3.4基本不等式导学案

1、341 基本不等式【学习目标】1.能够叙述发现基本不等式的过程；会用多种方法证明基本不等式；2能够举例说明基本不等式在解决简单的最值、不等式证明、比较大小、求取值范围等问题方面的 应用；3通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识.【学习重点】基本不等式的证明与应用.【学习过程】一、学习准备如图3-4-1-1是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设 计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系 或不等关系吗？二、学习探究 1 1 命题的探究观察图 3-4-1-13-4-1

2、-1 思考：4-1-1(1) .上图中有几个直角三角形？它们全等吗？图中有几个正方形？大小如何？(2)假设直角三角形直角边分别为_a、b则外正方形边长 =;4个直角三角形面积之和=_;外正方形面积=_;四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用不等式表示为： _；(教材P97)(3).假设直角三角形变为等腰直角三角形即直角边a=b时， 图形内部小正方形变成什么？此时外正方形边长=_；4个直角三角形面积之和=_;外正方形面积=_;四个直角三角形面积之和与外正方形面积大小关系如何？用等式表示为：_；(4).综上，四个直角三角形面积之和与外大正方形面积的大小关系如何？用一个不等式表示：_(

3、5).如果a 0且b 0用4a和Vb代替不等式中的a、b上不等式可变形为_ ； (“)我们称 邑丄为a,b的算术平均数，称.ab为a,b的几何平均数，因而，此不2等式又可叙述为：_ .对于不等式(*)我们是几何图形的面积关系得出的，我们再从图 3.4-1-23.4-1-2 观察它的几何意义。观察思考图 3.4-1-23.4-1-2 是以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C,使AC=a , CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD.思考:1.正数a=1,b=9则a、b的算术平均数2.正数a=6,b=6则a、b的算术平均数3.正数a=1,b=9则a、b的等差中项4.正数a=4,b=4则a、

4、b的等差中项_;几何平均数 _;大小如何?_;几何平均数 _;大小如何?;等比中项_ ;大小如何？;_;大小如何？1.圆的半径r=_;2.连接AD BD则厶ABD是直角三角形吗？ ACDWBCD相似吗？用a、b表示半弦CD _;3.圆的半径r与半玹CD大小关系如何？什么时候才能相等？用一个不等式表示： _；4用一句话描述半径与半玹的不等关系： _。5如果把a b看作是正数a、b的等差中项， ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以2叙述为：_ 。归纳概括由上面的探究，一般的， 当a 0且b 0时有不等式： _，我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式）（教材p98公式（“）2 2

5、.命题的证明2*2证法一：x,yR,（xy）2Aon xy,当且仅当 _时，等号成立.2等号成立.评析证明一是从一个已知成立的不等式x,yR,（xy）2_0出发推导出要证的不等式，这种证明的方法叫做“综合法”。你能从哪个已知成立的不等式出发来证明这个不等式？证法2:证法3:想一想：a2+b2臭2ab与-Vab适用的范围，a,b有什么不同？ _与2所以x2+y2一-xy =当且仅当_ 时,3 3. .基本不等式的拓展当a 0,b0时，一ab -1 1+a b4 4.命题的应用例1.(直接利用基本不等式)教材P99例1,例2例2、(1)x, y都是正数，求证：y x2x y5.试根据均值不等式写出

6、下列变形形式，并注明所需条件.a 亠 b2(1)(3)b a-+-a b(4)abw(5)(x0)a2b2设 E 是正数求证:专亍专-6练习：a,b,c R,求证：a2+b2+c2_ ab be ca三、学习反思：1.本节课推导并证明均值不等式的方法是什么？2.运用均值不等式的条件有哪些？均值不等式有哪些变形?3.本节均值不等式解决了哪些问题？需要注意什么？342 基本不等式的运用(一)【学习目标】1、能运用基本不等式求某些函数的最值；2、在求最值的过程中，能认清“一正、二定、三相等”的含义和必要性；3、能通过公式及变形的应用，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养创新精神【学习重点】运用基本

7、不等式求某些函数的最值【学习过程】一、学习准备我们已经研究了基本不等式，你能梳理出有关的知识吗？2 2(1)_ 对于任意的实数a，b，我们都有ab2ab，等号当且仅当_时取得“=”；(2)_若a 0，b 0,有a b _2ab，等号当且仅当 _时取得“=”；(3)_ 上述不等式常写为 _ ，等号当且仅当时取得；该不等式称为_，它表明两个正数的 _平均数不大于它们的 _ 平均数.另外，我们在数学1(必修)中学习过函数的最大、最小值概念，也回忆一下：设函数y = f (x)的定义域为I，若存在实数M满足：(1)_ 对任意的I，都有；(2)_存在X。I，使得f(X。)=.则称M为函数y二f (x)的

8、最大值.若存在实数m满足：(1)_ 对任意的I，都有；(2)_存在X。I，使得f(X。)=则称m为函数y二f (x)的最小值.结合函数最值的概念，我们用基本不等式来研究某些函数的最值.二、学习探究1.最值定理定理：已知 x x,y y 都是正数，则(1) 如果积 xyxy 是定值 P P,那么当 x=yx=y 时，和 x+yx+y 有最小值；(2) 如果和 x+yx+y 是定值 S S,那么当 x=yx=y 时，积 xyxy 有最大值.2.最值定理的应用1(2)求y = x的最小值.x变式练习：91.若x0,y0,且1,求x,y的最小值.x y11例3.已知x 0,y .0,满足x 21，求1

9、1x y变式练习：(1) 若x0,y0,且9 1 =1,求x+3y的最小值.x y31(2) 若x0,y0,且3- =3 ,求3x+y的最小值.x y例1.;若x 0，求f(x) =4x25的最小值.x的最小值.例3.若x 3，求f(x) =4x -2的最小值.x 3解题反思：由前两个例题的求解，试总结规律：用基本不等式求最值时，(1)_各项必须为 _ ，若为负数，如例1变式练习，则可添负号变为 _；(2)利用不等式必须得到一个形如f(x) _m或f (x) M的式子，并且这里的m,M必须是与无关的_ ；(3)按照最值的概念，还必须找到使f (x) _m或f(x)岂M中等号成立的x0，至少找到

10、一个，或能确定其存在.简言之，基本不等式求最值时要做到“一_、二_、三取等”.变式练习：若x :：3，求f (x) =4x 9的最大值.22x31 _例4.求函数y=sinx, x (0,二)最小值。si nx例5.已知正数a,b满足ab =a b 3,求a - b的最小值练习：若正数x, y满足2x yxy,则xy的最小值是 _三、学习反思1.利用基本不等式求函数的最大、最小值的基本步骤是什么？2.你能真正领会“一正、二定、三相等”的含义了吗？3.通过本课的学习，你掌握了哪些解题的方法？343 基本不等式的运用（二）【学习目标】1、能熟练地运用基本不等式求最值；2、能够将一些简单的实际问题建

11、立成不等式求最值的数学模型来求解；3、培养学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性【学习重点】运用基本不等式解决生活中的应用问题【学习过程】一、学习准备前面研究了如何运用基本不等式求最值，你还能记得吗？1.对于两个正数x, y如果和x y为定值S时，则当 _时，积xy有最大值为 _;女口果积xy为定值P时，则当 _ 时，禾廿x - y有最小值为 _ .2.在运用基本不等式求最值时，特别要注意的是“一_、二、 三”.二、学习活动利用基本不等式解决实际应用中的最值问题例1如图344-1，某养殖场要围成相同面积的长方形鸭圈四间，一面可利用原有的墙，其他各面用竹 篱笆围成.现有可围36米长竹篱笆的材料，每间鸭圈的长、宽各为多少米时，可使每间鸭圈的面积最大？（思路启迪：可把鸭圈的长、宽设为变量，将面积建立/ 77成目标函数.）I解：-方法归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行:（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案.变式练习：如图3.4.4-2，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个栏目（即 图中的图 3* 4-2阴影部分），这两个栏目的面积之和为1800