动点问题含答案

1、WOR格式专业资料整理动点问题1. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD II BC, / B=90 ° , AD=24cm, AB=8cm BC=26cm,动点 P 从 A 开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别ts从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为(1 )当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?(2)当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形?(3)当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形?点评: 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中.2. 如图，

2、ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN/ BC设MN交/ BCA的外角平分线CF于点F ,交/ ACB内角平分线 CE于E .( 1 )试说明EO=FQ(2 )当点Q运动到何处时，四边形 AECF是矩形并证明你的结论；(3 )若AC边上存在点 Q，使四边形AECF是正方形，猜想 ABC的形状并证明你的结论.点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论(i)，再利用结论(i)和矩形的判定证明结论(2) ，再对(3 )进行判断.解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法.是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用.3. 如图，直

3、角梯形 ABCD中，AD II BC, / ABC=90°已知 AD=AB=3, BC=4动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点 Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动.过 Q点垂直于AD的射线交AC 于点M，交BC于点N . P、Q两点同时出发，速度都为每秒 1个单位长度.当 Q点运动到A点，P、Q两点同时停 止运动.设点Q运动的时间为t秒.(1 )求NC, MC的长(用t的代数式表示)；(2) 当t为何值时，四边形 PCDQ构成平行四边形；(3 )是否存在某一时刻，使射线 QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(4 )

4、探究：t为何值时， PMC为等腰三角形.点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质.考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法.4. 如图，在矩形 ABCD中，BC=20cm, P, Q, M, N分别从A , B, C D出发沿AD, BC CB DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=xcm( x 工 0),贝V AP=2xcm, CM=3xcm DN=x2cm(1) 当- x为何值时，以-PQ , MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形；(2) 当x为何值时，以 P , Q,

5、 M, N为顶点的四边形是平行四边形；(3 )以P , Q, M, N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点.5.如图，在梯形 ABCD中，AD/ BC,/ B=90 ° , AB=14cm AD=15cm BC=21cm点 M 从点A 开始，沿边 AD向点D 运动， 速度为1cm/s ;点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从ir n(1) 当t为何值时，四边形(2) 当t为何值时，四边形点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒.

6、MNCD1平行四边形?MNCD1等腰梯形？点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容.6. 如图，在直角梯形 ABCD中，AD/ BC,/ C=90° , BC=16, DC=12, AD=21,动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点 Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点 Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为 t ( s ).(1 )设厶BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；2)当t为何值时，以 B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？点评：本题主要考查梯形的性

7、质及勾股定理.在解题(2)时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象.7. 直线y二34X+6 与坐标轴分别交于 A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达 A点，运动停止.点 Q沿 线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O? B? A 运动.(1 )直接写出 A、B两点的坐标；(2) 设点Q的运动时间为t (秒)， OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；(3) 当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点 0、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.点评:本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题(2 )时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现

8、漏解现象.O答O案1. 分析：(1) 四边形PQCD为平行四边形时 PD=CQ.(2) 四边形PQCD为等腰梯形时 QC-PD=2CE.(3) 四边形PQCD为直角梯形时 QC-PD=EC.所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可.解答: 解：(1 )四边形 PQCD平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t解得：t=6即当t=6 时，四边形 PQCD平行为四边形.(2) 过D作DE丄BC于E则四边形ABED为矩形BE=AD=24cmEC=BC-BE=2cm四边形PQCD为等腰梯形 QC-PD=2CE即 3t-(24-t ) =4解得：t=7( s )即当t=7( s )时

9、，四边形 PQCD为等腰梯形.(3) 由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即 3t-( 24-t) =2解得：t=6.5(s)即当t=6.5(s)时，四边形 PQCD为直角梯形.2. 分析：OE=OC 同(1 )根据CE平分/ ACB, MN/ BC找到相等的角，即/ OEC=Z ECB再根据等边对等角得理 OC=OF 可得 EO=FQ(2) 利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形.(3) 利用已知条件及正方形的性质解答.解答：解：(1 ) CE 平分/ ACB,/ ACE=Z BCE MN/ BC /OECh ECBOECh OCE OE=OC同理,OC=

10、OF OE=OF(2 )当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.如图 AO=CO EO=FO四边形AECF为平行四边形， CE平分/ ACB,h ACE= h ACB1同理，/ ACF= hACG'X 180° =90/ ECF=/ ACE+Z ACF= (Z. ACB+Z ACG =四边形AECF是矩形.(3) ABC是直角三角形四边形AECF是正方形，ACL EN,故Z AOM=90°, vMIN/ BCZ BCA=Z AOMZ BCA=90°, ABC是直角三角形.3. 分析：(1) 依据题意易知四边形 ABNQ是矩形 NC=BC-BN=BC

11、-AQ=BC-AD+DGBC AD已知，DQ就是t ，即解；v AB / QNCMNA CAB,. CM: CA=CN CB ( 2) CB CN 已知，根据勾股定理可求 CA=5,即可表示 CM;四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ列方程4-t=t即解；(3) 可先根据QN平分 ABC的周长，得出 MN+NC=AM+BN+A据此来求出t的值.然后根据得出的 t的值，求出 MNC勺面积，即可判断出 MNC的面积是否为 ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值.(4) 由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论： 当MP=MC寸，那么PC=2NC据此可求出 t 的值. 当

12、CM=CPB寸，可根据 CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值. 当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值.综上所述可得出符合条件的t的值.解答：解:( 1 ) v AQ=3-t CN=4- (3-t ) =1+t在 Rt ABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5在 Rt MNC中，cos Z NCM=, CM=.(2 )由于四边形PCDQ勾成平行四边形-上与兰 PC=QD 即卩 4-t=t解得t=2.(3 )如果射线 QN将厶ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：(1+t5)+1+t=解得：t=(5

13、分)5而 MN= NC=(1+t )33Mi44 S MNC=( 1+t ) 2=(3+4+5)12(1+t ) 2当 t=一时，S MNC(1+t ) 2=8-3不存在某一时刻t，使射线QN恰好将 ABC的面积和周长同时平分.jfr.-JPlK>Af B口(4) 当 MP=MC寸(如图1 )则有：NP=NC即 PC=2NC. 4-1=2(1+t )2-3当CM=CP时（如图2 ）1L-4解得：t=119当PM=PC时（如图3 ） 则有：在 Rt MNP中，PM2=MN2+PN233而 MN= NC= (1+t )PN=NC-PC( 1+t) -(4-t ) =2t-33 (1+t )

14、2+( 2t-3) 2= (4-t ) 2解得：t1 =103wt2=-1当 t=t=11,t=（舍去）1P3时， PMC为等腰三角形4. 分析:以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点 Q、M不重合，此时 AP+ND=AD即卩2x+x2=20cm , BQ+M& BC即x+3x工20cm；或者点 Q、M重合且点P、N不重合，此时 AP+ND AD即2x+x2工20cm, BQ+MC=BCP x+3x=20cm .所以可以根据这两种情况来求解x的值.以P , Q, M N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只

15、能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时，AP=MC BQ=ND当点P在点N的右侧时，AN=MC BQ=PD所以可以根据这些条件列出方程关系式.如果以P , Q, M N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND AD即2x+x2工20cm, BQ+M& BC即x+3x工20cm,AP=ND即2x=x2 , BQ=M（即x=3x , x工0.这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形.解答：解：（1 ）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ, MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三 边可能构成一个三角形._ 当点P与点N重合时，由 x2+2x=20，得x1=- -1 ，

16、x2=- - -1 （舍去）.因为BQ+CM=x+3x=4（ 能跖-1 ） < 20 ,此时点 Q与点M不重合.所以x=-1符合题意. 当点Q与点M重合时，由 x+3x=20，得x=5 .此时DN=x2=25> 20,不符合题意.故点Q与点M不能重合._所以所求x的值为 竣-1 .（2）由（1 ）知，点Q只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由 20- （x+3x） =20- （2x+x2）,解得x1=0 （舍去），x2=2.当x=2时四边形PQMN是平行四边形.当点P在点N的右侧时，由 20-（x+3x） = （2x+x2） -20 ，解得 x1=-10（舍去），x2=4 .当

17、x=4时四边形NQMP是平行四边形.所以当x=2或x=4时，以P , Q, M N为顶点的四边形是平行四边形.（3 ）过点Q , M分别作AD的垂线，垂足分别为点 E , F.由于2x > x ,所以点E 一定在点P的左侧.若以P , Q, M, N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 定在点N的右侧，且 PE=NF ,即 2x-x=x2-3x.解得x1=0 （舍去），x2=4.由于当x=4时，以P , Q, M N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P, Q , M, N为顶点的四边形不能为等腰梯形.5. 解答：解：（1 ）T MD/ NC,当MD=NC即15-t=2t, t=5时，四边形

18、 MNCD是平行四边形；（2）作 DE丄 BC 垂足为 E，贝U CE=21 -15=6，当 CN-MD=12时，即 2t-（15-t ） =12, t=9 时，四边形MNCD1等腰梯形6. 分析：（1） 若过点P作PM丄BC于M,则四边形 PDCM为矩形，得出 PM=DC=12,由QB=16-t，可知：s=inijl卩MX QB=96-6t;（2） 本题应分三种情况进行讨论，若PQ=BQ在Rt PQM中，由PQ2=PM2+MQ2PQ=QB将各数据代入，可将时 间t求出；t求出; 若BP=BQ 在 Rt PMB中，由 PB2=BM2+PM2 BP=BQ将数据代入，可将时间 若PB=PQ PB2

19、=PM2+BM2PB=PQ将数据代入，可将时间t求出.解答: 解:( 1 )过点P作PM丄BC于M,则四边形 PDCM为矩形. PM=DC=12 QB=16-t ,1II|21： s= ?QB?PM= (- 16-t ) X 12=96-6t( 0 < t <-).(2 )由图可知，CM=PD=2t, CQ=t,若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况若 PQ=BQ 在 Rt PMC中, PQ2=t2+122，由 PQ2=BQ2得 t2+122= ( 16-t )2,解得)2+122=( 16-t)2,此万程无解，若 BP=BQ 在 Rt PMB中，PB2=( 16

20、-2t)2+122，由 PB2=BQ2得(16-2tBP PQ若 PB=PQ 由 PB2=PQ2得 t2+122=( 16-2t)4 74 16t = ss t =可 s综上所述，当-或匚时，以B、2+122 得t2=16(不合题意，舍去).P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.7. 分析:(1) 分别令y=0 , x=0，即可求出 A、B的坐标；(2) )因为OA=8, OB=6利用勾股定理可得 AB=10，进而可求出点 Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动(或0 < t < 3)时，OQ=t, OP=2t, S=t2，当P在线段BA上运动(或3 v t < 8)时, OQ=t AP=6+10-2t=16-2t ，作PD丄OA于点D，由相似三角形的性质，得PD=48-6t5 ，利用S= 12OQX PD即