O 的直径， / ACB=90,/BAC=90-ZABC=90-5436.故答案为：3619. （4 分）如图，在一块长为 22 米、宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽 的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草 坪，使草坪面积为 300 平方米.若设道路宽为 x 米，则根据题意可列出方程 为 （22-x）（17-x） =300 .=2；第18页（共 24 页）【解答】解：设道路的宽应为 x 米，由题意有(22 - x) (17 -x) =300,故答案为：(22 - x) (17 -x) =300.20 . ( 4 分)为了求1+2+22+23+-+2100的

21、值，可令S=1+2+22+23+-+2100，则2S=2+22+23+24+2101,因此 2S - S=201- 1 ,所以 S=201- 1，即1+2+22+23+2100=2101- 1，仿照以上推理计算1+3+32+33+-+32014的值是【解答】解：设 M=1+3+32+33+-+32014, 式两边都乘以 3,得 3M=3+32+33+-+32015.-得2M=32015- 1,两边都除以 2,得M=-故答案为:三、解答题（共 8 小题，共 70 分）21.（10 分）（1）计算：（-1）2-2cos30_+ （- 2014） （2）当 x 为何值时，代数式 x2- x 的值等于

22、 1.【解答】解：（1）原式=1 - 2X+ 一+1=1 - + +1（2）由题意得，x2- x=1,整理得，x2-X-仁 0,第19页（共 24 页）Ia=1,b=-1,c=- 1, b2-4ac=(-1)2-4X1X(-1)=5.X1=, X2=.22.（5 分）如图，在 ABC 中，先作/ BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D,再以AC 边上的一点 O 为圆心，过 A、D 两点作。O （用尺规作图，不写作法，保【解答】解：作出角平分线 AD, 作 AD 的中垂线交 AC 于点 O, 作出。O,23.（6 分）兰州市某中学对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家

23、庭作业的时间不超过 1.5 小时，该校数学课外兴趣小组对本校 初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表 和频数分布直方图（如图）的一部分.时间（小时）频数（人数）频率0tV0.540.10.5tV1a0.3K tV1.5100.251.5tV28b2-时，x 的取值范围;（3）计算线段 AB 的长.【解答】解：（1）把 A（ 1, 2）代入 yA 得：k=2,即反比例函数的表达式是 y=-;（2）把 A（ 1，2）代入 y=mx 得：m=2，即直线的解析式是 y=2x,解方程组得出 B 点的坐标是（-1, - 2）,当 mx-时，x 的取值范围是-1 1 ；(3)过

24、A 作 AC 丄 x 轴于 C,- A (1, 2), AC=2 0C=1,由勾股定理得：A0=同理求出 0B= 一 , AB=2第24页（共 24 页）26.（10 分）如图,AB 是。0 的直径，点 E 是 上的一点,DBC=ZBED.第25页(共 24 页)(1)求证：BC 是。O 的切线；(2)已知 AD=3, CD=2 求 BC 的长.厂xVASc【解答】（1）证明：AB 是。O 的切直径,/ADB=90,又/BAD=ZBED,/BED=Z DBC,/BAD=ZDBC,/BAC+ZABD=ZDBG/ABD=90,/ABC=90 , BC 是。O 的切线；(2)解：TZBAD=ZDBC

25、ZC=ZC,AB3ABDC,=,即 B6=AC?CD=( AD+CD) ?CD=1Q BC=.27.(10 分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线 的平方，则称该四边形为勾股四边形.(1) 在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2) 如图,将厶 ABC绕顶点 B按顺时针方向旋转 60得到 DBE连接 AD , DC, CE已知ZDCB=30.1求证： BCE 是等边三角形；2求证：D+BC2=AC2,即四边形 ABCD 是勾股四边形.第26页(共 24 页)【解答】解：(1)正方形、矩形、直角梯形均可;证明：(2)ABCADBE BC=BEvZCBE=60,BCE 是等边三角形；丄ABCADBE BE=BC AC=EDBCE 为等边三角形, BC=CEZBCE=60,vZDCB=30,ZDCE=90 ,在 RtADCE 中,DCf+CW=D 呂,DC2+BC2=AC2.28.(12 分)如图,抛物线 y=-x2+mx+