单倒置摆控制系统的状态空间建模与MATLAB仿真设计

1、单倒置摆控制系统的建模及 MATLAB仿真背景：单倒置摆系统是一个不稳定系统，当给系统施加外力时，倒置摆向左或向右倾倒，影响系统稳定，同时单 倒置摆系统典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统。本文通过建立单倒置摆系统的数 学模型，应用状态反馈控制配置系统极点设计单倒置摆系统的控制器，实现其状态反馈，从而使单倒置摆系统稳定工作。再通过 MATLAB软件中Simulink工具对单倒置摆的运动进行计算机仿真。首先分别用经典控 制理论和现代控制理论的知识推导了单倒置摆系统的数学模型；其次分别使用模糊控制理论、状态空间法、模糊控制等方法对单级单倒置摆系统进行了实际系统实时控制效果的实验对比

2、，从理论和实验方法上讨论了这类典型非线性自不稳定系统的线性控制器的设计方法及其实际控制效果的特点；最后提岀了单倒置摆 控制系统各部分选型及实现方案，设计了单倒置摆系统的机械构。问题：本文就当倒置摆无论岀现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，倒置摆能否保持在垂直位置上为问题进行研究。以此问题为核心，就单倒置摆系统进行分析和研究，建立单倒置摆系统的数学模型，采用状态反馈极点配置的方法设计控制器，并应用MATLAB软件进行仿真。论述：一、单倒置摆系统的建模1. 系统的物理模型如图1所示,设摆的长度为L、质量为m,用铰链安装在 质量为M的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在水

3、平方向对小车施加控制力 f=u,相对参考系产生位移 x=z.若 不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒。这样， 整个单倒置摆系统就受到重力，水平控制力和摩擦力的 3个外力的共同作用。2. 系统的数学模型在系统数学模型中，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴=轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车瞬时位置为 x=z，倒置摆出现的偏角为则摆心瞬时位置为（ z+lsin ）。在控制力u作用下， 小车及摆均产生加速运动。根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，求得系统的运动方程为：d 2z dt 2加（z丨sin ）2即(M m)z ml cos ml sin(1)由于绕

4、摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有zcosd 2dT7(zsin)l cosmgl sinl cos2l sin cos gsin(2)方程（1 ），（2）是非线性方程，由于控制的目的是保持单倒置摆直立，因此，在施加合适认为均接近零，此时，且可忽略 项，于是得到倒置摆系统的数学模型：u的条件下，可(M m)z ml(3)4(Mm ) g1gzzuuMlMMl为方便研究，假定系统的参数M=1kg,m=0.1kg,l=1m,2g 9.81m/s，则系统状态方程中参数矩阵为:0 10 00010A,b00010011001，c 1 0 0001(9)z l g(4)联立求解式(3)、(4)

5、，可得zmg1MMu(5)(Mm )Mlg1 u Ml(6)消去中间变量可得到输入量为u、输出量为z的微分方程为(7)3. 系统的状态方程d选取小车的位移z及其速度、摆的角位置 及其角速度 作为状态变量，z为输岀变量，并考虑 一z Z ,dtd，以及式(5)、(6)、(7),则一级单倒置摆系统的状态方程为：dt0100000mg01x00M xM u(8a)01000(M m)g01MlMly100 0x(8b)式中此时倒置摆的状态空间模型表达式为:0100000101XXu(10)00010001101y1000x图1单倒置摆开环系统结构图4. 被控对象特性分析1. 能控性分析根据能控性的秩

6、判据，并将式(9 )的有关数据带入该判据，可得23rankM rank b Ab Ab Ab 4( 11)因此，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用u,将非零状态X转移到零。仿真：代码：A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);S=ctrb(A,b)；f=rank(S);if f=ndisp('系统能控')elsedisp('系统不能控')end结果截图：系统能控2. 稳定性分析由单倒置摆

7、系统的状态方程，可求的其特征方程为：I A 2( 2 11)0( 12)解得特征值为0,0 ,.11 , -11。四个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统,即被控系统不稳定的仿真：采用matlab对被控对象进行仿真，如下图所示为倒摆没有添加任何控制器下四个变量的单位阶跃响应。如图可知，系统不稳定，不能到达控制目的。代码：A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;sys0=ss(A,b,c,d);>> t=0:0.01:5;>> y,t,x=step(sys0,t);>&

8、gt; subplot(2,2,1);>> plot(t,x(:,1);grid>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>> title('z');>> subplot(2,2,2);>> plot(t,x(:,2);grid;>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>> title('z 的微分');>> subplot(2,2,3);>>

9、 plot(t,x(:,3);grid>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>> title('theta')>> subplot(2,2,4);>> plot(t,x(:,4);grid>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>> title('theta 的微分')结果：图2单倒置摆开环系统的个变量的阶跃响应曲线由上面两个方面对系统模型进行分析，可知被控系统是具有能控性的

10、，但是被控系统是不稳定的，需对被 控系统进行反馈综合，使四个特征值全部位于根平面S左半平面的适当位置，以满足系统的稳定工作已达到良好、静态性能的要求。因此我们需要设计两种控制器方案来使系统到达控制的目的，分别为：全维状 态观测器的设计和降维观测器的设计。五两个方案1.单倒置摆全状态反馈采用全状态反馈。取状态变量z、z、B、为反馈信号，状态控制规律为u v kx(13)设k k° kik?kg式中，ko k3分别为z、Z、B、反馈至参考输入v的增益。则闭环控制系统的状态方程为x (A bk )x bv设置期望闭环极点为-1，-2，-1+i,-1-i由matlab 可求得：ko =-0.

11、4 ，匕=-1 ， k? =-21.4 ， k3 =-6如下图画出状态反馈系统结构图：单倒置摆全反馈系统结构图图3仿真：代码：A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;N=size(A);n=N(1);00009-00017 IS- 0000 k000170-(.e旧 u 叽)oii!i 乂 x)|oqEN(,(s)h)|oqE|x P!血(&:)xMo|d 乙)2|dqns (冃oil叽冏川 乂 x)|oqEN(,(s)h)|oqE|x P!血(O：)x"o|d ：72)10|dqns 乂 x

12、)|oqEN(,(s)h)|oqE|x p 血(0:)x"o|d £77)10|dqns 乂乙)oil!l 乂 x)|oqEN(,(s)h)|oqE|x P!血(:)xMo|d 4Z 乙)2|dqns !(VsXs)ds;s=x1VA 6：20：0=l vv (.e旧U叽)oil!l 乂 x)|oqEN(,(s)h)|oqE|x P!血(&:)xMo|d 乙)2|dqns (冃oil叽冏川 乂 x)|oqEN(,(s)h)|oqE|x P!血(O：)x"o|d ：72)10|dqns 乂 x)|oqEN(,(s)h)|oqE|x p 血(0:)x"

13、;o|d £77)10|dqns 乂乙)oil!l 乂 x)|oqEN(,(s)h)|oqE|x P!血(:)xMo|d 4Z乙)2|dqns « !(VsXs)ds;s=x1VA 9-iO 0-0=1 !(p1o1q%V)ss=sXs !q-v=iv (s_dq0)羽 oe=>I !-L!+L 乙lH=s_d !(p1o1q1V)ss=osAs7汁勺临为-图4单倒置摆全状态反馈的阶跃响应曲线如仿真图可知，单倒置摆的全状态反馈为稳定的闭环系统。观察仿真曲线：单位阶跃的作用下，输岀变 量逐渐趋于某一常数， 状态变量B则是逐渐趋于0。当参考输入v单位阶跃时，状态向量在单位

14、阶跃的作用 下相应逐渐趋于稳定，这时摆杆回到原始位置(即B =0 )，小车也保持稳定(即 z=某一常数)。如果不将4 个状态变量全用作反馈，该系统则不能稳定。方案一：全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、Z、B、 的信息。因此，需要设置z、z、B、的四个传感器。在实际的工程系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信息，从而使状态反馈在实际 中难于实现，甚至不能实现。在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维状态反馈的实现问题。(1 )判定系统状态的能观测性将式(9)中的数值代

15、入能观测性秩判据，得：rankN rank cT ATcT(AT)2cT(AT)3cT4(14)或者由matlab中的obsv(A,c)命令来求秩，可得秩为 4 (见仿真)。可见被控系统的4个状态均是可观测 的，即意味着其状态可由一个全维(四维)状态观测器给岀估值。其中，全维观测器的运动方程为X (AGC )? Bu Gy(15)式中TGgo g 1 g 2 g3全维观测器已G配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。设置状态观察器的期望闭环极点为-2，-3，-2+i,-2-i 。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着2t任一状态变量估计值至少以 e 规律衰减。由matlab 可求的出G

16、:go=9，g1=42，g2=-148，g3 =-492根据计算值可画岀结构图"76!"仿真：代码1:A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;>> V=obsv(A,c);m=rank(V);if m=ndisp('系统能观')elsedisp('系统不能观')end结果1 :代码2 :A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;N=size(A);n=N(1);sys

17、0=ss(A,b,c,d);P_s=-1,-2,-1+i,-1-i;P_o=-2,-3,-2+i,-2-i;k=acker(A,b,P_s)g=(acker(A',c',P_o)'A1=A，-b*k;g*c,A-b*k-g*c;b1=b;b;c1=c zeros(1,4);d 1=0;sys=ss(A1,b1,c1,d1);t=0:0.01:10;y,t,x=step(sys,t);figure(1);plot(t,x(:,1:4),'-');gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');figure

18、(2);plot(t,x(:,5:8),'-');grid xlabel('t(s)');ylabel('x(t)'); figure(3)>> subplot(4,1,1);plot(t,(x(:,1)-x(:,5);grid ylabel('z');subplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);grid ylabel('z 的微分');subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);grid ylabel('theta');>

19、;> figure(3)>> subplot(4,1,1);>> plot(t,(x(:,1)-x(:,5);grid>> subplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);grid ylabel('z 的微分');>> subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);grid ylabel('theta');>> subplot(4,1,4);>> plot(t,(x(:,4)-x(:,8);grid>> ylabel(&

20、#39;theta 的微分');结果:状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线图6 状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线注：“”表示z的阶跃响应;”表示Z的阶跃响应(24)带全维观测器的状态反馈下的状态变量的阶跃响应图7 带全维观测器的状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线注：同上。系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线图8 系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线由上图可知，全维状态观测器观测到的 4个变量的阶跃响应曲线与全状态反馈时的阶跃响应曲线基本相 似（如图6与图7所示），但是二者还是有误差的，只不过误差很小（如系统状态与全维观测器得到的估10计状态之间的误差曲线图 8所

21、示，它们的误差都在10 级别的，很小），全维状态观测器所得的性能基本满足要求（系统能控且稳定），但是由于观测器的数目多，导致中间过程的损耗也大。实际上，本系统中的 小车位移z，可由输岀传感器获得，因而无需估计，可以设计降维观测器，这样可减小误差）。方案二：降维观测器的设计由于单倒置摆控制系统中的小车位移，可由输岀传感器测量，因而无需估计，可以设计降维（3维）状态的观测器。通过重新排列被控系统状态变量的次序，把需由降维状态观测器估计变量与输岀传感器测得的状态变量分开，也就是说，将z作为第四个状态变量，则按照被控系统的状态和输岀方程可变换为z0100 z1d00100(16)dt01100u1z1

22、000 z000010简记为XiX2A11A 12A 21A 22X1X2b1b2(17)式中y y0IX1X2z0100 1X1，A11001, A 120 ,b001100 1X2z y, A2110 0A 220,b20,111故单倒置摆三维子系统动态方程为(A 11 hA 21) w (b 1 h b2 )u (A 11hA 21) h A 12 hA 22 y(20)z010 z1d0010 u（18）dt01101z10 0z（19）使用matlab对其的观测性检查，结果是客观的 因为降维状态观测器动态方程的一般形式为(21)式中，hTh° h1 h2。使用matlab可

23、求岀降维状态观测器特征多项式为I(A 11 h A 21 )32h。( 11hj(11h。 h2)设期望的观测器闭环极点为-32 i，则由matlab 仿真可得，期望特征多项式为(22)(3)(2i)(2 i)37 21715(23)X1 w hy由 matlab 可得，h0=7， h1 =-28 ， h2 =-92所以由matlab的仿真可得降维观测器的动态方程为710121w2801 w0 u104 y921101336(25)2892simulink 连接的仿真图所示。使用降维状态观测器实现状态反馈的的单倒置摆系统结构图 仿真：代码：A=0,-1,0,0;0,0,1,0;0,11,0,0

24、;1,0,0,0;b=1;0;-1;0;c=0,0,0,1;d=0;N=size(A);n=N(1); sys=ss(A,b,c,d);S=ctrb(A,b)f=rank(S);if f=ndisp('系统能控')elsedisp('系统不能控')endV=obsv(A,c);m=rank(V);if m=ndisp('系统能观')elsedisp('系统不能观')endP_s=-1,-2,-1+i,-1-i;k=acker(A,b,P_s);syms h0 h1 h2syms sh=h0;h1;h2;A11=0,-1,0;0,0

25、,1;0,11,0;A12=0;0;0;P=-3,-2+i,-2-i;A22=0;A21=1,0,0; eq=collect(det(s*eye(3)-(A11-h*A21),s) systemeq=expand(s-P(1)*(s-P(2)*(s-P(3)h0,h1,h2 =sOlve('h0=7','-11-h1=17','-11*h0-h2=15') h=h0;h1;h2;AW=(A11-h*A21)b1=1;0;-1;b2=0;BU=b1-h*b2BY=(A11-h*A21)*h+A12-h*A22结果:hCJ奈统詣桂eq =s*Ml*s

26、(-L2-ll)*s-L3-Ll*Llsyiteneq =sJ 3+72+15+17+3其中，AW、BU、BY分别为降维观测器的动态方程中w、u、y的系数矩阵使用MATLAB 中simulink 连接的仿真图:yi n tv图9单倒置摆全反馈的降全维观测器的结构图仿真结果截图:（1 ）降维状态观测器时，变量z以及变量Z的阶跃响应曲线（2）降维状态观测器时，变量B以及变量的阶跃响应曲线观察上面的仿真图可知，在给系统状态全反馈加上降维观测器之后，单位阶跃的作用下，小车的位移z逐渐趋于一个常数（即2.5 ），而倒置摆岀现的偏角B也逐渐趋于 0,可见带降维观测器的系统 是一个稳定的系统，同时在性能方面

27、符合空间的设计要求。六分析比较两种设计方案的性能单倒置摆原系统（即 开环系统）不稳定的，因此我们设计了单倒置摆全状态反馈系统，由仿真图（即状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线）可知，单倒置摆的全状态反馈系统是稳定的，为了获取4个状态变量z、Z、0、，我们为单倒置摆的全状态反馈系统设计两种观测器：全维状态观测器和降维状态观测器。使用matlab做出两种不同的观测器下两个状态变量z、B的单位阶跃响应曲线（另外两个变量分别为他们的微分，故这里可以不用在比较了）。如下图所示为simulink仿真图（方法：将两种观测器的下的simulink仿真图的状态变量通总线的方式连接到示波器scope上便可观测到变量单位阶跃响应曲线的比较图了）仿真截图:图10比较全维观测器与降全维观测器性能的结构图图变量z在使用不同观测器下的单位阶跃响应曲线比较图:图11 变量z在使用不同观测器下的单位阶跃响应曲线比较图注：黄色曲线“一”为全维观测器下的；紫色曲线“ 一”为全维观测器下的。变量B在使用不同观测器下的单位阶跃响应曲线比较图:注：黄色曲线“一”为全维观测器下的；紫色曲线“ 一”为全维观测器下的。图12变量B在使用不同观测器下的单位阶跃响应曲线比较图比较两种不同的观测器下的发现： 在单位阶跃的作用下，变量Z在降维