一元二次方程根的分布情况归纳总结2010722

1、一元二次方程ax2 bx 0根的分布情况2 2设方程ax bx c = 0 a = 0的不等两根为 为，x?且人：x，相应的二次函数为 f x二ax bx 0 , 方程的根即为二次函数图象与 x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0为:0,x2 : 0两个正根即两根都大于0捲0, x2 0一正根一负根即一个根小于 0，一个大于0捲：:：0 ： x2得出的结论o OO .:f 0 ： 0得出的结论£0f 0 <0b；:02af 0 <0综合结论不讨论aA >0亠0aa f

2、 00.=02aa f 0 ： 0表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即x1 : k, x2 : k两根都大于k即x1 k, x2 . k一个根小于k，一个大于k即捲：k ： x2(>0)I /13 v/kX得出的结论.：0b<k2af k 0.=0b>k2af k 0O大致图象疳a得出的结论Ta k f k <0A>0一Hk2af k <0综合结论不讨论a.：0b2a:k2a ka f k 0a f k ： 0表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在m,n内两根有且仅有一根在 m, n内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在 m,n内，另一根

3、在 p,q 内，m ： ： n ： p qiAm 理 p/ q *得出的结论A >0f m i，0f n 0bmn2af m f n : 0f m 0f n ： 0f P < 0f q 0y得出的结论A >0fm:0fn：0bm ：-:n2af m f n ： 0f (m 0 f (n)>0 f(P)A0 、f(q)<0综合结论不讨论af m f n : 0f m f n ： 0.f P f q : 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间m,n夕卜，即在区间两侧 x<: m, x2n ,（图形分别如下）需满足的条件是(1) a 0 时，fm ：

4、76; ;(2)ad 时，fm °J (n )vOif (n )>0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1) 两根有且仅有一根在 m,n内有以下特殊情况:1 若f m =0或f n =0，则此时f mL f n : 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m或n , 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m, n内，从而可以求出参数的值。如方程mx2 - m 2 x 2 = 0 在区间1,3上有一根，因为f 1 =0,所以mx2 -m，2x，2=x-1 mx-2，另一根为，由1 < =： 3mmZB 2得 m：2即为所求；32 方程有且只有一根，且这个根

5、在区间m, n内，即人-0，此时由抡-0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x2 -4mx 2m 6 =0有且一根在区间-3, 0内，求m的取值范围。分析：由f -3Lf 0 ： 0即152314m 15 m 3 ： 0 得出 一3 ： m ；由,-0 即 16m2 -4 2m 6 =0 得出 m - -1 或 m ，当-3”3m - -1时，根x - -2 - i 3,0，即m - -1满足题意；当 m时，根x = 3，-3,0，故m不满足题意；15综上分析，得出-3 m或m二-114函数与方程思想：若y = f

6、(x)与x轴有交点X。二f (x°)=0 若 y = f (x )与 y = g (x )有交点(X°， y° )= f(x) = g(x)有解 x°。根的分布练习题例1、已知二次方程 2m 1 x2 -2mx m-1 =0有一正根和一负根，求实数 m的取值范围。1解：由(2m+1 |_|f (0 )cO即(2m + 1m- £ 0从而得_一 mcl即为所求的范围。例2、已知二次函数 y = m 2 x2 - 2m 4 3m 3与x轴有两个交点，一个大于 1，一个小于1,求实数m的取值范围。1解：由 m 2 |_f 1 : 0即 m 2 L 2

7、m 1 ： 0 = -2 m即为所求的范围。f 0 Lf 1 ： 0 = < 3m 1 : 0 -m ： -1即为所3例3、已知二次方程 m£ - 2m-3 x，4=0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则求范围。(注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由丄=0计算检验，均不复合题例4.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的范围.(2) 若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围1.若方程4x(m-3) *2x m =0有两个不相同的实根，求 m的取值范围。2.已知函数4x m *2x 1有且只有一个零点，求 m的取值范围，并求出该零点23.关于x的一元二次方程 x -2ax a 2 =