概率论知识点总结

1、概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（ 1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为。样本点 ：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作 .样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用 表示 .一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件 单点集，复合事件 多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事

2、件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A，记为B A或 A B。相等关系：若 B A且 A B ，则称事件A 与事件 B 相等，记为AB。事件的和： “事件 A 与事件 B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件 B 的和事件。记为A B。事件的积：称事件“事件 A 与事件 B 都发生 ”为 A 与 B 的积事件，记为A B 或 AB 。事件的差： 称事件 “事件 A 发生而事件B 不发生” 为事件 A 与事件 B 的差事件,记为 A B。用交并补可以表示为A B AB 。互斥事件：如果A， B 两事件不能同时发生，即AB

3、，则称事件A 与事件 B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时A B 可记为 A B。对立事件：称事件 “A 不发生 ”为事件 A 的对立事件（逆事件），记为 A。对立事件的性质：A B ,A B 。事件运算律：设A， B， C 为事件，则有（1 ）交换律：AB=B A， AB=BA（2）结合律：A（B C）=（A B） C=ABC A（BC）=（AB）C=ABC（3）分配律：A （BC）（A B）（AC） A（B C）（AB）（AC）= AB AC（ 4）对偶律（摩根律）： A B A B A B A B第二节 事件的概率概率的公理化体系：（ 1 ）非负性：P（A） 0；（ 2）规范性：P（ ）

4、 13）可数可加性：A1A2AnP(A1 A2An) P(A1) P(A2)P(An)概率的性质：( 1) P( ) 0( 2)有限可加性：A1A2An 两两不相容时P(A1 A2An ) P(A1) P(A2)P(An)当 AB= 时 P(A B) P(A) P(B)( 3) P(A) 1 P(A)( 4) P(A B) P(A) P(AB)( 5) P( A B)P(A) P(B) P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间 由 n 个样本点组成,事件 A 由 k 个样本点组成.则定k义事件 A 的概率为P(A)n2、几何概率：设事件A 是 的某个区域，它的面积为

5、 (A，则向区域) 上随机投掷一点，该点落在区域A 的概率为P(A)(A)()假如样本空间 可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作P(A|B).P(A|B)P(AB)P(B)乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)P(B|A)全概率公式：设A1 , A2 , An 是一个完备事件组，则P(B)= P(Ai )P(B| Ai )贝叶斯公式：设A1 , A2 , An 是一个完备事件组,则P(Ai |B)P(AiB)P(B)P(Ai)P(B|

6、Ai)P(Aj)P(B|Aj)第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、 B 满足 P(AB)= P(A) P(B) ，则称A、 B 独立，或称A、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、 B、 C，若P(AB)= P(A) P(B) ， P(AC)= P(A)P(C) ，P(BC)= P(B) P(C) ， P(ABC)= P(A) P(B)P(C) ，则称A、 B、 C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、 B、 C，若 P(AB)= P(A) P(B) ， P(AC)= P(A)P(C) ，P(BC)= P(B) P(C) ，则称 A、 B、 C 两两独立独立

7、的性质：若A 与 B 相互独立，则A与 B， A 与 B ， A与 B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合， 它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。第二章 一维随机变量及其分布第二节 分布函数分布函数：设X 是一个随机变量，x 为一个任意实数，称函数F (x) P X x 为 X 的分布函数。如果将X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X 落在区间(, x内的概率分布函数的性质：( 1)单调不减

8、；( 2)右连续；( 3)F ()0, F ()1第三节 离散型随机变量离散型随机变量的分布律：设xk (k=1,2, ) 是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称PX xkpk 为离散型随机变量X 的分布律，也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。分布律的性质：( 1) 0 pk 1； ( 2) pk 1离散型随机变量的概率计算：( 1 )已知随机变量X 的分布律，求X 的分布函数；F(x) PX x P(xk) xk x( 2)已知随机变量X 的分布律, 求任意随机事件的概率；( 3)已知随机变量X 的分布函数，求X 的分布律PXxkF(xk)

9、F(xk0)三种常用离散型随机变量的分布：1 .( 0 1 )分布：参数为p 的分布律为P X 1 p, P X 0 1 p2 .二项分布：参数为n， p的分布律为PX kCnk pk(1p)n k ， k 0,1,2, ,n 。例如n 重独立重复实验中，事件A 发生的概率为p，记X 为这 n 次实验中事件A 发生的次数，则 X B( n， p)k3 .泊松分布：参数为 的分布率为P X k e ， k 0,1,2,。 例如记 X 为某段事k!件内电话交换机接到的呼叫次数，则X P()第四节 连续型随机变量f(x) 的性质连续型随机变量的概率计算：1)2)3)1 )已知随机变量2)已知随机变量

10、3)已知随机变量f(x) 0f (x)dx 1 ， PXPa X b Paf(x) F (x),F(x)aaf(x)dx 0 aX b Pa X bxf (x)dxX 的分布函数；X 的密度函数；, 求随机事件的概率；PaF(x)f(x)PaPabf(x)dxF (x)X bX bba f (x)dxba f (x)dxF (b) F (a)连续型随机变量概率密度三种重要的连续型分布：11 均匀分布：密度函数f (x)2. 指数分布：密度函数f (x)b a a x b ，记为X Ua， b.0 elsex0，记为 X E()x01 (x 2)23. 正态分布：密度函数f (x)e 2 ，记为

11、 X N ( , 2 )2N( 0， 1)称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后再计算概率.baPa X b F(b) F(a) (b )(a)第五节 随机变量函数的分布离散型：在分布律的表格中直接求出；连续型：寻找分布函数间的关系，再求导得到密度函数间的关系；注意分段函数情况可能需要讨论，得到的结果也可能是分段函数。FY(y) PY y Pg(X) y PX G(y)F(G(y)第三章 多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量的联合分布函数联合分布函数F (x, y) P X x,Y y ，表示随机点落在以(x ， y)为

12、顶点的左下无穷矩形区域内的概率。联合分布函数的性质：( 1 )分别关于x 和 y 单调不减；( 2)分别关于x 和 y 右连续；( 3) F (- , y ) = 0,F ( x ,- ) =0,F(- ,-) = 0F ( + ,+ ) = 1第二节 二维离散型随机变量联合分布律：P Xxi ,Y yj pij联合分布律的性质：pij0；pij1第三节 二维连续性随机变量yx联合密度：F (x, y) dv f (u, v)du联合密度的性质：f (x, y) 0 ； f (x, y)dxdy 1； P( x, y) D f (x, y)dxdyR2D第四节 边缘分布二维离散型随机变量的边缘

13、分布律：在表格边缘，对应概率相加求出；二维连续性随机变量的边缘密度：先求出边缘分布函数，在求导求出边缘密度 第六节 随机变量的独立性独立性判断：( 1 )若 X,Y 取值互不影响，可认为相互独立；( 2)根据独立性定义判断F (x, y) FX (x)FY (y)离散型可用pijpi ? p?j连续型可用f(x,y) fX(x)fY(y)独立性的应用：( 1 )判断独立性；( 2)已知独立性，由边缘分布确定联合分布第四章 随机变量的数字特征离散型随机变量数学期望的计算EXxk pk ， E(g(X) g(xk)pkkk连续型随机变量数学期望的计算EX xf(x)dx， E(g(X) g(x) f (x)dx方差的计算：DX E(X EX)2， DX E(X2) E2(X)数学期望的性质( 1) E (C ) = C( 2) E (CX ) = C